广东省广州市三校联考2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题(含答案)

这是一份广东省广州市三校联考2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题(含答案)，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1 ．已知集合A = {x -1< x ≤ 1} ，B = {x 0 < x < 2} ，则 AU B = ( )
A ．{x 0 < x ≤ 1} B ．{x -1< x < 2}
C ．{x 0 < x < 1} D ．{x -1< x < 0}
2 ．已知甲、乙两人投篮命中的概率分别为0.4 和0.8，且事件“ 甲命中”与“ 乙命中”是独立的，则甲、乙两人至少有一人命中的概率为( )
A ．0.88 B ．0.48 C ．0.32 D ．0.12
3 ．已知tan ，则 sin2 a + 2sin2a 的值为( )
13 8 13 4
A ． B ． C ． D ．
10 13 8 13
4 ．已知正三棱台ABC - A1B1C1 ，AB = 3A1B1 = 9 ，侧棱 A1A = 4 ，则正三棱台的体积为( )
A ． B ．13 3 C ． D ．393
5 ．已知四边形 ABCD 为平行四边形， EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 4(uu),A) = 2 ，F 为 AC 与 DE 的交点，则 = ( )
6．记a ，b ，c 分别为 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且A 3a = 4bsinC ，则 △ABC的形状为( )
A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．锐角或直角三角形
7 ．已知f (x) 的定义域为R ，f (x) 的图象关于点(1, 2)对称， g (x) = f (x - 2)+ 3x ，且g(x)的图象关于点(1, 0)对称，则g(19) = ( )
A ．99 B ．78 C ．66 D ．52
8 ．已知 是函数f = sinwx 的一个零点，当x 时，f (x) < 0 ，则方程2f (x ) = 1- f (x )在区间(0, 3π ) 内所有根的和为( )
5π 11π 15π 21π
A ． B ． C ． D ．
2 2 4 4
二、多选题
9 ．已知复数z = (m2 - m - 2)+ (m2 -1)i ，其中 m ∈ R ，i 是虚数单位，则( )
A ．当m = -1 时，z 为纯虚数 B ．当m = 1时， z ∈ R
C ．当m = 2 时，z = -3i D ．当m = -2 时， z . (1+ 3i) = 10
10 ．下列说法正确的是( )
A ．在VABC 中，B——→ = 2D——, E 为AC 的中点，则
|è AB ACøl
B ．在VABC 中，若æ| ————→→ + EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 12(—),A)————→→ öl . B——→ = 0 ，则 VABC 是等腰三角形
C ．已知 = (1, -3), = (k,1) ，若 与 的夹角是钝角，则k < 3
D ．在边长为 6 的正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，且BE = 2EC ，点 F 是CD中点，
则AE . BF = 6
———→ ———→
11．在矩形ABCD 中，AB = 1，AD = 3 ，将VABD 沿BD 折叠至VA1BD ，得到三棱锥A1 - BCD ，设球O 为三棱锥A1 - BCD 的外接球，则下列说法正确的是( )
3
A ．若平面A1BD 丄 平面BCD ，则三棱锥 A1 - BCD 的体积为 4
B ．球O 的半径为 1
3
C ．若A1C 与 BD 的夹角的正切值为 ，则二面角 A1 - BD - C 的大小为120° 2
D ．设E, F 分别为A1D, BC 的中点，则直线EF 被球O 所截长度的取值范围是
三、填空题
12 ．已知向量 = (1,2), = (3, - 1) ，则向量 在 方向上的投影的坐标是
13 ．已知a > 1 ，b > 1，且 ab = a + b + 3 ，则 4a + b 的最小值为
14 ．已知复数w1,w2 满足 ，记满足 z - wi ∈ [ \l "bkmark1" 1, \l "bkmark2" 3](i = 1, 2) 的复数z 组成的集合为A .若z1 ∈ A 且z2 ∈ A ，则 z1 - z2 的取值范围是
四、解答题
15 ．如图，正三棱柱ABC - A1B1C1 中，AB = 2, AA1 = 3 ，M 为AB 的中点．
(1)求证：C1B / / 平面A1CM ；
(2)求异面直线A1M 与BC1 所成角的余弦值．
16 ．学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的 50 名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数xi (i = 1, 2,…, 50) 全部介于 45 分到 95 分之间（满分 100 分），学校将所有测试分数分成 5 组：[45, 55) ，[55, 65) ， … , [ \l "bkmark3" 85, \l "bkmark4" 95] ，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）．
(1)求m 的值，并估计此次数学测试分数的平均数x 与中位数．（中位数保留一位小数）
(2)若采用分层随机抽样的方法，从分数在[65,85) 内的学生中抽出 5 人，查看他们的答题情况，再从中选取 2 个人进行面试，求这 2 人中至少有一人分数在[75, 85) 内的概率．
17 ．设锐角 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c，且 c sin A + 3a cs C = 3b ．
(1)求角A；
(2)若b = 2 ，求 △ABC 的面积 S 的取值范围；
(3)若 △ABC 的外接圆半径为3 ，求 △ABC 内切圆半径的最大值．
18 ．如图，在五棱锥S - ABCDE 中，平面SAE 丄 平面AED ，AE 丄 ED ，SE 丄 AD ．四边形
ABCD 为矩形，且SE = AB = 1 ，AD = 3 ，B——→ = 2EQ \* jc3 \* hps18 \\al(\s\up 6(—),N)— ．
