湖北省武汉市2024_2025学年高一数学上学期10月考试卷含解析

这是一份湖北省武汉市2024_2025学年高一数学上学期10月考试卷含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则集合A真子集个数为（）
A. 7B. 8C. 15D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】先解不等式得到，从而求出真子集个数.
【详解】，共有4个元素，
故集合A的真子集个数为.
故选：C
2. 已知集合，，则（）
A. 2,+∞B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先分别求出集合A、B，再求.
【详解】因为函数在单减，在上单增，所以，
要使函数有意义，只需，解得，
所以，
所以
3. 集合，下列不能表示从A到B函数的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】ABD选项，求出值域均为集合的子集，且对每一个，有唯一确定的与其对应；C选项，求出值域不是集合的子集，故C不能表示从A到B的函数.
【详解】A选项，，当时，，
且对每一个，有唯一确定的与其对应，故A能表示从A到B的函数；
B选项，，当时，，
且对每一个，有唯一确定的与其对应，故B能表示从A到B的函数；
C选项，，当时，，故C不能表示从A到B的函数；
D选项，，当时，，
且对每一个，有唯一确定与其对应，故D能表示从A到B的函数；
故选：C
4. 命题“对，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出命题为真命题时的充要条件，然后再结合选项进行选择即可．
【详解】因为，等价于，恒成立，
设，
则．
所以命题为真命题的充要条件为，
所以命题为真命题的一个充分不必要条件可以为a≥1．
故选C．
【点睛】解题的关键是得到命题为真命题时的充要条件，由于求的是命题为真时的一个充分不必要条件，故所选的范围应是充要条件对应范围的真子集，考查对充分条件、必要条件概念的理解．
5. 一元二次不等式的解集是空集，则实数的取值范围是（）
A. 或B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析可知，一元二次不等式对任意恒成立，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】由题意可知，一元二次不等式对任意的恒成立，
所以，，解得.
故选：D.
6. 命题使得成立，若是假命题，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由是假命题，则命题的否定为真命题，写出命题的否定，利用分离参数的方法求解即可．
【详解】命题，使得成立，若是假命题，
则命题的否定为：，成立，为真命题．
所以在上恒成立，
由，当且仅当时取得等号，
所以 .
故选：A
7. 若正实数、满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（）．
A. 或B. 或
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】因为正实数、满足，则，即，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，
因为不等式有解，则，即，
即，解得或.
故选：A.
8. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则函数的值域为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据基本不等式求得，进而由高斯函数可得结果.
【详解】因为对任意，，则，即，
所以函数的值域为.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法中正确的为（）
A. 集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为
B. 若一元二次不等式的解集为，则的取值范围为
C. 设集合，，则“”是“”的充分不必要条件
D. 若正实数，，满足，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据各选项中的条件逐一分析，对于选项A，结合条件可知集合中只有一个元素，分类讨论和两种情况，求出的值，即可判断A选项；对于选项B，一元二次不等式的解集为，可得，求出的取值范围，即可判断B选项；对于选项C，根据子集的含义和充分不必要条件的定义，即可判断C选项；对于选项D，根据基本不等式求和的最小值，即可判断选项D.
【详解】解：对于A，因集合有且仅有2个子集，
则集合中只有一个元素，当，，符合题意；
当，，
综上所述，可得，，故A选项不正确；
对于B，因一元二次不等式的解集为，
已知为一元二次不等式，可知，
可得且，故B选项正确；
对于C，当时，，
当时，或，则或，
所以“”是“”的充分不必要条件，故C选项正确；
对于D，因正实数满足，
则，
当且仅当，即时取等号，故D选项正确.
故选：BCD.
10. 已知不等式的解集是，则下列四个结论中正确的是（）
A.
B.
C. 若不等式的解集为，则
D. 若不等式的解集为，且，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】由三个“二次”的关系可知，相应方程有两个相等的实根，结合韦达定理就可判断.
【详解】由题意．，∴，所以A正确；
对于B：等号当且仅当，即时成立，
所以B正确；
对于C：由韦达定理，知，所以C错误；
对于D：由韦达定理，知，
则，解得，所以D正确；
故选：ABD．
11. 下列选项中正确的是（）
A. 若，则最小值为4
B. 若，则的最大值为
C. 若，则的最小值为2
D. 若，且，则的最大值为7
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，直接使用基本不等式即可；B选项，变形后使用基本不等式；C选项，使用基本不等式，但不满足等号成立的条件，C错误；D选项，设，则，，从而得到，利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，从而得到的最大值.
