甘肃渭源县第三高级中学2025-2026年第二学期期中试卷高一数学（含答案）

这是一份甘肃渭源县第三高级中学2025-2026年第二学期期中试卷高一数学（含答案），共21页。试卷主要包含了数学等内容，欢迎下载使用。
注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效．
一、单选题（共8个小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求.）
1. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】先分离复数，再按复数除法法则将分母有理化，按复数乘法法则计算分子并化简，即可求得 的值.
【详解】由，得．
2. 已知向量，，且，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【正确答案】A
【分析】分别写出的坐标，根据向量平行的坐标表示列方程求解.
【详解】，，
因为，所以，解得.
3. 已知角终边上一点，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】因为角终边上一点，
所以，，，
所以，
，
所以.
4. 在中，内角的对边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】由余弦定理，，
又为三角形内角，所以.故D正确.
5. 已知函数是奇函数，则的最大值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【正确答案】B
【分析】根据奇函数性质求出，然后利用和差公式化简即可得解.
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，
即，解得或，
因为，即，所以，可得，
则，
显然为奇函数，满足题意，
当时，取得最大值.
6. 已知平面上不共线的四点，满足，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据已知条件求得，进一步得到，再结合投影向量定义即可求解.
【详解】由，得，即，
所以，所以与共线且同向，且，所以在上的投影向量为,
因为与共线且同向，所以，所以在上的投影向量为.
7. 在等腰中，，，以点为圆心作半径为的圆，点为此圆上的动点，若动点满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，得到以为圆心，半径为的圆方程为，
设，，根据，求得，进而得到
，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，
因为，，可得，
以为圆心作半径为1的圆，可得圆的方程为，
由点在圆上，可得设点的坐标为，
因为，可得，
可得，所以，
所以
，其中，
所以当时，取得最小值，最小值为.
故选：B.
8. 如图是索菲亚教堂建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂塔尖的仰角分别是和，在楼顶处测得教堂塔尖的仰角为，则该同学计算索菲亚教堂的高度为（ ）m
A. B. 20C. D. 30
【正确答案】D
【分析】先求得，然后利用正弦定理求得，从而求得.
【详解】如图，在中，，，
故，，
在中，，，
，
由正弦定理得，，
所以.
二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分.在每题给出的四个选项中，有多个选项符合要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知，，则的最小值为6
B. 在中，若，则为钝角三角形
C. 在中，已知，则向量在上的投影向量为
D. 在中，若点满足，则为的垂心
【正确答案】ACD
【详解】对于A选项，因为，
又，所以，
所以，当且仅当时等号成立，故A正确；
对于B选项，，故， 所以为锐角， 故不能判断为钝角三角形，故B错误；
对于C选项，如图设线段的中点为，
则，，
所以，所以，
设，则.在上的投影向量为,故C正确；
对于D选项，因为，所以
故，同理可得，故为的垂心，故D正确．
10. 对于复数，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【正确答案】AB
【详解】因为，所以是负实数，则，故A正确；
令，，因为，则，
所以，即，所以，故B正确；
假设，，满足，
但是，是虚数不能比较大小，故C错误；
假设，由于，满足，但是，故D错误.
11. 在中，角的对边分别为，外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 面积的最大值为
D. 若，角的平分线交于点，则
【正确答案】ABC
【分析】由正弦定理及两角和正弦公式化简判断A；由正弦定理计算判定B；由余弦定理结合基本不等式可得，再利用三角形面积公式计算判定C；由，利用三角形面积公式计算判断D.
【详解】对于A，因为，
所以，
所以，又，即，
则，又，所以，
解得，又，故，故A正确；
对于B，因为，外接圆的半径为2，
所以，故B正确；
对于C，因为，即，
又，所以，得，当且仅当时，取等号，
所以，即面积的最大值为，故C正确；
对于D，由，结合，解得，
由，即，
解得，故D不正确．
三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分.）
12. 已知均是第一象限角，，则______．
【正确答案】
【分析】根据条件分别求，再根据同角三角函数关系式求和，最后代入两角和余弦公式求解即可.
【详解】由条件可知，，得，又，所以，
因为是第一象限角，
所以，解得，，
又所以，解得，，
所以，
所以.
13. 已知向量满足与的夹角为，则_____．
【正确答案】
【详解】因为
所以.