(1)证明：SE 丄 平面AED ；
(2)若AE ，求二面角 E - SA - D 的余弦值；
(3)求直线DN 与平面SAD 所成角的正弦值的最小值．
—→ ——→ ——→ ——→ ——→ ——→ ——→ ——→ ——→
19 ．对于一组向量a1 、a2 、a3 、 、an （n ∈ N 且n ≥ 3 ），令Sn = a1 + a2 + a3 + … + an ，如果
存在 EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 8(—),a){1, 2,3,… , n})，使得 EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 8(—),a) ≥ EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 8(—),S) - EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 8(—),a) ，那么称 EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 7(—),a) 是该向量组的“长向量”．
(1)设EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 8(—),a) = (n, x + 2n) ，n ∈ N 且n > 0 ，若EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 7(—),a) 是向量组 、 EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 7(—),a) 、 EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 7(—),a) 的“长向量” ，求实数x 的取
值范围；
(2)若sin cs n ∈ N 且n > 0 ，向量组 、 EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 7(—),a) 、 EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 7(—),a) 、 … 、 EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 7(—),a) 是否存在“长向量”？
给出你的结论并说明理由；
(3)已知 、 EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 6(—),a) 、 EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 6(—),a) 均是向量组 、 EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 6(—),a) 、 EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 6(—),a) 的“长向量”，其中 = (sin x, cs x)，
EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 9(—),a) = (2 cs x, 2 sin x) ．设在平面直角坐标系中有一点列P1 、P2 、P3 、… 、Pn ，满足P1 为坐标
——→
原点，P2 为a3 的位置向量的终点，且P2k +1 与P2k 关于点P1 对称，P2k +2 与P2k +1 （k ∈ N 且k > 0 ）关于点P2 对称，求 的最小值．
《广东广州市三校联考 2025-2026 学年高一下学期 7 月期末考试数学试题》参考答案
题号
难度系数
详细知识点
1
0.95
并集的概念及运算
2
0.65
独立事件的乘法公式；利用对立事件的概率公式求概率
3
0.7
给值求值型问题；正、余弦齐次式的计算
4
0.62
台体体积的有关计算
5
0.5
平面向量的混合运算；向量的线性运算的几何应用；用基底表示向量；平面向量基本定理的应用
6
0.65
正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形
7
0.4
由函数对称性求函数值或参数；函数对称性的应用
8
0.42
利用正弦函数的对称性求参数；正弦函数对称性的其他应用；正弦函数图象的应用
9
0.85
已知复数的类型求参数；求复数的模；复数代数形式的乘法运算
10
0.62
向量夹角的计算；垂直关系的向量表示；数量积的坐标表示；用基底表示向量
11
0.3
锥体体积的有关计算；多面体与球体内切外接问题；求异面直线所成的角；球的截面的性质及计算
12
0.65
数量积的坐标表示；求投影向量
13
0.68
基本不等式求和的最小值
14
0.45
求复数的模；与复数模相关的轨迹（图形）问题
15
0.85
证明线面平行；求异面直线所成的角
16
0.85
由频率分布直方图估计平均数；由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量；抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算； 计算古典概型问题的概率；由频率分布直方图估计中位数
17
0.65
正弦定理边角互化的应用；三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形
18
0.4
求线面角；求二面角；余弦定理解三角形；证明线面垂直
19
0.15
平面向量线性运算的坐标表示；向量新定义；求含 sinx(型)函数的值域和最值；向量模的坐标表示
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
计数原理与概率统计
2,16
3
三角函数与解三角形
3,6,8,17,18,19
1 ．B
【难度】0.95
【知识点】并集的概念及运算
【详解】因为集合 A = {x -1< x ≤ 1} ，B = {x 0 < x < 2} ，所以 A È B = {x -1< x < 2} .
2 ．A
【难度】0.65
【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率
【分析】令事件A 表示甲投篮命中，事件B 表示乙投篮命中，事件C 表示甲、乙两人至少有一人命中，则P(A) = 0.4, P(B ) = 0.8 ，C = AB + AB + AB ，利用独立事件和互斥事件的概率公式即可求解.
