2025-2026学年山东省烟台市高一（下）期末数学试卷

这是一份2025-2026学年山东省烟台市高一（下）期末数学试卷，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.样本数据84，76，78，82，88的第60百分位数是（ ）
A. 80B. 82C. 83D. 84
2.若圆锥的轴截面（过圆锥轴的一个截面）是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. πB. 2πC. 3πD. 4π
3.若直线l不平行于平面α，则下列结论成立的是（ ）
A. α内的所有直线都与l异面B. α内不存在与l平行的直线
C. α内的所有直线都与l相交D. 直线l与平面α有公共点
4.若样本数据0，3，4，a,7的平均数为4，则其方差为（ ）
A. B. 2C. D. 6
5.设m,n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若m⊥α，m⊥n,则n∥αB. 若m∥α，n∥β，m∥n,则α∥β
C. 若m⊥α，n∥α，则m⊥nD. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
6.已知一盒子中装有编号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，各小球除编号外完全相同，若从该盒子中随机抽取两个小球，则取出小球的编号为相邻整数的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.已知一枚质地均匀的正六面体骰子的六个面分别标以数字1，2，3，4，5，6，现抛掷该骰子两次，观察并记录它每次落地时朝上的面的数字.记事件A=“两次数字之和为偶数”，事件Bi=“第i次的数字为奇数”（i=1，2），则下列说法正确的是（ ）
A. 事件A与事件B1互斥B. 事件B1与事件B2互为对立事件
C. P（A∪B1）＞P（B1∪B2）D. P（AB1）=P（B1B2）
8.已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，，，点B1在底面ABC内的射影为△ABC的外心，则直线BC1与平面ABC所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知四边形ABCD在平面α内的平行投影为平行四边形A1B1C1D1，则四边形ABCD可能是（ ）
A. 平行四边形B. 梯形C. 矩形D. 空间四边形
10.给定甲、乙两组数据，其中甲：x1，x2，…，xn，乙：2x1+1，2x2+1，…，2xn+1，x1≠x2，n≥2，则（ ）
A. 乙的平均数大于甲的平均数B. 乙的方差大于甲的方差
C. 乙的极差是甲的极差的两倍D. 乙的中位数大于甲的中位数
11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P，M，N分别为线段BC1，BD，CC1上的动点（点N异于点C），则下列结论正确的有（ ）
A. D1P⊥A1D
B. 对任意的点N，均存在点M，使得CM∥平面BD1N
C. 直线D1P与C1M所成的角的余弦值的最大值为
D. 若点Q为底面ABCD内的动点，则D1P+PQ的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某学校学生的劳动课程总成绩由纸笔测试、实践项目、学生互评三部分成绩构成，且这三部分成绩在总成绩中的占比分别为30%，50%，20%.若该学校全体学生上述三部分成绩的平均值依次为80，90，85，则该学校劳动课程总成绩的平均值为 .
13.直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2AA1=2，则该三棱柱外接球的表面积的值为 .
14.现有编号为1，3，5的三个大小质地完全相同的小球与编号为2，4，6的三个盒子.若从这三个小球中任取一个随机放入其中一个盒子，则该小球的编号大于其所在盒子编号的概率为 .若将这三个小球全部随机放入三个盒子中，每个盒子均放入一个小球，则恰有两个小球的编号大于其所在盒子编号的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知事件A，B相互独立，其对立事件分别为.
（1）证明：与相互独立；
（2）若P（A）=0.4，P（B）=0.5，求.
16.(本小题15分)
为了解学生身体素质情况，某市从A，B两所学校随机抽取相同数量的学生进行体育达标测试，测试成绩满分100分，且规定：测试成绩小于60分为“不合格”，成绩在[60，90）为“合格”，成绩不小于90分为“优秀”.现分别统计两所学校全部测试学生成绩（成绩均在[50，100]），并整理得到如图表，其中B校成绩为“不合格”的人数为10人.
A校测试成绩频数分布表
（1）求图表中a,b的值，并根据频率分布直方图估计B校所有测试学生成绩的中位数（精确到0.01）；
（2）已知A校所有测试学生成绩的平均值为75、方差为120，求B校所有测试学生成绩的平均值和方差（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），并据此比较两所学校学生身体素质的平均水平与个体差异水平的高低；
（3）采用比例分配的分层随机抽样方法，从A，B两所学校测试成绩为“优秀”的所有学生中，随机抽取6人.若从抽取的6人中任选2人，求这2人来自同一学校的概率.
17.(本小题15分)
如图，三棱台ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，平面ABB1A1⊥平面BCC1B1.
（1）证明：AB⊥BC；
（2）若AB=2A1B1，点O为线段AC的中点，点M为线段OC的中点，证明：B1M∥平面A1BO.
18.(本小题17分)
乒乓球运动是常见的大众运动项目之一.已知11分制乒乓球比赛中，每一局比赛的规则如下：参加比赛双方的起始比分为0：0，任何一方每赢得一球该方增加1分，对方不增加分；若双方比分未出现10：10，参赛双方每打完两球交换一次发球权，直至某一方先得11分且至少领先对方2分时，该方获胜，该局比赛结束；若双方比分出现10：10，立即交换发球权，且接下来每打完一球交换一次发球权，直至某一方领先对方2分，该方获胜，该局比赛结束.现甲、乙双方进行乒乓球比赛，设甲发球并赢得该球的概率为，乙发球并赢得该球的概率为，且双方打每个球的结果相互独立.
（1）已知甲、乙在某局比赛中目前的比分为10：10，接下来由甲发球，双方又打了n（n∈N*）个球后该局比赛结束.
（ⅰ）求事件“n=2”的概率；
（ⅱ）求事件“n=4且甲获胜”的概率；
（2）已知甲、乙在某局比赛中目前的比分为8：8，接下来由甲发球，求“该局比赛结束时甲得11分”的概率.
19.(本小题17分)
如图，四棱锥P-ABCD中，PA=PB=10，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2CD=12，BC=5，且二面角P-AB-C的大小为60°.
（1）证明：平面PCD⊥平面ABCD；
（2）求侧面PAD与侧面PBC所成二面角的余弦值；
（3）设点M为底面ABCD内一点，且，求直线PM与BD所成的角的余弦值的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】ACD
10.【答案】BC
11.【答案】ABD
12.【答案】86
13.【答案】9π
14.【答案】

