2025--2026学年安徽省桐城中学高一下册4月期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年安徽省桐城中学高一下册4月期中考试数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数（其中为虚数单位），则的虚部为（ ）
A. 1B. -1C. D. -2
2. 化简：（ ）
A. B. C. D.
3. 在不等边中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（）
A. B. C. D.
4. 如图，矩形是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形ABCD中最长边的长度为（ ）
A. 6B. C. 8D. 9
5. 在中，内角所对的边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D. 4
6. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征．现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇环的圆心角为，上板长为12cm，若把该扇环围成一个圆台，则圆台的高为（ ）
A. 6cmB. C. 8cmD.
7. 已知复数，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在直三棱柱中，是AB的中点，是的中点，则三棱锥的体积与三棱柱的体积之比是（ ）
A. 1:3B. 1:4C. 1:6D. 1:8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 关于多面体的下列说法，其中正确的是（ ）
A. 四棱锥是五面体，所以五面体就是四棱锥
B. 每一个棱台的侧棱延长后必交于一点
C. 长方体是直四棱柱，但直四棱柱不一定是长方体
D. 棱锥的侧面形状一定是具有一个公共顶点的等腰三角形
10. 方程在复数集范围内的两个根分别记作，则（ ）
A. B. C. D.
11. 在中，为内一点，若，则下列命题正确的是（ ）
A. 若点为的重心，则B. 若点为的外心，则
C. 若点为的垂心，则D. 若点为的内心，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若复数满足条件，则其在复平面内所对应的点构成的图形面积大小为__________.
13. 棱长为2的正八面体的外接球体积大小为__________.
14. 在中，内角,,所对的边分别为,，，若，则的最大值等于__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知平面向量满足，与的夹角为.
（1）若，求实数的值；
（2）求与的夹角的余弦值.
16. 已知复数.
（1）若为纯虚数，求及的值；
（2）若为虚数，且其在复平面内对应的点在直线上，复数满足，求的大小．
17. 从一张半径为6的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），并卷成一个深度为米的圆锥筒（如图2）．若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为．
（1）若圆锥内有一个底面圆半径为的内接圆柱（如图3），求内接圆柱侧面积的最大值以及取最大值时的取值.
（2）在圆锥内有一个棱长为的正方体，若该正方体在圆锥内可任意转动，求的最大值.
18. 在等腰梯形中，，点E，F分别是边与边上的点，且与交于点.
（1）当时，
①用表示；
②求的大小.
（2）求实数的取值范围，并求的最小值.
19. 如图，四边形ABCD中，是等边三角形.
（1）当时，求四边形ABCD的面积；
（2）若E，G分别是边AB，BD的中点，连接CE，EG，CG，设.
①试用表示；
②求CE长的最大值.
数学
总分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数（其中为虚数单位），则的虚部为（ ）
A. 1B. -1C. D. -2
答案：A
解析：
思路：根据复数的运算法则，可得z，根据虚部的定义，即可得答案.
解答过程：由题意，则的虚部为1.
2. 化简：（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据向量的运算法则，即可得答案.
解答过程：由题意.
3. 在不等边中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：由正弦定理把换为，代入式子约分得到，再结合求出外接圆直径，即可算出原式结果.
解答过程：在中，由正弦定理得（为外接圆半径）.
由此可得，.
将其代入，得.
因为是不等边三角形，所以，即，.
化简得，又由正弦定理.
已知，，则，故.
综上，.
4. 如图，矩形是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形ABCD中最长边的长度为（ ）
A. 6B. C. 8D. 9
答案：D
解析：
思路：根据条件可得、的长度，根据斜二测画法的性质，可得原图中各个长度，结合勾股定理，即可得答案.
解答过程：因为，，
所以，，
则原图中，
将直观图还原成原图，如下图所示：
则，则原四边形ABCD中最长边的长度为9.
5. 在中，内角所对的边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D. 4
答案：B
解析：
思路：本题先利用结合余弦定理列出关于的一元二次方程，解出两个正根，再由同角三角关系求出，借助正弦定理算出，结合推出角有锐角、钝角两种情况，三角形存在两解，故的两个取值均满足三边关系，全部保留.
解答过程：在中，由余弦定理得.
已知，，，代入得： .
化简得： . 由求根公式.
因为，由正弦定理.
得，存在两解，即三角形存在两个解.
所以所对的边或.
6. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征．现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇环的圆心角为，上板长为12cm，若把该扇环围成一个圆台，则圆台的高为（ ）
A. 6cmB. C. 8cmD.
答案：D
解析：
思路：根据题意，求得圆台的母线长，设出圆台底面半径，结合勾股定理，即可求得结果.
解答过程：设扇环围成的圆台，上底面圆半径，下底面圆半径，分别为，扇环内弧半径为，外弧半径为，
由题可知：，也即圆台的母线长为；
则，解得，，解得，则；
设圆台的高为cm，则.
