重庆市忠县2025-2026学年八年级下学期期末学业水平监测 数学试题（含解析）

这是一份重庆市忠县2025-2026学年八年级下学期期末学业水平监测 数学试题（含解析），共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 在平行四边形中，已知，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在平面直角坐标系中，过点的直线一定经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 在给出的4个代数式，，，中，最简二次根式的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
4. 用的绳子围成矩形，若矩形一边长，面积是x的函数，则绳子的长度是（ ）
A. 常量B. 变量C. 自变量D. 函数值
5. 在下列给定的解析式中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图是某公司A，B两个团队的产品收益率箱线图，则下列说法正确的是（ ）
A. A团队的收益率中位数明显高于B团队
B. 在两团队中，B团队的收益率更对称
C. 在两团队中，A团队的收益率更稳定
D. B约有的产品收益率低于A的最低收益率
7. 张华从教室到寝室花了少许时间取书，20分钟后返回教室，设离开教室时间为x（分钟），张华与教室的距离为y（米），则y关于x的函数图像大致为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，已知是等腰直角三角形，，依次以点为直角顶点作等腰，若，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
9. 在如图所示的正方形中，延长线段至E，延长线段至F，若，则图中与的数量关系为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知关于的整式，其中为常数．给出下列命题：①若是关于的二次三项式，则；②若为单项式，则；③若是关于的一次函数，则；④当时，不能分解为两个关于的一次因式的乘积．其中正确的命题个数是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围为______．
12. 已知一次函数，若y的值随x取值增大而减小，则常数m的取值范围是________．
13. 八年级小忠同学收集到一组数据为2，2，3，3，3，4，4，5，6，则该组数据的下四分位数为________．
14. 边长为5且对角线长为2的菱形的面积为________．
15. 正方形如图所示，点E在边上且满足，设点P，Q分别为线段，上的动点，如果的最小值为，那么正方形的边长为_______．
16. 各数位数字分别为a，b，c，d的四位自然数，如果A满足，则称A为“均衡数”，则最小的“均衡数”的各数位数字之和为______；现在将“均衡数”A拆分成两个两位数和，若对于两个一次函数和的图像有且只有一个交点坐标，则使得且为偶数的A共有________个．
三、解答题：（本大题8个小题，17题16分，其余各题10分，共86分）解答时须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应位置．
17. 求值或化简：
（1）；
（2）．
18. 已知一次函数的图象经过，．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若该函数图象与x，y轴分别交于A，B两点，求的长．
19. 如图，四边形是平行四边形，作出边的中点E，连接，延长与线段的延长线交于点F，设，．证明：点C是线段的中点．
（1）请用尺规作图在答题卡图上作出图形（只保留作图痕迹），标上字母和数字，不写作法，不另外添加字母和符号；
（2）请把证明过程补充完整（在答题卡上对应序号旁填写）．
证明：四边形是平行四边形，
，
_①_，_②_，
又点E是边的中点，
，
_③_，
，而由平行四边形得，
_④_，
点C是线段的中点．
20. 某教共体开展了八年级数学建模大赛，A、B两成员校八年级数学兴趣小组同学都积极参加．现从A校中选取了前15名学生的比赛成绩（百分制）为：83，77，85，81，91，79，88，89，78，86，82，80，90，87，84．
（1）写出A校这组数据的中位数和众数（若众数不止一个，请全部列出），并求这组数据的平均数；
（2）B校也选取了前15名学生的比赛成绩，对比A校数据发现，除把77和91两个分数都变成了84外，其余数据相同．写出B校数据的中位数和众数，并求出平均数；
（3）A校和B校的成绩哪个更好，说明理由（写出一条理由即可）．
21. 李老师家到学校的路程为3千米，设李老师匀速走路去上班速度为x（单位：米/分钟），时间为y（单位：分钟），最快需要30分钟，最慢需要50分钟．
（1）以x为自变量，求函数y的解析式，并求出x的取值范围；
（2）若点P在该函数图象上，O为坐标原点，作轴于点A，轴于点B，求四边形的面积．
