四川省资阳市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题(含答案)

这是一份四川省资阳市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题(含答案)，共3页。

高中一年级第二学期期末试题 数 学
本试卷共19题，共150分，共4页。考试用时120分钟。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：
1. 答题前，考生先将自己的姓名、考号填写在答题卡上，将条形码准确粘贴在答题卡上的 条形码区域内。
2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字 体工整，笔记清楚。
3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试卷上答题无效。
4. 保持答题卡清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.
1. 已知复数,则|z|=
A. B. C.√2 D.2
2.sin34°sin26°-cs34°cs26°=
B. C. D.
3. 已知点A(-1,1),B(0,3),C(x,7). 若A,B,C 三点共线，则实 数x=
A.-13 B.2
C.4 D.6
4. 如图1,已知八面体ABCDEF的每个面都是正三角形，且四边形 ABCD是边长为2的正方形，则该八面体的表面积为
图1
A.8√3 B.12√3
C.16√3 D.24√3
5. 如图2,平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O,E 点，设AB=a,AD=b, 则OE=
A.
B.
D.
是线段CD 上靠近D的一个三等分
图2
高一数学试卷第1页(共4页)
6. 记△ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c. 若满足 a=4, 的三角形有两 解，则b的取值范围是
A.(0,4) B.(√3,2√3) C.(2,4) D.(2√3,4√3)
7. 某兴趣小组男生、女生人数之比为3:5,现通过对该兴趣小组全体成员每周课外阅读时长 (单位：小时)的调查得知：男生每周课外阅读时长的平均数为x₁=5.2, 方差为s²=5.65, 女 生每周课外阅读时长的平均数为x₂=4.4, 方差为s²=5.01, 则该兴趣小组全体成员每周课
外阅读时长的方差s²=
A.5.2 B.5.3
C.5.4 D.5.5
8. 如图3,在三棱锥P-ABC 中 ，PA⊥ 平面ABC, AC=6,PA=4, 则三棱锥P-ABC 外接球的体积为
A. B.64π
C.32π D. 图3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知m,n 是空间中两条不同的直线，a,β 是两个不同的平面，下列说法正确的是
A. 若m ⊥ a,m ⊥n, 则n//a B. 若m// n,n ⊥a,m⊥β, 则a//β
C. 若m ⊥a,n//a, 则m ⊥n D. 若m ⊥n,m⊥a, n//β,则a⊥β
10. 如图4,正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱长为2,E,F 分别是AD, DD₁的中点，G是底面ABCD内的动点(含边界),下列结论正确 的是
A. 异面直线A₁B与EF 所成的角的大小为
B. 过B,E ,F 三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形
C. 存在点G, 使得FG// 平面ABC₁D₁
D. 若D₁G// 平面A₁BC₁,则点G的轨迹的长度为2√2 图4
11. 如图5,一个半径为2m 的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒
车的轴心O 距离水面的高度为1m. 设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d ( 单位：m)( 在水面下d 为负数),以盛水筒P刚
浮出水面时开始计算时间t(单位：s), 下列结论正确的是
A. 筒车转动的角速度
B.d 关于t 的函数解析式可以为
C. 当 ,盛水筒P 首次到达最高点 图5
D. 若盛水筒P离水面的距离不低于2m, 则；,k∈Z
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 在复平面内，若复数z=m-1+(m+1)i 所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是
13. 已知 2,则
14. 已知△ABC的外接圆圆心为0,且满足 ,|OA|=|AC|=2,D 是线段 BC上的动点，则DA·DB的最小值为 ·
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13分)
已知向量a,b 满足：|a|=2, |b|=4, |a+b|=2 √3.
(1)求a,b 的夹角θ;
(2)若(2a+b)⊥(λa-b), 求实数λ的值.
16. (15分)
近年来，某江南小城凭借特色美食与非遗体验迅速走红，吸引了大量游客前往观光体验. 为了解游客体验满意度，某部门5月份随机选取了部分游客对该小城旅游体验进行满意度评 分(满分100分),并将评分按区间(60,70),(70,80),(80,90),[90,100]分成4组，绘制得到 如图6所示的频率分布直方图.
