广东省广州市三校联考2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题含答案

这是一份广东省广州市三校联考2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知甲、乙两人投篮命中的概率分别为和，且事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则甲、乙两人至少有一人命中的概率为（ ）
A．0.88B．0.48C．0.32D．0.12
3．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知正三棱台，，侧棱，则正三棱台的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知四边形ABCD为平行四边形，，F为AC与DE的交点，则（ ）
A．B．C．D．
6．记，，分别为的内角，，的对边，且，，则的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角或直角三角形
7．已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（ ）
A．99B．78C．66D．52
8．已知是函数的一个零点，当时，，则方程在区间内所有根的和为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知复数，其中，是虚数单位，则（ ）
A．当时，为纯虚数B．当时，
C．当时，D．当时，
10．下列说法正确的是（ ）
A．在中，为的中点，则
B．在中，若，则是等腰三角形
C．已知，若与的夹角是钝角，则
D．在边长为6的正方形中，点在边上，且，点是中点，则
11．在矩形中，，，将沿折叠至，得到三棱锥，设球为三棱锥的外接球，则下列说法正确的是（ ）
A．若平面平面，则三棱锥的体积为
B．球的半径为1
C．若与BD的夹角的正切值为，则二面角的大小为
D．设分别为的中点，则直线被球所截长度的取值范围是
三、填空题
12．已知向量，则向量在方向上的投影的坐标是_______．
13．已知，，且，则的最小值为____________.
14．已知复数满足，记满足的复数组成的集合为.若且，则的取值范围是__________.
四、解答题
15．如图，正三棱柱中，，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
16．学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）．
(1)求的值，并估计此次数学测试分数的平均数与中位数．（中位数保留一位小数）
(2)若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率．
17．设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A；
(2)若，求的面积S的取值范围；
(3)若的外接圆半径为，求内切圆半径的最大值．
18．如图，在五棱锥中，平面平面，，．四边形为矩形，且，，．
(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的余弦值；
(3)求直线与平面所成角的正弦值的最小值．
19．对于一组向量、、、…、（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”．
(1)设，且，若是向量组、、的“长向量”，求实数的取值范围；
(2)若，且，向量组、、、…、是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；
(3)已知、、均是向量组、、的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列、、、…、，满足为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值．
《广东广州市三校联考2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题》参考答案
1．B
【难度】0.95
【知识点】并集的概念及运算
【详解】因为集合，，所以.
2．A
【难度】0.65
【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率
【分析】令事件表示甲投篮命中，事件表示乙投篮命中，事件表示甲、乙两人至少有一人命中，则，，利用独立事件和互斥事件的概率公式即可求解.
【详解】令事件表示甲投篮命中，事件表示乙投篮命中，事件表示甲、乙两人至少有一人命中，
则，所以，
所以
，
故选：A.
3．A
【难度】0.7
【知识点】正、余弦齐次式的计算、给值求值型问题
【详解】，解得，
原式.
4．C
【难度】0.62
【知识点】台体体积的有关计算
【详解】如图，将正三棱台补成正三棱锥，
作平面分别交平面、平面于、，
作平面交于，则、分别为、的中心.
因为，所以，，
所以，
设该正三棱台的高为，
因为，所以，
故，故选C.
5．A
【难度】0.5
【知识点】平面向量基本定理的应用、用基底表示向量、平面向量的混合运算、向量的线性运算的几何应用
【分析】本题考查平面向量的线性运算，解题的关键在于利用向量共线的性质，结合平行四边形的性质，将用和表示出来，先根据已知条件得到与的关系，再利用向量共线设出与的关系，进而得到与、的关系，最后根据求出．
【详解】已知，则．
因为为与的交点，所以，，三点共线，，，三点共线．
设（为实数），因为是平行四边形，所以，所以．
因为，，三点共线，所以存在实数，使得．
又因为，
，所以．
，解得．
所以．
根据向量减法的三角形法则，，将代入可得： ．
6．C
【难度】0.65
【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用
【分析】应用正弦定理得出，再应用余弦定理计算得出两角和余弦值即可得出角的范围判断形状.
【详解】因为，由正弦定理得，又，故，
由余弦定理得，故，
得，所以，
得，
所以，或，，所以为钝角三角形.
7．A
【难度】0.4
【知识点】由函数对称性求函数值或参数、函数对称性的应用
【分析】由条件结合对称性的性质可得，，结合关系可得，由此可得，再求，结合可得结论.
【详解】因为关于对称，所以，
用替换可得①，
因为关于对称，所以，
又，用替换可得，
用替换可得，
两式相加可得，
用替换可得②，
由①②可得，
用替换可得
因为，
在中令，得，故，
，
因此.
8．D
【难度】0.42
【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、正弦函数对称性的其他应用、正弦函数图象的应用
【分析】首先根据正弦函数的对称中心以及函数值的符号求出，然后把方程化简，等价于求和在 内的所有根之和，最后根据正弦函数的性质即可求解.
【详解】已知​是 的零点，代入得： ，
即 ，解得 ，
由条件： 时，代入验证：
时，， ，恒成立，符合条件；
时，​， ，恒成立，不符合条件；
时，的取值区间内函数值不恒为负，不符合条件.