22. 如图，在矩形中，点E，F分别在，边上，已知对角线恰为线段的垂直平分线．
（1）证明：；
（2）若，，求矩形的周长．
23. 【综合与实践】将五线谱中的一段旋律置于平面直角坐标系中，则旋律可以用“音高y－时间x”的坐标系直观表示．一般地，用横轴x表示时间（以节拍为单位），纵轴y表示音高（以半音为单位，数值越大音越高）．已知一段旋律的四个关键音符对应的点依次为，，，，连接线段、、，则把形成的折线叫这段旋律的旋律线，并记为旋律线．
（1）在答题卡上画出已知旋律的旋律线；
（2）求线段的解析式，判断外来音点是否在线段上？
（3）将该段旋律的节奏移位，即将原旋律线沿x轴正方向平移个单位，得到新旋律线（对应点平移）．判断节奏移位后的新旋律线与原旋律线的交点个数．
24. 如图，设是边长为6的等边三角形，动点E、F同时从点A出发，点E沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，点F沿折线方向以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一动点到达点B时运动停止．设运动时间为秒，E、F两点间距离的倍为．
（1）求自变量x的取值范围，直接判断是否成立？
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）在给出的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质．
25. 如图，设点B为正方形外一点，且，连接并延长至点C使得，过点A作于点D，点O是正方形的中心，连接，已知M、N分别为线段、的中点．
（1）证明：四边形为正方形；
（2）求的大小；
（3）如图2所示，若正方形的边长为5，点O到直线的距离为，求的面积．
数学
满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 在平行四边形中，已知，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：解：∵四边形是平行四边形，平行四边形的对角相等，
∴．
2. 在平面直角坐标系中，过点的直线一定经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
答案：B
解析：
解答过程：解：∵，，
∴点在第二象限．
∵直线过点，
∴直线一定经过第二象限．
3. 在给出的4个代数式，，，中，最简二次根式的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
答案：C
解析：
解答过程：解：，，，中，
，是最简二次根式，
的被开方数含有分母，的被开方数含有能开得尽的因式，都不是最简二次根式，
故最简二次根式的个数是2.
4. 用的绳子围成矩形，若矩形一边长，面积是x的函数，则绳子的长度是（ ）
A. 常量B. 变量C. 自变量D. 函数值
答案：A
解析：
解答过程：解：∵绳子长度固定为，数值不发生改变，根据定义，数值始终不变的量是常量，
∴绳子长度是常量．
5. 在下列给定的解析式中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：对于自变量x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，否则不是，据此判断各选项即可．
解答过程：解：∵选项A、B、C中，对于定义域内任意一个x，都只有唯一确定的y值与之对应，
∴这三个选项都能表示y是x的函数；
对于选项D，，当x取任意一个正数时，比如取，可得和两个值，
∴此时一个x对应两个y值，不满足函数定义，不能表示y是x的函数．
6. 如图是某公司A，B两个团队的产品收益率箱线图，则下列说法正确的是（ ）
A. A团队的收益率中位数明显高于B团队
B. 在两团队中，B团队的收益率更对称
C. 在两团队中，A团队的收益率更稳定
D. B约有的产品收益率低于A的最低收益率
答案：B
解析：
思路：根据箱线图的特征，中位数由箱体中间的横线表示，数据的稳定性由箱体的长度（四分位距）和极差反映，数据的对称性由中位数在箱体中的位置及上下须的长度差异反映，据此逐项判断即可．
解答过程：解：观察图形可知，、两团队收益率的中位数均在左右，无明显差异，选项A错误；
团队箱线图的中位数偏向箱体上方，且下须长度远大于上须长度，分布明显不对称，而团队中位数位于箱体中部附近，上下须长度差异较小，团队的收益率更对称，选项B正确；
团队的箱体高度（四分位距）和极差均大于团队，说明团队数据波动较大，团队的收益率更稳定，选项C错误；
团队的最低收益率（下须下端）约为，团队的最低收益率约为，团队的所有产品收益率均高于团队的最低收益率，选项D错误．
7. 张华从教室到寝室花了少许时间取书，20分钟后返回教室，设离开教室时间为x（分钟），张华与教室的距离为y（米），则y关于x的函数图像大致为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据张华的运动过程分析随的变化情况：从教室出发距离增加，在寝室取书距离不变，返回教室距离减小，且总时间为20分钟，进行判断即可.