14. 已知为锐角，，是第四象限角，，则__________.
【正确答案】
【详解】因为为锐角，，
所以，
又因为是第四象限角，，
所以，
所以.
四、解答题:本题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域答题.
15. 如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P．
（1）求中线的长；
（2）求的余弦值．
（3）设，求t的值，并用向量方法证明．
【正确答案】（1）
（2）
（3），证明见解析
【分析】（1）运用中线长的向量表达式，结合数量积定义可解；
（2）转化为向量夹角余弦值可解；
（3）根据中线的性质及三点共线求证即可.
【小问1详解】
因为为BC的中点，，
，
.
【小问2详解】
因为，
,
，
.
【小问3详解】
，证明如下：
，
因为三点共线，
所以，又，
所以，
所以，解得.
16. 记的内角的对边分别为，若．
（1）求的值；
（2）求的最大值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）先根据已知条件和余弦定理得，再利用正弦定理求出，最后把代入即可求出；
（2）先利用余弦定理得，再结合均值不等式即可求出.
【小问1详解】
由余弦定理可得，
整理得，
由正弦定理得，，
又，.
【小问2详解】
在中，由余弦定理得，
，
由均值不等式可得：，
，，当且仅当时等号成立，
故的最大值为.
17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）证明.
（2）若，，D，E是边上的两个点，且，求的面积的最小值.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）由余弦二倍角公式可得，根据正弦定理及两角和差正弦公式化简即可得证；
（2）设，由正弦定理可得，，由三角形面积公式可得，令，化简可得最大值为，进而可计算面积最小值.
【小问1详解】
因为，
所以，即，
由正弦定理可得，
因为，即，所以，
所以，化简可得，
则，即，
所以或（舍去）
故成立；
【小问2详解】
若，则，，
因为，所以，，
设，则，
在中，，由正弦定理可得：
，即，
在中，，由正弦定理可得：
，即，
所以的面积为，
令，
则
因为，所以，
由余弦函数性质可知，
当，即时，有最大值为，
此时的面积有最小值为.
18. 已知函数.
（1）求最小正周期与单调递减区间；
（2）求函数在上的值域；
（3）若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围.
【正确答案】（1），单调递减区间为，
（2）
（3）
【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简可得结合正弦函数的最小正周期公式和单调区间即可求解；
（2）利用整体法结合正弦函数的值域求解即可；
（3）设，将问题转化为，有四个不同的实数根，结合一元二次方程根的情况求解即可.
【小问1详解】
由
，最小正周期为.
令，，.
所以函数的单调递减区间为：，.
【小问2详解】
当时，，，
，所以函数在上的值域为.
【小问3详解】
因为，
，
所以可化为
.
设，因为，
所以，所以，
即，则，.
要使原方程在上有四个不同的实数根，
等价于方程在上有两个不同的实数根.
设，
由.
即实数的取值范围为.
19. 如果三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称它为倍角三角形．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）判断是否为倍角三角形，并说明理由；
（2）已知．
①证明：是锐角三角形；
②若，求面积的取值范围．
【正确答案】（1）是；理由见解析
（2）①证明见解析；②
【分析】（1）利用正弦定理将已知的边角比例关系转化为边的关系式，结合余弦定理与三角形内角和定理推导出存在一个内角等于另一个内角的两倍，从而完成判断；
（2）结合第一问得到的的结论，由三角形内角和得到，再利用正弦定理将转化为关于角的三角函数不等式，求出三个内角的范围后验证三个内角都小于，完成证明；②由和确定的取值范围，结合第一问得到的边、角关系，将三角形面积表示为关于的函数，结合函数单调性求出面积的取值范围.
【小问1详解】
△ABC是倍角三角形，理由如下：
由正弦定理得，结合已知条件可得​，交叉相乘得： ，
由余弦定理，联立两式化简得，
由正弦定理可得，
又，，
代入整理得因为，所以或，
若得，不符合三角形内角和，舍去；
故，即，符合倍角三角形定义，因此是倍角三角形.
【小问2详解】
① 证明是锐角三角形：
由，得，
由正弦定理，
已知，故​，又，得，即，
因为​，，，
因此三个内角均为锐角，是锐角三角形.
②因为，所以，
由正弦定理及得，所以，
所以，又，所以，
所以，
又，所以，
因为函数在单调递增，，
所以，所以.