【详解】令事件A 表示甲投篮命中，事件B 表示乙投篮命中，事件C 表示甲、乙两人至少有一人命中，
则P(A) = 0.4, P(B ) = 0.8 ，所以 C = AB + AB + AB ，
所以P(C ) = P (AB + AB + AB ) = P (AB )+ P(AB ) + P(AB )
= P (A)P (B )+ P(A)P (B )+ P(A)P (B )
= 0.4 × 0.8 + 0.4 × (1- 0.8) + (1- 0.4)× 0.8 = 0.88 ，故选：A.
3 ．A
【难度】0.7
【知识点】正、余弦齐次式的计算、给值求值型问题【详解】tan ，解得 tana
4
空间向量与立体几何
4,11,15,18
5
平面向量
5,10,12,19
6
函数与导数
7
7
复数
9,14
8
等式与不等式
13
原式 4 ．C
【难度】0.62
【知识点】台体体积的有关计算
【详解】如图，将正三棱台补成正三棱锥 S - ABC ，
作SO 丄 平面ABC 分别交平面ABC 、平面 A1B1C1 于O 、O1 ，
作A1N 丄 平面ABC 交AO 于N ，则 O 、O1 分别为VABC 、 △A1B1C1 的中心.因为AB = 3A1B1 = 9 ，所以 AO = 3A1O1 = 3 3 ，A1O1 = 3 ，
所以AN = AO - A1O1 = 23 ，
设该正三棱台的高为h ，
因为A1A = 4 ，所以 A1N = h
故V台 ，故选 C.
5 ．A
【难度】0.5
【知识点】平面向量基本定理的应用、用基底表示向量、平面向量的混合运算、向量的线性运算的几何应用
【分析】本题考查平面向量的线性运算， 解题的关键在于利用向量共线的性质，结合平行四
边形的性质，将B——F—→ 用 EQ \* jc3 \* hps17 \\al(\s\up 5(—),A)—→ 和 EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 6(—),A)—D—→ 表示出来，先根据已知条件得到 EQ \* jc3 \* hps22 \\al(\s\up 6(—),A)—→ 与 EQ \* jc3 \* hps17 \\al(\s\up 5(—),A)—→ 的关系，再利用
向量共线设出 EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 5(—),A)—→ 与 EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 6(—),A)— 的关系，进而得到 EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 5(—),A)—→ 与 EQ \* jc3 \* hps17 \\al(\s\up 4(—),A)—→ 、EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 5(—),A)—D—→ 的关系，最后根据B——F—→ = EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 5(—),A)—F—→ - EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 5(—),A)—B—→
求出B——F—→ .
【详解】已知 EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 4(—),A)—→ = 2E——B—→ ,则 ．
因为F 为AC 与DE 的交点，所以A ，F ，C 三点共线，D ，F ，E 三点共线．
设 EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 6(—),A)—F—→ = λEQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 6(—),A)— ( λ 为实数），因为 ABCD 是平行四边形，所以EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 6(—),A)— = EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 6(—),A)—B—→ + EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 6(—),A)—→ ,所以
AF = λ(AB + AD) ．
———→ ———→ ———→
———→ ———→
因为D ，F ，E 三点共线，所以存在实数μ ,使得DF = μDE ．
又因为DF = AF - AD = λ(AB + AD) - AD = λAB + (λ-1)AD ，
———→ ———→ ———→ ———→ ———→ ———→ ———→ ———→
所以 ,解得
所以
根据向量减法的三角形法则，B——F—→ = EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 5(—),A)—F—→ - EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 5(—),A)—B—→ ,将 代入可得：
6 ．C
【难度】0.65
【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用
【分析】应用正弦定理得出sinBsinC ，再应用余弦定理计算得出两角和余弦值即可得出角的范围判断形状.
【详解】因为 3a = 4bsinC ，由正弦定理得3sinA = 4sinBsinC ，又A ，故sinBsinC 由余弦定理得a2 = b2 + c2 - 2bccsA = b2 + c2 - bc ，故 sin2 A = sin2B + sin2 C - sinBsinC ，
得sin2B + sin2 C = sin2 A + sinBsinC 所以cs = csBcsC - sinBsinC 得csBcsC
所以csB < 0 ，csC > 0 或csB > 0 ，csC < 0 ，所以 △ABC 为钝角三角形.
7 ．A
【难度】0.4
【知识点】由函数对称性求函数值或参数、函数对称性的应用
【分析】由条件结合对称性的性质可得 f (x + 2) + f (-x) = 4 ，g (1+ x)+ g(1- x) = 0 ，结合关系g(x) = f (x - 2)+ 3x 可得f (x - 2) + f (-x) = -6 ，由此可得 f (x + 4) = f (x)+10 ，再求 f (1) ，结合g(19) = f (17)+ 57 可得结论.
