安徽省桐城中学2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试题含答案

这是一份安徽省桐城中学2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试题含答案，共51页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．高一某班有56名学生，其中男生24人，女生32人.按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从该班学生中抽取14人参加跳绳比赛，如果样本按比例分配，则应抽取的男生人数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
2．如果数据x1，x2，…，xn的平均值为x，方差为s2，则3x1+2、3x2+2、…、3xn+2的平均值和方差分别是（ ）
A．x和s2B．3x+2和9s2
C．3x+2和3s2D．3x+2和9s2+2
3．甲、乙、丙三人破译一份密码，若三人各自独立破译出密码的概率为12，13，13，且他们是否破译出密码互不影响，则这份密码被破译出的概率为（ ）
A．29B．49C．59D．79
4．已知l，m，n为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则以下选项正确的是（ ）
A．若m，n⊂α，m//β，n//β，则α//β
B．若m⊂α，n⊂β，则m，n是异面直线
C．若α∩β=l，m//α，m//β，则m//l
D．若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥α
5．某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为66m；在A处看灯塔C在货轮的北偏西45°，距离为122m．货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°，则灯塔C与D处之间的距离是（ ）m
A．163B．8C．12D．83
6．已知在三棱锥A−BCD中，BC⊥CD，AB=BC=CD=DA=4，则三棱锥A−BCD外接球的体积为（ ）
A．8πB．322π3C．82πD．642π3
7．已知△ABC是锐角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=4且(c−2b)sinC=asinA−bsinB，则△ABC面积的取值范围（ ）
A．22,8B．4,8C．4,8D．4,8
8．已知非零向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，且|AB+AC|=|AB−AC|=8，点D是△ABC的边AB上的动点，则DB⋅DC的最小值为（ ）
A．8B．−8C．4D．−4
二、多选题
9．下列关于复数z=1−i的四个命题，其中为真命题的是（ ）
A．z=2B．zz=2
C．z2的虚部为−2iD．zz是纯虚数
10．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b+2acsC=0，则下列结论正确的是（ ）
A．△ABC一定为锐角三角形B．a2+2b2−c2=0
C．3tanA+tanC=0D．tanB的最大值为33
11．在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=2，E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点，动点N在四边形ABB1A1内及其边界上运动，则下列说法正确的是（ ）
A．直线GE与直线HF异面
B．正三棱柱ABC−A1B1C1的外接球表面积为25π3
C．由三棱柱ABC−A1B1C1形石块打磨出一个球，则球的最大体积为43π27
D．若CN//平面AGC1，则动点N的轨迹长度为5
三、填空题
12．已知a=2,3，b=−1,2，则向量a在向量b上的投影向量的坐标为______.
13．三棱锥P−ABC中，E,D分别为PB,PC的中点，记三棱锥D−ABE的体积为V1，P−ABC的体积为V2，则V1V2=____________
14．△ABC中，D为AB边中点，CE=13CD，AB=a，AC=b，则AE=______（用a，b表示），若|AE|=52，AE⊥CB，则AE⋅CD=_______
四、解答题
15．已知平面向量a=(1,2)，b=(−1,3).
(1)若(2a+kb)⊥(3a−b)，求实数k的值；
(2)若a+λb与3a+b所成的角为锐角，求实数λ的取值范围.
16．某学校组织高一数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取100人，将其成绩（百分制）分成[40，50)，[50，60)，…，[90，100]六组，得到频率分布直方图（如图），请完成下列问题：
(1)求频率分布直方图中a的值，用样本估计总体，估计参加挑战赛的学生成绩的平均分（每个区间内的值以该组区间的中点值为代表）；
(2)求参加挑战赛的学生成绩的85%分位数；
(3)已知落在区间[60，70)的样本平均分是63，方差是5；落在区间[70，80)的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分x和方差s2.
17．如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．
(1)求证：PA//平面BDE；平面PAC⊥平面BDE；
(2)若二面角E−BD−C为30°，求四棱锥P−ABCD的体积．
18．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若asinB=3bcsA.
(1)求A；
(2)若c=3，△ABC的面积为332.
（i）求a；
（ii）△ABC边BC上一点D，记△ABD面积为S1，△ACD面积为S2，当1S1+4S2达到最小值时，求AD的长.
19．设O为坐标原点，定义非零向量OM=a,b的“友函数”为fx=asinx+bcsxx∈R，向量OM=a,b称为函数fx=asinx+bcsxx∈R的“友向量”.
(1)记OM=1,1的“友函数”为fx，求函数fx的单调递增区间；
(2)设hx=csx+π6−2csx+θ，其中θ∈R，求hx的“友向量”模长的最大值；
(3)已知点Ma,b满足6a2+5ab+b2