2025-2026学年甘肃省定西市渭源第三高级中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年甘肃省定西市渭源第三高级中学高一（下）期中数学试卷，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足，则z=（ ）
A. -2+2iB. -2-2iC. -2+iD. -2-i
2.已知向量，，且，则x=（ ）
A. -2B. -1C. 1D. 2
3.已知角α终边上一点F（-3，4），则=（ ）
A. B. C. D.
4.在△ABC中，内角A，B，C的对边为a，b，c，且，则角c为（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数是奇函数，则f（x）的最大值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
6.已知平面上不共线的四点O，A，B，C，满足，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7.在等腰△ABC中，AC=4，AB=BC=3，以点A为圆心作半径为1的圆，点P为此圆上的动点，若动点M满足，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.如图是索菲亚教堂建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物AB，高为20m,在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂塔尖C的仰角分别是45°和60°，在楼顶A处测得教堂塔尖C的仰角为15°，则该同学计算索菲亚教堂的高度CD为（ ）m
A. B. 20C. D. 30
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的是（ ）
A. 已知，，则的最小值为6
B. 在△ABC中，若，则△ABC为钝角三角形
C. 在△ABC中，已知，则向量在上的投影向量为
D. 在△ABC中，若点P满足，则P为△ABC的垂心
10.对于复数z,z1，z2，下列说法正确的是（ ）
A. 若z＜0，则z2＞0B. 若z2＞0，则z∈R
C. 若|z1|＞|z2|，则D. 若，则|z1|＞|z2|
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,△ABC外接圆的半径为2，且acsB+bcsA=c（4csA-1），则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. △ABC面积的最大值为
D. 若b-c=2，角A的平分线交BC于点D，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知α，β均是第一象限角，，则cs（α+β）= .
13.已知向量满足与的夹角为，则= .
14.已知α为锐角，，β是第四象限角，，则sin（α+β）= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P.
（1）求中线AM的长；
（2）求∠MPN的余弦值；
（3）设，求t的值，并用向量方法证明.
16.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若.
（1）求a的值；
（2）求b+c的最大值.
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）证明：A=2B.
（2）若，AB=4，D，E是边AB上的两个点，且∠DCE=B，求△CDE的面积的最小值.
18.(本小题17分)
已知函数.
（1）求最小正周期与单调递减区间；
（2）求函数在上的值域；
（3）若关于x的方程在上有四个不同的实数根，求实数a的取值范围.
19.(本小题17分)
如果三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称它为倍角三角形.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且.
（1）判断△ABC是否为倍角三角形，并说明理由；
（2）已知.
①证明：△ABC是锐角三角形；
②若c=2，求△ABC面积的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】ACD
10.【答案】AB
11.【答案】ABC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】0
15.【答案】

，，
因为B，P，N三点共线，
所以，又，
所以，
所以，解得
16.【答案】
17.【答案】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，
因为，
所以，即，
由正弦定理可得，
因为A+B+C=π，即A+B=π-C，所以sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，
所以，
根据两角和的正弦公式可得sinAcsB+sinBcsA=sinB+2sinBcsA，
则sinAcsB-sinBcsA=sinB，即sin（A-B）=sinB，
所以A-B=B或A-B+B=π（舍去）
故A=2B成立
18.【答案】解：（1）由
=，
则T=π，
令，，k∈Z．
f（x）的单调递减区间为：，k∈Z；
（2）当时，，，
所以函数在上的值域为（1，2]；
（3）因为，
，
所以可化为．
设，因为，
所以，所以，
即，则4t2+2at-3a-5=0，．
要使原方程在上有四个不同的实数根，
等价于方程4t2+2at-3a-5=0在（0，1）上有两个不同的实数根．
设h（t）=4t2+2at-3a-5，
由．
即实数a的取值范围为．
19.【答案】是；因为，所以由正弦定理得，所以，即a2=b2+bc，
由余弦定理a2=b2+c2-2bccsA，联立两式化简得b=c-2bcsA，
由正弦定理得sinB=sinC-2sinBcsA，
又因为C=π-A-B，所以sinC=sin（A+B）=sinAcsB+csAsinB，
代入整理得sinB=sin（A-B）因为A，B∈（0，π），所以B=A-B或B+（A-B）=π，
若B+A-B=π得A=π，不符合三角形内角和，舍去；所以B=A-B，即A=2B，符合倍角三角形定义，所以△ABC是倍角三角形 ①因为A=2B，得C=π-A-B=π-3B，
由正弦定理，
已知，故，又0＜2B＜π，得，即，
因为，，，
因此△ABC三个内角均为锐角，是锐角三角形；②