【详解】因为 f (x) 关于(1, 2) 对称，所以f (1 + x) + f (1- x) = 4 ，
用x +1替换x 可得f (x + 2) + f (-x) = 4 ① ,
因为g(x) 关于(1, 0) 对称，所以g(1+ x)+ g(1- x) = 0 ，
又g(x) = f (x - 2) + 3x ，用 x +1替换x 可得g(1+ x) = f (x -1)+ 3x + 3 ，用1- x 替换x 可得g(1- x) = f (-x -1)+ 3 - 3x ，
两式相加可得f (x -1) + f (-x -1) = -6 ，
用x -1 替换x 可得f (x - 2) + f (-x) = -6 ② ,由①- ②可得f (x + 2)- f (x - 2) = 10 ，
用x + 2 替换x 可得f (x + 4) = f (x)+10
因为g(19) = f (19 - 2) + 3´ 19 = f (17) + 57 ，
在f (1 + x) + f (1- x) = 4 中令x = 0 ，得2f (1) = 4 ，故 f (1) = 2 ，
f (17) = f (13) +10 = f (9) +10 +10 = f (5) +10 + 20 = f (1) +10 + 30 = f (1) + 4´ 10 = 42 ，因此g(19) = 42 + 57 = 99 .
8 ．D
【难度】0.42
【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、正弦函数对称性的其他应用、正弦函数图象的应用
【分析】首先根据正弦函数的对称中心以及函数值的符号求出w ，然后把方程化简，等价于求f和f = -1在(0, 3π ) 内的所有根之和，最后根据正弦函数的性质即可求解.
【详解】已知 是f = sinwx 的零点，代入得： sin ，即 ，解得 w = 2k ，
由条件：x 时f (x) < 0 ，代入 w = 2k 验证：
k = 0 时， w wx f (x) < 0 恒成立，符合条件；
k = 1时， w wx f (x) > 0 恒成立，不符合条件；
k ≥ 2 时，wx - π 的取值区间内函数值不恒为负，不符合条件.
3
因此w = ，f = sin ，
当f ≥ 0 时：2f = 1- f ◆f 当f (x) < 0 时：-2f (x) = 1- f (x)◆f (x) = -1 ，
3
原方程等价于求f (x) = 1 和f (x) = -1在(0,3π ) 内的所有根之和.
令 ，当x ∈(0,3π ) 时，
方程f (x) = -1 ，即sin θ = -1在æ|è - , EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 6(ö),ø)| 内仅θ = 是解，对应： ◆x
方程f 即sin 内有两个解θ1 , θ2 ，由正弦函数对称性得θ1 + θ2 = π , 对应： ◆x1 + x
故所有根的总和为： x1 + x
9 ．BCD
【难度】0.85
【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算、求复数的模【详解】对 A：当 m = -1 时，z = 0 ∈ R ，故 A 错误；
对 B：当 m = 1时， z = -2∈ R ，故 B 正确；
对 C：当 m = 2 时，z = 0 + 3i = 3i ，此时 z = -3i，故 C 正确；
对 D：当 m = -2 时，z = 4 + 3i ，
所以
= 100 = 10 ，故 D 正确.
10 ．BD
【难度】0.62
【知识点】用基底表示向量、数量积的坐标表示、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示
———→ ———→
【详解】对于 A，因为在 VABC 中，BD = 2DC, E 为AC 的中点，
则 所以 A 错误；
对于 B，因为EQ \* jc3 \* hps22 \\al(\s\up 6(—),A)—B—→ , EQ \* jc3 \* hps22 \\al(\s\up 6(—),A)— 是非零向量，所以 所在的直线平分 ÐBAC ，因为 EQ \* jc3 \* hps25 \\al(\s\up 10(æ),è)| ———EQ \* jc3 \* hps23 \\al(\s\up 5(B),B) + ——EQ \* jc3 \* hps25 \\al(\s\up 10(ö),ø)|.B——→ = 0 ，所以 丄 B——→ ,
所以VABC 是等腰三角形，故 B 正确；
由a . b < 0得k - 3< 0 ，所以 k < 3 ，
对于 C，因为与 的夹角是钝角，所以 . < 0，且与 不共线， → →
又 与 不共线，所以 ，所以k ≠ - ，
所以当 与 的夹角是钝角，k < 3 且k ≠ - 1 ，故 C 错误；
3
对于 D，如图，以 A 为原点建立平面直角坐标系，
则A(0, 0), B(6, 0), E(6, 4), F(3, 6) ，所以
———→ ———→
所以AE . BF = -18 + 24 = 6，故 D 正确.