(1)求a 的值，并估计满意度评分的平均值x (同一组数据用该组区间的中点值作代表);
(2)若有超过65%的人满意度评分在75分及 频率/组距
4a
以上，则认为游客满意度达标.该小城5月份的
游客满意度达标了吗?请说明理由. 0.035
0.015
60 8090100成绩/分
(1)求f(x) 的单调递减区间以及函数f(x) 图象的对称中心坐标；
(2)将曲线y=f(x) 向左平移 个单位长度；然后将所得曲线上各点的横坐标伸长为原来 的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x) 的图象.若 ,求g(2a) 的值.
图6
17. (15分)
已知向量a=(sinx+csx,2sinx),b=(sinx-csx,√3csx),
函数f(x)=a ·b.
18. (17分)
已知△ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 且满足
(1)求证：A+C=2B;
(2)若b=6,
(i) 求△ABC周长的取值范围；
(ii) 若AD=DC,|BD|=4, 求△ABC的面积.
19. (17分)
如图7,在四棱锥P-ABCD 中 ，PA=PC=PD, 底面ABCD是平行四边形，E 为AD的中
点，EB⊥EC,PE= √ 3,
(1)求证：PE⊥BE;
(2)设平面PBE∩ 平面PCD=1,AD=2, 求二面角B-1-C 的余弦值；
(3)当直线PA与平面PCD所成的角最大时，求四棱锥P-ABCD 的体积.
图7
高中一年级第二学期期末试题
数学参考答案和评分意见
评分说明：
1. 本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内 容比照评分参考制定相应的评分细则。
2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果 后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4. 只给整数分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
1. B 2. C 3. B 4. A 5. D 6. C 7. C 8. A
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。
9. BC 10. BCD 11. ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(-1,1) 13. -3 14.
四、解答题：本大题共5小题，共77分。
15 . (13分)
(1) 向量a,b的夹角为θ.
由 |a+b|=2 √ 3,得(a+b)²=12,即a²+b²+2a · b=12 3分
则4+16+2×2×4csθ=12,得 , 又θ∈[0,π],
故向量a,b的夹角 …………………………………………………………………7 分 (2)因为(2a+b)⊥(λa-b),
所以(2a+b) · (λa-b)=0,即2λa²+(λ-2)a ·b-b²=0 10分
,即8λ-4(λ-2)-16=0,
解得λ=2. 1 3分
16 . (15分)
(1) 依题意，得10(a+4a+0.035+0.015)=1 2分 解得a=0.01 3分 可知，评分在区间(60,70),(70,80),(80,90),[90,100]的频率依次为
高一数学答案第1页(共6页)
0.15,0.35,0.40,0.10. 4分 满意度评分的平均值的估计值为x=65×0.15+75×0.35+85×0.4+95×0.1=79.5.
…………………………………………………………………………………………………………………7 分
(2) 该小城5月份的游客满意度达标 8分
理由如下：
超过65%的人满意度在75分及以上，即35%分位数大于等于75,
因为满意度评分在(60,70)的频率为0.15,小于0.35,在(60,80)的频率为0.5,大于0.35, 所以35%分位数位于区间(70,80) 10分
可得35%分位数 ………………………………………………1 3 分
因为
所以该小城5月份的游客满意度达标 1 5分
17 . (15分)
(1)因为f(x)=a ·b=(sinx+csx)(sinx-csx)+2 √3sinx ·csx
= sin²x-cs²x+2√3 sinx·csx=-cs2x+√3sin2x
………………………… 4 分 由
故f(x)的单调减区间为 ………………………………… 6 分
由 , 得 ,k∈Z,
故f(x)的对称中心为 (k∈Z).………………………………………………… 8 分
(2)由已知，得g(x)=2csx. …………………………………………………………………………10 分
因为, 所以 ,所以…………………1 2 分 所以
…………………………………1 5 分
18 . (17分)
(1) 由已知，得bcsC+ccsB=2acsB. 1分
方法1:
由正弦定理得：sinBcsC+sinCcsB=2sinAcsB 2分 从而sin(B+C)=2sinAcsB,即sinA=2sinAcsB,又sinA>0,
则 ,…… … ……………… … … …… ……………………4分
因为B∈(0,π), 所以 ,所
所以A+C=2B. .. .. . .. …… …… …… …………5分
方法2:
由余弦定理得： ,………… ………2分 化简得a²+c²-b² =ac, … … ……… ……… … … ………… ……3分
,………… …… ……………… ……………… ……4分
因为B∈(0,π), 所以. 所
所以A+C=2B. … … … … … …… ……… … ……… ………………………5分
(说明：直接利用bcsC+ccsB=a 得出a=2acsB, 从而 ,不扣分)
(2)(i) 方法1:
由正弦定理得： ,则a=4√3sinA,c=4√3sinC, 6 分
因为 …… ………… … ………………7分
所以△ABC的周长
,………… ………… …………9分
因为 ,所以,故
所以△ABC周长的取值范围是(12,18).………………… ………………… ………11分 方法2:
由余弦定理得：6²=a²+c²-2accsB=α²+c²-ac,所以(a+c)²=36+3ac.………6分 因为……………… ……9分 所以(a+c)²≤12²→a+c≤12 (当且仅当a=c=6 时取得等号).