故选：D.
7. 已知复数，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据复数相等的条件，可得m的表达式，代入可得的表达式，根据同角三角函数的关系，结合二次函数的性质，即可得答案.
解答过程：由，得，整理得，
则
，开口向上，对称轴为，
由，得，
所以在上单调递减，
所以当时，的最大值为33，
当时，的最小值为，则的取值范围是.
8. 如图，在直三棱柱中，是AB的中点，是的中点，则三棱锥的体积与三棱柱的体积之比是（ ）
A. 1:3B. 1:4C. 1:6D. 1:8
答案：B
解析：
解答过程：已知是AB的中点，是的中点，
，
又，
，
，
即三棱锥的体积与三棱柱的体积之比为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 关于多面体的下列说法，其中正确的是（ ）
A. 四棱锥是五面体，所以五面体就是四棱锥
B. 每一个棱台的侧棱延长后必交于一点
C. 长方体是直四棱柱，但直四棱柱不一定是长方体
D. 棱锥的侧面形状一定是具有一个公共顶点的等腰三角形
答案：BC
解析：
思路：根据五面体的性质，分析可判断A的正误；根据棱台的性质，可判断B的正误；根据直四棱柱的性质，可判断C的正误；根据棱锥的性质，可判断D的正误.
解答过程：选项A：四棱锥是五面体，但五面体不一定是四棱锥，比如三棱柱也是五面体，故A错误；
选项B：每一个棱台的侧棱延长后必交于一点，故B正确；
选项C：长方体是直四棱柱，若直四棱柱的底面不是长方形，则该直四棱柱就不是长方体，故C正确；
选项D：棱锥的侧面形状一定是具有一个公共顶点的三角形，不一定是等腰三角形，故D错误.
10. 方程在复数集范围内的两个根分别记作，则（ ）
A. B. C. D.
答案：BCD
解析：
思路：利用求根公式求出，根据复数的乘法和乘方运算逐项验证.
解答过程：由求根公式，记，
对于A：，A错误；
对于B：，B正确；
对于C：由选项B的结论及选项A的计算过程可知，，C正确；
对于D：由选项B的判断，，D正确.
11. 在中，为内一点，若，则下列命题正确的是（ ）
A. 若点为的重心，则B. 若点为的外心，则
C. 若点为的垂心，则D. 若点为的内心，则
答案：ABD
解析：
思路：设BC边的中点为D，根据等腰三角形的性质，可得点P在AD上，根据重心的性质及线性运算法则，求出x，y的值，可判断A的正误；根据数量积的几何意义，整理计算，可判断B的正误；根据垂心的性质可得，根据线性运算法则及数量积公式，整理计算，可判断C的正误；根据内心的性质，可求出内切圆半径r的值，根据线性运算法则，可判断D的正误.
解答过程：设BC边的中点为D，则，
因为，所以，且的重心、外心、垂心、内心均在线段AD上，
选项A：因为点为的重心，所以，
则，所以，故A正确；
选项B：若点为的外心，且，
则，故B正确；
选项C：若点为的垂心，则，即，
在，由余弦定理得，
设，则，
所以
，
解得，则，所以，故C错误；
选项D：若点为的内心，则DP为内切圆的半径，且设为r，
则，
又，
所以，解得，
所以，即
则，即，所以，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若复数满足条件，则其在复平面内所对应的点构成的图形面积大小为__________.
答案：
解析：
思路：根据复数减法的几何意义，求得其在复平面内对应点构成的图形，结合圆的面积求解公式，进而求得结果.
解答过程：设，则表示，点到的距离，
又表示：以为圆心，为半径的圆；表示，以为圆心，为半径的圆；
故表示一个圆环，如下所示：
故其面积为.
故答案为.
13. 棱长为2的正八面体的外接球体积大小为__________.
答案：
解析：
解答过程：如图所示，由正八面体对称性可知底面为正方形，正方形的对角线交点.
底面正方形的边长为，其对角线，故中心到顶点的距离为.
在正四棱锥中，侧棱长.
由勾股定理得棱锥的高.
同理，在正四棱锥中，棱锥的高.
因此点到顶点的距离.
综上，点到所有顶点的距离均为，即外接球半径.
代入球的体积公式得.
14. 在中，内角,,所对的边分别为,，，若，则的最大值等于__________.
答案：
解析：
思路：利用正弦定理，化简已知条件，得到；再根据正弦定理和余弦定理，将目标式化为关于的三角函数，进而求三角函数的最大值即可.
解答过程：因为，由正弦定理可得：，
又，，则
因为
，
当且仅当时，取得最大值，最大值为，也即的最大值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知平面向量满足，与的夹角为.
（1）若，求实数的值；
（2）求与的夹角的余弦值.
答案：（1）3 （2）
解析：
思路：（1）根据求模公式及数量积公式，可得的值，由条件，可得，整理计算，即可得答案.