11 ．BCD
【难度】0.3
【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、球的截面的性质及计算、求异面直线所成的角
【分析】作AM和CN 分别垂直BD ，得到A1M = CN ，结合体积公式，可判断 A 错误；取O 为BD 的中点，且O 为外接球的球心，求得球O 的半径，可判定 B 正确；取CQ = MN CQ // MN ，连接 A1Q ，在△A1MQ 中，利用余弦定理，求得ÐA1MQ = 120° , 可判定 C 正确；根据向量的运算法则，求得EF 的取值范围，得到球心到EF 的距离的取值范围，结合圆的弦长公式，可判定 D 正确.
【详解】对于 A，作 AM垂直BD 于点M ，CN 垂直BD 于点N ，所以 A1M = CN 当平面A1BD 丄 平面BCD 时，三棱锥A1 - BCD 的体积V BD ´ CN ´ A1M ，所以 A错误；
对于 B，设 O 为BD 的中点，根据直角三角形的性质，可得OB = OD = OC = OA1 ，即O 为外接球的球心，可得球O 的半径为r BD = 1，所以 B 正确；
对于 C，如图 1 所示，取CQ = MN = 1，且CQ // MN ，
连接A1Q ，则 A1Q 丄 CQ，且 A1C 与 BD 的夹角，即为ÐA1CQ ，因为tanÐA1CQ ，所以 A1Q
在△A1MQ 中，A1M = MQ ，且 A1Q
由余弦定理得cs ÐA1MQ
又因为0° < ÐA1MQ < 180° ,所以ÐA1MQ = 120° ,所以 C 正确．
对于 D，取 BD 的中点O ，连接OE, OF, OA1 , OC ，
如图 2 所示，过点E, F 分别作EG 丄 BD, FH 丄 BD 垂足分别为G, H因为E, F 分别为A1D, BC 的中点，且A1B = 1, A1D = ·/3 ，
在直角 △DEG 中，可得EG = ED sin 30 DG = ED cs 30 同理可得FH BH ，所以 GH ，
———→ ———→
设向量GE, HF 夹角为θ ,可得θ ∈ (0, π) ，
又因为E——F—→ = E——→ + EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 5(—),G)—H—→ + H——F—→ ,可得
———→ 2 ———→ 2 ———→ 2 ———→ ———→ ———→ ———→ ———→ ———→
= EG + GH + HF + 2EG . GH + 2GH . HF + 2EG . HF
1 ———→ 2 1
4 2
因为θ ∈ (0, π) ，可得 cs θ ∈ (-1,1) ，所以 < EF < 1，即 < EF < 1
又由球心O 到EF 的距离为d ，可得 d ，则截得的弦长为l
所以直线EF 被球O 所截得的长度的取值范围为 ，所以 D 正确.
12 ． 【难度】0.65
【知识点】求投影向量、数量积的坐标表示
【分析】利用向量的数量积运算以及投影坐标的概念求解．
【详解】由题得 ，所以
与向量 的同向单位向量为
所以向量 在向量 方向上的投影的坐标为 cs , . = 10 × × |EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 6(æ),è), EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 6(ö),ø)| = , EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 5(2 ö),5 ø)| ．
故答案为： ．
13 ．13
【难度】0.68
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】由题可得a ，令t = b -1 > 0 ，所以4a + b = t 再利用基本不等式求解即可.
【详解】由题可得 a 所以4a + b b ，
令t = b -1 ，即b = t + 1, t > 0 ，
所以4a + b t +1 = t
当且仅当t ，即 t = 4 ，b = t +1 = 5, a 2 时，等号成立， 4a + b 的最小值为 13.
14 ． 0, 42
【难度】0.45
【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】先对已知条件 进行化简，得出 w1 - w2 的值，再根据 z - wi ∈ [ \l "bkmark5" 1, \l "bkmark6" 3]确定集合A 中元素的轨迹，最后分析z1 ∈ A 且z2 ∈ A 时z1 - z2 的取值范围.
【详解】丫
设w1 - w2 = m ，则 ，即 mm = 4 ，\ m2 = 4 ，\ m = w1 - w2 = 2 .
已知 z - wi ∈ [ \l "bkmark7" 1, \l "bkmark8" 3] ，根据复数模的几何意义， z - wi 表示复数z 所对应的点Z 到复数wi 所对应的点Wi 的距离，\集合A 中的元素z 对应的点Z 的轨迹是以W1 , W2 为圆心，半径分别在
[ \l "bkmark9" 1, \l "bkmark10" 3] 范围内的圆环上的点.