因为a+c>b=6, 所以△ABC周长的取值范围是[12,18]. ………………………11分 (ii) 方法1:
由已知得：D 为边AC的中点，中线BD=4, 由①知，在△ABC中 ，a²+c²-36=ac.
在△ADB中，由余弦定理得, ………… ……………………13分
在△BDC中，由余弦定理得 ………… … …… ………15分 因为cs ∠ADB=-cs∠BDC,
高一数学答案第3页(共6页)
所以a²+c²=50, 则ac=14.
所以ac=14, 所以 方法2:
…………
……
……………………
17分
,
……
…………
13分
所以a²+c²+ac=64,………………………… …… ……… …………… ……15分 又由①知a²+c²-ac=36, 所以ac=14,
…… … ………… … … …………………17分
19. (17分)
(1)证明：
因为PA=PD,E 为AD的中点，所以PE⊥AD. …………………… ……… ………1分
因为四边形ABCD为平行四边形，所以AD//BC,
所以
因为EB⊥EC, 所以
在△PEC与△PED中，PE=PE,EC=ED,PC=PD ,所以△ PEC≌△PED,
所以 ,PE⊥EC, … … … … …… ……………… …………3分 又EC∩AD=E,ECC 平面ABCD,A DC 平面ABCD,
所以PE⊥ 平面ABCD, 又BEC 平面ABCD,
所以PE⊥BE. … … … … …………………… ……………………4分 (2)
延长BE 与 CD 交于点F, 连接PF.
因为F∈BE, F∈CD,
所以F∈ 平面PBE, F ∈ 平面PCD, 又P∈ 平面PBE,P∈ 平面PCD,
所以平面PEB∩平面PCD=PF=1. …… …………… … ………… … ……5分
因为四边形ABCD为平行四边形，
高一数学答案第4页(共6页)
因为EB⊥EC, 所以 ,BE=√3, 所以ED 为△FBC的中位线，所以CF=2CD=2,
因为PE⊥EC,PE=√3,EC=1, 所以PC= √3+1=2,
所以PC=CF,△ PCF 为等腰三角形；
取PF 的中点G, 连接CG,EG, 则PF⊥CG.
因为CE⊥BE,CE⊥PE,PE∩BE=E, 所以CE⊥平面PEB,即 ：CE⊥平面PFB,
因为PFC 平面PFB, 所以PF⊥CE,
因为PF⊥CG,PF⊥CE,CG∩CE=C, 所以PF⊥平面CEG,
又EGC 平面CEG, 所以PF⊥EG,
所以∠EGC即为二面角B-1-C 的平面角.…… ………… ………… ………8分 在Rt△PEB中，BE=√3,PE=√3, 所以PB= √6,
因为E,G 分别为BF,PF 的中点，所以EG为△PFB的中位线，所以 所以在Rt△CEG中，EC=1,
所以，二面角B-1-C 的余弦值为 …… ……… … …… …………10分 (3)
D
设EA=x, 点A到平面PCD的距离为h.
因为EB⊥EC, ,所以
则EC=ED=CD=x,PA=PC=PD=√x²+3, 作PH⊥CD 于H.
所以
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所以
………
… ………… ………11分
因为AD=2x, 点C 到AD的距离为
所以 所以
因为VA-PcD=Vp-ACD,
即 x²,所以 …………………… ………12分
设直线PA与平面PCD 所成角为θ,则：
…
……………
………
……
……………
13分
当且仅当 ,即x²=2√3 时 ，sinθ最大，θ最大.……………… ……………16分 此时巧x×√3=x²=2√3. …… …… ……… ………17分