15.【答案】证明：设P（A）=x，P（B）=y，
由于事件A，B相互独立，则P（AB）=P（A）P（B）=xy，
则P（A+B）=P（A）+P（B）-P （AB）=x+y-xy，
故P（∩）=1-P（A+B）=1-x-y-xy=（1-x）（1-y），
而P（）P（）=（1-x）（1-y），
故有P（∩）=P（）P（），即事件与相互独立
0.8
16.【答案】a的值为20，b的值为0.020，中位数为75.71
=75，S=110，
两校学生身体素质平均水平相同，B校学生成绩波动更小，个体差异更低

17.【答案】在平面ABB1A1内作AH⊥BB1，垂足为H，

又面ABB1A1⊥平面BCC1B1，平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1，且AH⊥BB1，
所以AH⊥平面BCC1B1，
又因为BC⊂平面BCC1B1，
所以AH⊥BC，
因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以AA1⊥BC，
因为AH⊥BC，AA1⊥BC，AA1∩AH=A1，AA1，AH⊂平面ABB1A1，
所以BC⊥平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，
所以BC⊥AB
连接A1B交AB1于点N，
在侧面ABB1A1中，因为AB∥A1B1，
所以．
因为点O为线段AC的中点，点M为线段OC的中点，所以AO=2OM，
所以，∠OAN为公共角，
所以△ANO∽△AB1M，所以NO∥B1M．
又NO⊂平面A1BO，B1M⊄平面A1BO，
所以B1M∥平面A1BO
18.【答案】（i）；（ⅱ）

19.【答案】证明：因为底面ABCD为等腰梯形，且AB∥∥CD，
延长AD，BC，设其交点为E，连接PE．
设线段AB的中点为F，连接PF，EF，设EF∩CD=G．
在△PAB中，因为PA=PB，所以PF⊥AB，

在△EAB中，因为∠EAB=∠EBA，
所以△EAB为等腰三角形，所以EF⊥AB，
又PF∩EF=F，PF，EF⊂平面PEF，所以AB⊥平面PEF，
因为PG⊂平面PEF，
所以AB⊥PG，
由已知可得，，，
因为AB⊥平面PEF，
所以∠PFE为二面角P-AB-C的平面角，所以∠PFE=60°，
在△PFG中，由余弦定理．
又因为，所以PG2+FG2=PF2，
由勾股定理，△PGF为直角三角形，所以PG⊥FG．
又AB∩FG=F，AB，FG⊂平面ABCD，
所以PG⊥平面ABCD．
又PG⊂平面PDC，
所以平面PCD⊥平面ABCD
分组
频数
[50，60）
10
[60，70）
a
[70，80）
40
[80，90）
20
[90，100]
10