题干要求对i = 1, 2 都满足1 ≤∣z - wi ∣≤ 3 ，因此 A 是两个圆环的交集：
两个圆环分别以W1 , W2 为圆心，内半径1，外半径3 ，
建立如图所示的坐标系：
A 是非空闭区域，当z1 , z2 都在C 处时，z1 - z2 最小距离可取到0 ，
A 中最远的两点距离是两个外圆的交点距离，
因为两个外圆半径都是3，圆心距 2 ，
由勾股定理可得两交点距离为：
因此∣z1 - z2 ∣∣的取值范围是[0, 42 ]
15 ．(1)证明：连接AC1 ，交 A1C 于O 点，连接OM ，则 O 为AC1 的中点，
又M为AB 的中点，所以OM / /C1B ．
因为OM Ì 平面A1CM ，C1B Ë 平面A1CM ，所以C1B / / 平面A1CM ．
【难度】0.85
【知识点】证明线面平行、求异面直线所成的角
【分析】（1）只需证明 OM / /C1B ，再结合线面平行的判定定理即可得证；
（2）只需说明ÐA1MO 是异面直线A1M 与BC1 所成的角或其补角，再结合余弦定理求解即可. 【详解】（1）略
（2）由（1）知OM / /BC1 ，所以ÐA1MO 是异面直线A1M 与BC1 所成的角或其补角．
由题知，A1M OM BC A1O A1C
在△A1MO 中由余弦定理，得cs ÐA1MO
16 ．(1) m = 0.024 ，平均数 75 分，中位数约为76.7 .
【难度】0.85
【知识点】由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、计算古典概型问题的概率、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图估计平均数
【详解】（1）由频率分布直方图，得(0.006 + 0.014 + m + 0.036 + 0.020) ´10 = 1 ，所以m = 0.024 .该次测试分数的平均数的估计值为：
x = 10 ´ (50´ 0.006 + 60 ´ 0.014 + 70 ´ 0.024 + 80 ´ 0.036 + 90 ´ 0.020) = 75 分；测试分数在[45, 75) 的频率：0.006 ´ 10 + 0.014 ´ 10 + 0.024 ´ 10 = 0.44 < 0.5 ，
测试分数在[45,85) 的频率：0.006 ´ 10 + 0.014 ´ 10 + 0.024 ´ 10 + 0.036 ´ 10 = 0.8 > 0.5 ，则测试分数中位数为a ∈(75,85) ，0.44 +(a - 75) ´0.036 = 0.5 ，解得 a ≈ 76.7 ，
所以此次数学测试分数的中位数约为76.7 .
（2）记分数在[65, 75) 的人数为x = 50 ´ 0.024 ´ 10 = 12 （人），
分数在[75, 85) 的人数为y = 50 ´ 0.036 ´ 10 = 18 （人），
由x : y = 12 :18 = 2 : 3 ，得采用分层随机抽样的方法抽取的 5 人中，
分数在[65, 75) 的有 2 人，编号分别为a1 , a2 ，分数在[75, 85) 的有 3 人，编号为b1 , b2 , b3 ，从这 5 人中选取 2 人的样本空间
Ω = {(a1 , a2 ), (a1 , b1 ), (a1 , b2 ), (a1 , b3 ), (a2 , b1 ), (a2 , b2 ), (a2 , b3 ), (b1 , b2 ), (b1 , b3 ), (b2 , b3)}，
则n(Ω) = 10 ，记事件 A = “至少有一人分数在[75, 85) ”，则n(A) = 9 ，则 P
9
所以这 2 人中至少有一人分数在[75, 85) 内的概率为 .
10
π
17 ．(1) 3
【难度】0.65
【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用
【分析】（1）由正弦定理边化角及两角和的正弦公式化简后可求得 tan A = 3 进而可求A；
（2）由三角形的面积 S c ，利用正弦䆙理求得 c ，可求 △ABC 的面积 S 的取值范围；
（3）利用正余弦定理求得a ，利用基本不等式可求得b + c ≤ 6 ，利用三角形面积可求得r ，再结合b, c 的关系可求得r 的最大值.
