备战2027年高考数学(2024-2026年)真题汇编专题04数列(原卷版+解析)

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考点01 数列的通项公式与前n项和
1．（2026·全国I卷·高考真题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
2．（2026·天津·高考真题）已知，，则（ ）
A．68B．56C．D．
3．（2026·上海·高考真题）下列数列中是等差数列也是等比数列的是（ ）
A．1，，1，，1B．1，2，3，4，5
C．5，5，5，5，5D．1，2，3，5，7
4．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A．B．C．16D．18
5．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（ ）
A．112B．48C．80D．64
6．（2025·全国II卷·高考真题） 记为等差数列的前n项和.若则（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·全国甲卷·高考真题） 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．1D．
8．（2024·全国甲卷·高考真题） 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2026·全国II卷·高考真题）（多选）已知等比数列的公比，且，，记数列的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（2025·全国II卷·高考真题）（多选）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ）
A．B．
C．D．
11．（2026·全国I卷·高考真题）设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列．则的最大值为__________．
12．（2026·北京·高考真题）已知等差数列的前项和为，且，则公差________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为________．
13．（2026·全国II卷·高考真题）设为等差数列的前项和，若，，则__________．
14．（2026·上海·高考真题）已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________．
15．（2026·上海·高考真题）已知为等比数列，，，则__________．
16．（2025·上海·高考真题）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________．
17．（2025·全国I卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________.
18．（2025·上海·高考真题）已知是首项为1、公差为1的等差数列，是首项为1、公比为的等比数列．若数列的前三项和为2，则__________．
19．（2024·上海·高考真题）数列，，c的取值范围为___________．
20．（2024·新课标II卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则________.
21．（2026·天津·高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，，或，记为中的元素个数．
（i）求；
（ii）求．
22．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，．
(1)求，的通项公式；
(2)，，有，
（i）求证：对任意实数，均有;
（ii）求所有元素之和．
23．（2024·全国甲卷·高考真题） 已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
24．（2024·全国甲卷·高考真题） 记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
25．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且．
(1)求的通项公式及；
(2)设数列满足，其中．
（ⅰ）当时，求证：；
（ⅱ）求．
26．（2026·北京·高考真题）设是一个行列的数阵，且数阵中的每一项，都等于或．若对任意，，其中，，且都有则称数阵具有性质．
(1)判断下列两个数表是否具有性质．
(2)若，则数阵A中的个数最多是多少？
(3)若，，且数阵具有性质，证明：对任意，，都有．
考点02 数列的综合应用
1．（2026·北京·高考真题），是无穷数列，则“存在常数，使”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（ ）
A． 4个B．3个C．1个D．无数个
3．（2024·全国甲卷·高考真题） 已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
4．（2024·上海·高考真题）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______．
5．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为______，升量器的高为________．
6．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：
①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是______.
7．（2024·上海·高考真题），任意，满足，求有序数列有_____对.
8．（2024·上海·高考真题）已知函数．
(1)若函数的图象经过点，求解不等式；
(2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围．
9．（2025·全国I卷·高考真题）已知数列中，，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数，求．
10．（2024·新课标II卷·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.
(1)若，求；
(2)证明：数列是公比为的等比数列；
(3)设为的面积，证明：对任意正整数，.
11．（2024·北京·高考真题）已知集合．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为．
(1)给定数列和序列，写出；
(2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；
(3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“”．
12．（2024·新课标I卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．
(1)写出所有的，，使数列是可分数列；
(2)当时，证明：数列是可分数列；
(3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．考点分类
三年考情（2024-2026）
命题规律
考点01数列的通项公式与前n项和
2026年：全国Ⅰ/Ⅱ卷、北京卷、天津卷、上海卷；
2025年：全国Ⅰ/Ⅱ卷、北京卷、天津卷、上海卷；
2024年：新课标Ⅰ/Ⅱ卷、全国甲卷、北京卷、天津卷、上海卷；
题型涵盖选择、填空、解答题，为连年必考主干考点
以等差、等比数列基本量运算为核心，考查通项、前n项和、性质应用；常设置多选题，公式变形、项与和的互化是考查重点，基础题占比高。
考点02数列的综合应用
2026年：全国Ⅰ/Ⅱ卷、北京卷、上海卷；
2025年：全国Ⅰ/Ⅱ卷、上海卷；2024年：新课标Ⅰ/Ⅱ卷、全国甲卷、北京卷、天津卷、上海卷；
多以解答题、压轴小题形式出现，区分度较高
融合新定义、实际生活、几何、函数、不等式等知识；重点考查错位相减、裂项相消、分组求和等求和方法；侧重逻辑推理、数学建模与综合分析能力，设问分层递进。
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