（2）先求出，根据数量积的运算律，可得的值，代入夹角公式，即可得答案.
（1）因为，所以，则，
由，得，
所以，即，则，解得.
（2），，
所以.
16. 已知复数.
（1）若为纯虚数，求及的值；
（2）若为虚数，且其在复平面内对应的点在直线上，复数满足，求的大小．
答案：（1）；
（2）解析：
思路：（1）根据纯虚数的定义，可得m的值，即可得，根据复数的运算性质，整理计算，即可得答案.
（2）根据为虚数，可得m的范围，根据复数的几何意义，可得其坐标，根据条件，可得m的值，即可得复数，根据复数的除法法则，可得，结合求模公式，即可得答案.
（1）若为纯虚数，则，解得，即，
所以，
，
则.
（2）由为虚数，得，则，
在复平面内对应的点坐标为，
因为在复平面内对应的点在直线上，
所以，即，
解得，则，
又，则，
所以，
则.
17. 从一张半径为6的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），并卷成一个深度为米的圆锥筒（如图2）．若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为．
（1）若圆锥内有一个底面圆半径为的内接圆柱（如图3），求内接圆柱侧面积的最大值以及取最大值时的取值.
（2）在圆锥内有一个棱长为的正方体，若该正方体在圆锥内可任意转动，求的最大值.
答案：（1）圆柱侧面积的最大值为，此时.
（2）解析：
思路：（1）根据条件，可得所裁剪的扇形铁皮的弧长，进而可得圆锥底面半径r，作出轴截面图，根据三角形相似，求出内接圆柱体的高，代入侧面积公式，结合二次函数的性质，即可得答案.
（2）分析可得当正方体的外接球为圆锥的内切球时，正方体的边长a最大，作出轴截面图，根据勾股定理，求出半径R，即可得答案.
（1）由题意，所裁剪的扇形铁皮的圆心角为，半径为6，
则所裁剪的扇形铁皮的弧长为，
设圆锥底面半径为r，则，解得，且圆锥的母线长为6，
则圆锥的高，
作出圆柱与圆锥的轴截面图，如下图所示：
设内接圆柱体的高为H，根据三角形相似可得，
则 ，整理得，
则圆柱的侧面积，，
所以当时，侧面积S取得最大值.
（2）由题意得，要使正方体在圆锥内可任意转动，且边长最大，则正方体的外接球即为圆锥的内切球，
作出圆锥与其内切球的截面图，
设内切球的半径为R，则，又圆锥的高，
所以，，则，
因为，所以，解得，
即内切球的半径为，直径为，
又正方体边长最大时，外接球为圆锥的内切球，
且正方体的体对角线为外接球的直径，则，解得.
则该正方体在圆锥内可任意转动，的最大值为.
18. 在等腰梯形中，，点E，F分别是边与边上的点，且与交于点.
（1）当时，
①用表示；
②求的大小.
（2）求实数的取值范围，并求的最小值.
答案：（1）①;②
（2）解析：
思路：（1）①由题意得，利用向量的线性运算，结合向量的基底表示，即可得到结果；
②由题意得 由共线以及共线，设向量共线，代入计算求得，再利用向量数量积的运算律求即可得答案；
（2）由E的位置确定的范围，利用向量的线性运算，用向量为基底表示，利用向量数量积的运算律结合基本不等式可求的最小值.
（1）①在等腰梯形ABCD中，，
，
，
，
所以，
，
所以.
②因为共线，则存在实数，使得，
又因为共线，则存在实数，使得，
所以，解得.
所以.
,
.
（2）因为点E，F分别是边BC与边CD上的点，AE与BD交于点，，
所以，解得，
又因为,
.
所以
，
所以，当且仅当时取“=”.
所以的最小值为.
19. 如图，四边形ABCD中，是等边三角形.
（1）当时，求四边形ABCD的面积；
（2）若E，G分别是边AB，BD的中点，连接CE，EG，CG，设.
①试用表示；
②求CE长的最大值.
答案：（1）
（2）①； ②
解析：
思路：（1）首先利用余弦定理求出，然后把四边形面积转化为和的面积之和，利用三角形面积公式即可求解；
（2）①首先利用余弦定理求出，然后在中利用三角函数表示；
②首先根据正弦定理和余弦定理结合平面几何知识可得，然后根据余弦定理表示出，最后利用辅助角公式结合三角函数的图像性质即可求解.
（1）在中，由余弦定理： ，
得，四边形面积，
，
是等边三角形，，​
因此.
（2）①在中，由余弦定理：，
因为是中点，为等边三角形，故是边上的高，，
因此： ，
②是中点，是中点，故是的中位线，，且 ，
在中，由正弦定理，
，
在中，由余弦定理得：
，
因为 ，，故，
所以的最大值为，
代入得，故.