【详解】（1）在 △ABC 中，由c sin A + 3a cs C = 3b 及正弦定理，得
sin C sin A + 3 sin Acs C = 3 sin B ，
丫 B = π - (A +C) ，
\sin C sin A + 3 sin Acs C = 3 sin(A + C) = 3 sin C cs A + 3 cs C sin A ，
\sin C sin A = 3 sin C cs A ，
又sin C ≠ 0, \sin A = 3 cs A, tan A = 3 ，
π
丫 A∈(0, π), \ A = ． · 3
（2）由 A ，得 S bcsin A c ．
由正弦定理得
则c 又 △ABC 为锐角三角形，
得B
则tan B ∈ æè| , +∞EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 10(ö),ø)| ，即
\c ∈ (1, 4) ，于是S
即 △ABC 的面积 S 的取值范围为 ·
（3）设 △ABC 的外接圆半径为 R，内切圆半径为 r．由（1）如，a = 2R sin A
由余弦定理得a2 = b2 + c2 - 2bc cs A，即9 = b2 + c2 - bc = (b + c)2 - 3bc ， \3bc = (b + c)2 - 9 = (b + c + 3)(b + c - 3) ，
丫 2 - 3bc ≥
\b + c ≤ 6 （当且仅当b = c = 3 时，等号成立）． ·丫 S△ABC bc sin A bc ，
（当且仅当b = c 时，等号成立）．
显然此时 △ABC 为等边三角形，满足题意，故 △ABC 内切圆半径的最大值为 ·
18 ．(1)证明过程见解析
1
(2)
3
【难度】0.4
【知识点】余弦定理解三角形、求二面角、求线面角、证明线面垂直
【分析】（1）根据面面垂直，得到线面垂直，DE ⊥ SE ，结合 SE 丄 AD 得到线面垂直；
（2）作出辅助线，找到 ÐETG 即为二面角E - SA - D 的平面角，由勾股定理和余弦定理求
出各边，最后由余弦定理求出二面角的余弦值；
（3）设点 N到平面SAD 的距离为h ，直线 DN 与平面SAD 所成角大小为θ ,则
sin ，要想直线 DN 与平面SAD 所成角的正弦值的最小，则h 最小即可，设 AE = m ，由等体积法和余弦定理，面积公式得到 h ，从而求出 h 的最小值，得到正弦的最小值.
【详解】（1）平面 SAE 丄 平面AED ，交线为 AE ，又 AE 丄 ED ，DE Ì 平面AED ，所以DE⊥平面SAE ，
又SE Ì平面SAE ，所以 DE ⊥ SE ，
因为SE 丄 AD ，AD ∩ DE = D ，AD, DE Ì 平面AED ，故SE ⊥平面AED ；
（2）AE = 3 ，AE 丄 ED ，AD = 3 ，由勾股定理得ED SE 丄 平面AED ，AE Ì平面AED ，
所以SE 丄 AE ，
因为SE = 1 ，AE = 3 ，由勾股定理得 SA 过点E 作ET ⊥ SA 于点T ，则 ET
故AT
过点T 作TG ⊥ SA ，交 AD 于点G ，连接 EG ，故 ÐETG 即为二面角E - SA - D 的平面角，
由勾股定理得SD
又AD = 3 ，
由余弦定理得cs ÐSAD ，故ÐSAD 在 Rt△ATG 中，tan ÐTAG ，即 tan ，解得TG 故AG
在 Rt VAED 中，cs ÐEAD
由余弦定理得EG2 = AE2 + AG2 - 2AE . AG cs ÐEAD 故EG = 6 ，
在VETG 中，由余弦定理得cs ÐETG
1 故二面角E - SA - D 的余弦值为 ；
3
（3）连接 AN ，因为 B——→ = 2EQ \* jc3 \* hps18 \\al(\s\up 6(—),N)— ，BC = 3，所以 CN = 1 ，
又CD = 1 ，DC ⊥ CB ，由勾股定理得DN
设点N到平面SAD 的距离为h ，直线 DN 与平面SAD 所成角大小为θ ,则sin
要想直线DN 与平面SAD 所成角的正弦值的最小，则h 最小即可，
由（1）得 SE 丄 平面AED ，故VS-ADN SVADN . SE 设AE = m ，则 ED = AD2 - AE2 = 9 - m2 ，SA = 1 + m2 ，
故SD
在VSAD 中，由余弦定理得cs ÐASD
故sin ÐASD
则SVSAD SA. SD sin ÐASD
因为VS-ADN = VN-ADS 所以 SVSAD . h 故h
当m 时，h 取得最小值，最小值为h
故直线DN 与平面SAD 所成角的正弦值的最小值为sin 【点睛】方法点睛：立体几何二面角求解方法：
（1）作出辅助线，找到二面角的平面角，并结合余弦定理或勾股定理进行求解；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量相关公式求解.