【详解】A选项，若，则，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，故A正确；
B选项，若，则，
故，
当且仅当，即时，等号成立，B正确；
C选项，由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立，
但无解，故最小值取不到，C错误；
D选项，设，则，，
则，
因为，所以，
其中
，
当且仅当，即时，等号成立，
故，D正确.
故选：ABD
【点睛】利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等
三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】利用集合法，将是的必要不充分条件转化为两集合间真包含关系，列出关于的不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】因为，，且是的必要不充分条件，
所以是的真子集，且不是空集.
所以且等号不同时成立，解得，
所以实数的取值范围是，
故答案为:.
【点睛】解决根据充分条件和必要条件条件求参数取值范围的问题：一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的包含、相等关系，列出关于参数的不等式(组)求解.
13. 若函数的定义域为，则函数的定义域为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据抽象函数的定义域，利用替换思想求解即可.
【详解】因为的定义域为，
所以，
所以，
解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
14. 已知存在，不等式成立，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
问题转化为即可，，由，令，，问题转化为求的最大值，根据二次函数的性质求出的最大值，从而求出的范围即可．
【详解】若存在，不等式成立，
即即可，，
由，
令，，问题转化为求的最大值，
而，的最大值是2，
故，
故，
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题考查函数的有解问题， 一般通过变量分离，将不等式有解问题转化为求函数的最值问题：
1.有解；
2.有解.
四、解答题，本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，集合．
（1）求；
（2）若是的必要条件，求m的取值范围．
【答案】（1）或；
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式得到，，利用并集和补集的概念求出答案；
（2）根据必要条件得到，从而得到不等式，求出m的取值范围.
【小问1详解】
等价于，解得，
，
故，
则或；
【小问2详解】
是的必要条件，故，
，，
故，解得，
故m的取值范围是
16. （1）已知不等式的解集为，求的最小值．
（2）设不等式的解集为A，若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）4；（2）
【解析】
【分析】（1）为方程的两个根，由韦达定理得到两根之和，两根之积，再利用基本不等式求出最小值；
（2）分与两种情况，得到不等式，求出a的取值范围.
【详解】（1）由题意得为方程的两个根，
由韦达定理得，
则，
因为，所以，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为4；
（2），当时，，
解得，
当时，要满足，则，
解得，
故实数a的取值范围是.
17. 2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，生产（百辆），需另投入成本万元，且,由市场调研知，每辆车售价为6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出2019年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）2019年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？求出最大利润？
【答案】（1）；（2）产量为百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为万元.
【解析】
【分析】（1）分与两种情况分别求出的表达式后，将其写成分段函数的形式即可．
（2）当时，利用二次函数的性质求出的最大值，当时，利用对勾函数的性质求出的最大值，再比较即可得到的最大值和相应的的取值．
【详解】（1）当时，，
当时，.
综上所述，．
（2）当时，，所以当时，当时，，在上单调递增，在上单调递减；所以当时，所以当，即年年产量为百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为万元.
18. 已知．
（1）当，时，求的取值范围；
（2）当，时，求时的取值集合．
【答案】（1）或；（2）答案见解析；
【解析】
【分析】（1）根据分式的性质，利用分子常数化，转化为基本不等式进行求解即可．
（2）将分式不等式等价转化为一元二次不等式，讨论参数的取值范围进行求解即可．
【详解】解：（1）当，时，，，
当时，即，，
当且仅当，即时取等号；
当时，，，
当且仅当，即时取等号；
所以的取值范围为或
（2）当时，，即，，
①当时，解集为；
②当时，解集为或；
③当，即，解集为；
④当，即时，解集为；
⑤当，即时，解集为；
19. 已知实数集，定义．
（1）若，求；
（2）若，求集合A；
（3）若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值．
【答案】（1）
（2）或者.
（3）13
【解析】
【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可；
（2）根据可得，然后分中4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负进行讨论即可；
（3）分中没有负数和中至少有一个负数两种情况进行讨论即可求解.
【小问1详解】
;
【小问2详解】
首先，；
其次中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负.
记，不妨设或者--
①当时，，
相乘可知，从而，
从而，所以；
②当时，与上面类似的方法可以得到
进而，从而
所以或者.
【小问3详解】
估值+构造需要分类讨论中非负元素个数.
先证明．考虑到将中的所有元素均变为原来的相反数时，
集合不变，故不妨设中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论：
情况一：中没有负数．
不妨设，则
上式从小到大共有1+7+6=14个数，它们都是的元素，这表明
情况二：中至少有一个负数．
设是中的全部负元素，是中的全部非负元素.
不妨设
其中为正整数，．
于是有
以上是中的个非正数元素：另外，注意到
它们是中的5个正数．这表明
综上可知，总有-
另一方面，当时，中恰有13个元素. 综上所述，中元素个数的最小值为13.