因此， ，
当时：；
当时： ，
原方程等价于求和在 内的所有根之和.
令，当时，，
方程，即在 内仅是解，对应： ，​
方程即在 内有两个解，由正弦函数对称性得，对应： ，​ ​
故所有根的总和为： .​
9．BCD
【难度】0.85
【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算、求复数的模
【详解】对A：当时，，故A错误；
对B：当时，，故B正确；
对C：当时，，此时，故C正确；
对D：当时，，
所以
，故D正确.
10．BD
【难度】0.62
【知识点】用基底表示向量、数量积的坐标表示、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示
【详解】对于A，因为在中，为的中点，
则，
所以A错误；
对于B，因为是非零向量，所以所在的直线平分，
因为，所以，
所以是等腰三角形，故B正确；
对于C，因为与的夹角是钝角，所以，且与不共线，
由得，所以，
又与不共线，所以，所以，
所以当与的夹角是钝角，且，故C错误；
对于D，如图，以为原点建立平面直角坐标系，
则，
所以，
所以，故D正确.
11．BCD
【难度】0.3
【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、球的截面的性质及计算、求异面直线所成的角
【分析】作和分别垂直，得到，结合体积公式，可判断A错误；取为的中点，且为外接球的球心，求得球的半径，可判定B正确；取，连接，在中，利用余弦定理，求得，可判定C正确；根据向量的运算法则，求得的取值范围，得到球心到的距离的取值范围，结合圆的弦长公式，可判定D正确.
【详解】对于A，作垂直于点，垂直于点，所以，
当平面平面时，三棱锥的体积，所以A错误；
对于B，设为的中点，根据直角三角形的性质，可得，
即为外接球的球心，可得球的半径为，所以B正确；
对于C，如图1所示，取，且，
连接，则，且与BD的夹角，即为，
因为，所以，
在中，，且，
由余弦定理得，
又因为，所以，所以C正确．
对于D，取的中点，连接，
如图2所示，过点分别作垂足分别为
因为分别为的中点，且，
在直角中，可得，
同理可得，所以，
设向量夹角为，可得，
又因为，可得
，
因为，可得，所以，即
又由球心到的距离为，可得，
则截得的弦长为，
所以直线被球所截得的长度的取值范围为，所以D正确.
12．
【难度】0.65
【知识点】求投影向量、数量积的坐标表示
【分析】利用向量的数量积运算以及投影坐标的概念求解．
【详解】由题得，所以，
与向量的同向单位向量为，
所以向量在向量方向上的投影的坐标为．
故答案为：．
13．
【难度】0.68
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】由题可得，令，所以再利用基本不等式求解即可.
【详解】由题可得，
所以，
令，即，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
的最小值为13.
14．
【难度】0.45
【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】先对已知条件进行化简，得出的值，再根据确定集合中元素的轨迹，最后分析且时的取值范围.
【详解】，.
设，则，即，，.
已知，根据复数模的几何意义，表示复数所对应的点到复数所对应的点的距离，集合中的元素对应的点的轨迹是以为圆心，半径分别在范围内的圆环上的点.
题干要求对都满足，因此是两个圆环的交集：
两个圆环分别以为圆心，内半径，外半径，
建立如图所示的坐标系：
是非空闭区域，当都在处时，最小距离可取到，
中最远的两点距离是两个外圆的交点距离，
因为两个外圆半径都是，圆心距，
由勾股定理可得两交点距离为：
因此∣的取值范围是
15．(1)证明：连接，交于点，连接，则为的中点，
又为的中点，所以．
因为平面，平面，所以平面．
(2)
【难度】0.85
【知识点】证明线面平行、求异面直线所成的角
【分析】（1）只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证；
（2）只需说明是异面直线与所成的角或其补角，再结合余弦定理求解即可.
【详解】（1）略
（2）由（1）知，所以是异面直线与所成的角或其补角．
由题知，，
在中由余弦定理，得.
16．(1)，平均数75分，中位数约为.
(2)
【难度】0.85
【知识点】由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、计算古典概型问题的概率、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图估计平均数
【详解】（1）由频率分布直方图，得，
所以.该次测试分数的平均数的估计值为：
分；
测试分数在的频率：，
测试分数在的频率：，
则测试分数中位数为，，解得，
所以此次数学测试分数的中位数约为.
（2）记分数在的人数为（人），
分数在的人数为（人），
由，得采用分层随机抽样的方法抽取的5人中，
分数在的有2人，编号分别为，分数在的有3人，编号为，
从这5人中选取2人的样本空间，
则，记事件“至少有一人分数在”，则，则，
所以这2人中至少有一人分数在内的概率为.