19 ．(1)-4 ≤ x ≤ 0
(2)
uu→ uu→
存在“长向量”，且“长向量”为a2 、a6 ，理由如下：
由题意可得 若存在“长向量” ，只需使 ，
又 EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 5(uu→),S7) = + + + … + = (1+ 0 -1+ 0 +1+ 0 -1, 0 -1+ 0 +1+ 0 -1+ 0) = (0,-1)，
即0 ≤ 2 + 2 cs pπ ≤ 1，即 - 1 ≤ cs pπ ≤ - 1 ， 2 2 2
uu→ uu→
当p = 2 或 6 时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为a2 、a6 ．
(3) 2028
【难度】0.15
【知识点】求含 sinx(型)函数的值域和最值、向量模的坐标表示、向量新定义、平面向量线性运算的坐标表示
——→ —→ ——→
【分析】（1）得到a3 ≥ a1 + a2 ，从而得到不等式，求出答案；
（2） ，若存在“长向量” EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 7(—),a) ，只需使 ，又 ，故
即-1≤ cs ，当 p = 2 或 6 时，符合要求，得到结论；
（3） 由题意得 EQ \* jc3 \* hps19 \\al(\s\up 3(—),a)2 ≥ EQ \* jc3 \* hps19 \\al(\s\up 3(—),a)2 + EQ \* jc3 \* hps19 \\al(\s\up 3(—),a)2 + 2EQ \* jc3 \* hps19 \\al(\s\up 3(—),a) . EQ \* jc3 \* hps19 \\al(\s\up 3(—),a) ， 同理 EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 3(—),a)2 ≥ EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 3(—),a)2 + EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 3(—),a)2 + 2EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 3(—),a) . EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 3(—),a) ， EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 3(—),a)2 ≥ EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 3(—),a)2 + EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 3(—),a)2 + 2EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 3(—),a) . EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 3(—),a) ，
三式相加并化简，得 EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 6(—),a) + EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 6(—),a) + EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 6(—),a) = ，设 EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 7(—),a) = (u, v)，由 EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 6(—),a) + EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 6(—),a) + EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 6(—),a) = 得
设Pn (xn , yn) ，由对称得到方程组，求出 ，其中 sin 2x ≥ 1，故
【详解】（1）由题意可得： EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 7(—),a) ≥ EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 7(—),S) - EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 7(—),a) ，即 EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 7(—),a) ≥ + EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 7(—),a) ，又 EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 6(—),a) = (n, x + 2n) ，故 = (1, x + 2), EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 8(—),a) = (2, x + 4), EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 8(—),a) = (3, x + 6)，
故 解得-4 ≤ x ≤ 0 ；
（2）略
（3）由题意，得 ≥ EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 7(—),a) + EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 7(—),a) ， 2 ≥ EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 5(—),a) + EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 5(—),a)2 ，即 2 ≥ ( EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 5(—),a) + EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 5(—),a)2 ，
即 EQ \* jc3 \* hps19 \\al(\s\up 3(—),a)2 ≥ EQ \* jc3 \* hps19 \\al(\s\up 3(—),a)2 + EQ \* jc3 \* hps19 \\al(\s\up 3(—),a)2 + 2EQ \* jc3 \* hps19 \\al(\s\up 3(—),a) . EQ \* jc3 \* hps19 \\al(\s\up 3(—),a) ，同理 EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 3(—),a)2 ≥ EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 3(—),a)2 + EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 3(—),a)2 + 2EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 3(—),a) . EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 3(—),a) ， EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 3(—),a)2 ≥ EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 3(—),a)2 + EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 3(—),a)2 + 2EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 3(—),a) . EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 3(—),a) ，三式相加并化简，得 2 + EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 4(—),a)2 + EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 4(—),a)2 + 2 . EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 4(—),a) + 2 . EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 4(—),a) + 2EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 4(—),a) . EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 4(—),a) ≤ 0 ，
即 + EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 6(—),a) + EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 6(—),a) ≤ 0 ，所以 EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 5(—),a) + EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 5(—),a) + EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 5(—),a) = ，
设 EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 7(—),a) = (u, v)，由 EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 6(—),a) + EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 6(—),a) + EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 6(—),a) = 得
设Pn (xn , yn) ，因为P2k +1 与P2k 关于点P1 对称，P2k +2 与P2k +1 （k ∈ N 且k > 0 ）关于点P2 对称，则依题意得：
将①代入②得，(x2k +2 , y2k +2) = 2 (x2 , y2) - (x1 , y1) + (x2k , y2k) ，从而(x2k , y2k) = 2 (x2 , y2) - (x1 , y1) + (x2k-2 , y2k-2) ，
…… ,
(x4 , y4) = 2 (x2 , y2) - (x1 , y1) + (x2 , y2)，
以上k 个式子相加化简得，
又由②知，(x2k +1 , y2k +1) = 2 (x2 , y2) - (x2k +2 , y2k +2) = 2 (x2 , y2) - 2k (x2 , y2) - (x1 , y1) - (x2 , y2)
即(x2k +1 , y2k +1) = -2k (x2 , y2) - (x1 , y1) + (x2 , y2) ，
所以P—EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 9(——),2k)EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 9(—),1P)—EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 9(——),2k)+ = (x2k +2 - x2k +1 , y2k +2 - y2k +1) = 4k (x2 , y2) - (x1 , y1) = 4kP—EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 9(—),1)P— ，其中P—EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 9(—),1)P— = (u, v) = (-sinx - 2csx, -csx - 2sinx) ，
当且仅当x = t 时等号成立，故 min 【点睛】新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.