广东省韶关市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷含解析（word版）

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1. 解析: 由题知 A={1,2,3,4,5},B={x∣2≤x≤5} . 因此 A∩B={2,3,4,5} . 故选: A
2. 解析: 由 z1+i=4i ,得 z=4i1−i1+i1−i=2+2i ,所以 z=22+22=22 . 故选: D
3. 解析: 因为 a=2,1,b=1,λ ,所以 a−b=1,1−λ ,因为 a⊥a−b ,所以 a⋅a−b=0 ,即 2+1−λ=0 ,解得 λ=3 . 故选: D.
4. 解析: 因为 X∼N64,86 ,所以 P75−110k≥1 .11 分
令 gk=ln2k−14kk≥1 .12 分
∴g′k=22k+14k2=4k+14k2>0,gk 在 [1,+∞) 上单调递增. 13 分
∴gk≥g1=ln2−14>0 . 14 分
∴k≥1 时, fx>1 在 0,+∞ 上恒成立. 15 分
18. ( 1 )证明:因为底面 ABCD 为直角梯形， AB//CD ， ∠BAD=90∘ ,所以 CD⊥AD . 1 分
又因为平面 PAD⊥ 平面 ABCD ,平面 PAD∩ 平面 ABCD=AD .3 分
CD⊂ 平面 ABCD ,所以 CD⊥ 平面 PAD .4 分
(2)因为 AB//CD,AB⊄ 平面 PCD,CD⊂ 平面 PCD ，所以 AB// 平面 PCD .5 分
设平面 PAB∩ 平面 PCD=l ,又 AB⊂ 平面 PAB ,所以 AB//l .6 分
由 CD⊥ 平面 PAD,AB//CD 可得 PA⊥l,PD⊥l .7 分
所以 ∠APD 或其补角为平面 PAB 与平面 PCD 所成角. 8 分
因为平面 PAB⊥ 平面 PCD ,所以 ∠APD=90∘ ,所以 PA⊥PD .9 分
(3)以 D 为坐标原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴，过点 D 垂直于平面 ABCD 的直线为 z 轴,
建立如图所示直角坐标系. 则 D0,0,0,A2,0,0,C0,1,0,B2,2,0 . . 10 分
取 M 为 AD 中点,由 ∠APD=90∘ 可得 MP=12AD=1 ,设 ∠PMA=θ ,
故可设 P1+csθ,0,sinθ .11 分
所以 CB=2,1,0,CP=1+csθ,−1,sinθ . 12 分
设平面 PBC 的法向量为 n=x,y,z ,则有
n⋅CB=0n⋅CP=0 ,即 2x+y=01+csθx−y+zsinθ=0 . 13 分
可取 n=−sinθ,2sinθ,3+csθ .14 分
由题可取平面 PAD 的一个法向量为 m=0,1,0 .
设平面 PAD 与平面 PBC 夹角为 φ ,则
csφ=cs=m⋅nm⋅n=2sinθsin2θ+4sin2θ+csθ+32=24,
化简得: 26cs2θ+9csθ−11=0 ,解得: csθ=12 或 csθ=−1113 . 15 分
所以 PD=1+csθ2+sin2θ=2+2csθ ,
所以 PD=3 或 PD=21313 .17 分
19. 解: (1) 由题可知 2c=4ba=tanπ3=3c2=a2+b2 , 1 分
解得: a2=1b2=3 . .2 分所以所求双曲线 C 的方程为 x2−y23=1 . 3 分
(2)由题知 F2,0 ，可设 AB:x=my+2 ， Ax1,y1 ， Bx2,y2 ，
3x2−y2−3=0x=my+2⇒3m2−1y2+12my+9=0, 4 分
Δ=144m2−363m2−1=36m2+1>0,
y1+y2=−12m3m2−1,y1y2=93m2−1 , 5 分
因为 A,B 都在双曲线 C 的右支上,所以有 y1y2