17．(1)
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用
【分析】（1）由正弦定理边化角及两角和的正弦公式化简后可求得进而可求；
（2）由三角形的面积，利用正弦䆙理求得，可求的面积S的取值范围；
（3）利用正余弦定理求得，利用基本不等式可求得，利用三角形面积可求得，再结合的关系可求得的最大值.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
，
，
，
又，
．·
（2）由，得．
由正弦定理得，
则．
又为锐角三角形，
得，
则，即，
，于是，
即的面积S的取值范围为．·
（3）设的外接圆半径为R，内切圆半径为r．
由（1）如，．
由余弦定理得，即，
，
．·
，
（当且仅当时，等号成立）．·
，
·
（当且仅当时，等号成立）．
显然此时为等边三角形，满足题意，
故内切圆半径的最大值为．·
18．(1)证明过程见解析
(2)
(3)
【难度】0.4
【知识点】余弦定理解三角形、求二面角、求线面角、证明线面垂直
【分析】（1）根据面面垂直，得到线面垂直，⊥，结合得到线面垂直；
（2）作出辅助线，找到即为二面角的平面角，由勾股定理和余弦定理求出各边，最后由余弦定理求出二面角的余弦值；
（3）设点到平面的距离为，直线与平面所成角大小为，则，要想直线与平面所成角的正弦值的最小，则最小即可，设，由等体积法和余弦定理，面积公式得到，从而求出的最小值，得到正弦的最小值.
【详解】（1）平面平面，交线为，又，平面，
所以⊥平面，
又平面，所以⊥，
因为，，平面，
故⊥平面；
（2），，，
由勾股定理得，
平面，平面，
所以，
因为，，由勾股定理得，
过点作⊥于点，则，
故，
过点作⊥，交于点，连接，
故即为二面角的平面角，
由勾股定理得，
又，
由余弦定理得，故，
在Rt中，，即，解得，
故，
在Rt中，，
由余弦定理得，
故，
在中，由余弦定理得，
故二面角的余弦值为；
（3）连接，因为，，所以，
又，⊥，由勾股定理得，
设点到平面的距离为，直线与平面所成角大小为，
则，
要想直线与平面所成角的正弦值的最小，则最小即可，
，
由（1）得平面，故，
设，则，，
故，
在中，由余弦定理得
，
故，
则，
因为，所以，
故，
当时，取得最小值，最小值为，
故直线与平面所成角的正弦值的最小值为.
【点睛】方法点睛：立体几何二面角求解方法：
（1）作出辅助线，找到二面角的平面角，并结合余弦定理或勾股定理进行求解；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量相关公式求解.
19．(1)
(2)
存在“长向量”，且“长向量”为、，理由如下：
由题意可得，
若存在“长向量”，只需使，
又，
，
即，即，
当或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为、．
(3)
【难度】0.15
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、向量模的坐标表示、向量新定义、平面向量线性运算的坐标表示
【分析】（1）得到，从而得到不等式，求出答案；
（2），若存在“长向量”，只需使，又，故，即，当或6时，符合要求，得到结论；
（3）由题意得，同理，，三式相加并化简，得，设，由得，设，由对称得到方程组，求出，其中，故．
【详解】（1）由题意可得：，即，又，
故，
故，
解得；
（2）略
（3）由题意，得，，即，
即，同理，，
三式相加并化简，得，
即，，所以，
设，由得，
设，因为与关于点对称，与（且）关于点对称，
则依题意得：，
将①代入②得，，
从而，
……，
，
以上个式子相加化简得，
，
又由②知，
，
即，
所以，
其中，
，
当且仅当时等号成立，故．
【点睛】新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
题号
难度系数
详细知识点
1
0.95
并集的概念及运算
2
0.65
独立事件的乘法公式；利用对立事件的概率公式求概率
3
0.7
给值求值型问题；正、余弦齐次式的计算
4
0.62
台体体积的有关计算
5
0.5
平面向量的混合运算；向量的线性运算的几何应用；用基底表示向量；平面向量基本定理的应用
6
0.65
正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形
7
0.4
由函数对称性求函数值或参数；函数对称性的应用
8
0.42
利用正弦函数的对称性求参数；正弦函数对称性的其他应用；正弦函数图象的应用
9
0.85
已知复数的类型求参数；求复数的模；复数代数形式的乘法运算
10
0.62
向量夹角的计算；垂直关系的向量表示；数量积的坐标表示；用基底表示向量
11
0.3
锥体体积的有关计算；多面体与球体内切外接问题；求异面直线所成的角；球的截面的性质及计算
12
0.65
数量积的坐标表示；求投影向量
13
0.68
基本不等式求和的最小值
14
0.45
求复数的模；与复数模相关的轨迹（图形）问题
15
0.85
证明线面平行；求异面直线所成的角
16
0.85
由频率分布直方图估计平均数；由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量；抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算；计算古典概型问题的概率；由频率分布直方图估计中位数
17
0.65
正弦定理边角互化的应用；三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形
18
0.4
求线面角；求二面角；余弦定理解三角形；证明线面垂直
19
0.15
平面向量线性运算的坐标表示；向量新定义；求含sinx(型)函数的值域和最值；向量模的坐标表示
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
计数原理与概率统计
2,16
3
三角函数与解三角形
3,6,8,17,18,19
4
空间向量与立体几何
4,11,15,18
5
平面向量
5,10,12,19
6
函数与导数
7
7
复数
9,14
8
等式与不等式
13