解答过程：解：由题意，y关于x的函数图像大致为
8. 如图，已知是等腰直角三角形，，依次以点为直角顶点作等腰，若，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：先分别求出、、的周长，再归纳类推出一般规律，由此即可得．
解答过程：解：∵是等腰直角三角形，，，
∴，，
∴的周长为，
同理可得：的周长为，
的周长为，
归纳类推得：的周长为（为正整数），
∴的周长为
．
9. 在如图所示的正方形中，延长线段至E，延长线段至F，若，则图中与的数量关系为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：将绕点逆时针旋转得到，利用旋转的性质和全等三角形的判定与性质，证明，从而得出与的关系．
解答过程：解：如图，将绕点逆时针旋转得到，
，，，
四边形是正方形，
，，
，
，即三点共线，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
．
10. 已知关于的整式，其中为常数．给出下列命题：①若是关于的二次三项式，则；②若为单项式，则；③若是关于的一次函数，则；④当时，不能分解为两个关于的一次因式的乘积．其中正确的命题个数是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据多项式、一次函数的定义，逐个判断四个命题，利用判别式判断二次多项式能否分解为一次因式乘积，最终统计正确命题个数．
解答过程：解：已知，逐个判断：
若是二次三项式，需满足二次项系数不为，且一次项、常数项均不为，
∴一次项系数为，由二次项系数得，常数项得，
∴满足二次三项式要求，
∴正确．
若为单项式，需二次项系数为且常数项为，
∴ 得，得，
∴当时是单项式，
当时是二项式，
∴错误．
若是一次函数，需二次项系数为，一次项系数不为，
∴ 得，
∴均满足一次函数要求，与命题不符，
∴错误．
当时，，是二次多项式，计算判别式：
当时，，，
∵，
∴，得，
当时，，，
∵，
∴，得，
∴，二次多项式无实根，不能分解为两个一次因式的乘积，
∴正确．
综上所述，正确的命题个数是．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围为______．
答案：
解析：
思路：二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解．
解答过程：解：根据二次根式的意义得，
2x－2≥0，解得x≥1．
故答案为：x≥1．
方法提示：本题考查了二次根式有意义的条件，正确理解二次根式的意义是解题的关键．
12. 已知一次函数，若y的值随x取值增大而减小，则常数m的取值范围是________．
答案：
解析：
解答过程：解：∵一次函数中，的值随取值增大而减小，
∴一次项系数，
∴.
13. 八年级小忠同学收集到一组数据为2，2，3，3，3，4，4，5，6，则该组数据的下四分位数为________．
答案：（答案不唯一）
解析：
解答过程：解：法一：已知数据已经按从小到大排列，可得数据个数，
计算位置，
因为不是整数，将向上取整，可知第个数据就是该组数据的下四分位数，
该组数据的第个数据为，故下四分位数为3；
法二：将数据从小到大排序后，前5个数为2，2，3，3，
中间两位是2和3，
故下四分位数为.
14. 边长为5且对角线长为2的菱形的面积为________．
答案：
解析：
思路：根据菱形对角线互相垂直平分的性质，利用勾股定理求出另一条对角线的长，再根据菱形面积等于对角线乘积的一半计算即可．
解答过程：解：如图，菱形中，，
∵菱形，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积为．
15. 正方形如图所示，点E在边上且满足，设点P，Q分别为线段，上的动点，如果的最小值为，那么正方形的边长为_______．
答案：
2
解析：
思路：因为求折线段的最小值，属于两动点的最短路径问题，所以利用对称思想转化折线，作点B关于的对称点，可得，将转化为．因为两点之间线段最短、垂线段最短，所以的最小值为点到线段的垂线段长度，该长度等于已知的​．因为，可得，建立边长与最小值的关系，求解正方形边长．
解答过程：解：作点关于直线的对称点，
根据对称性质，对任意在上，都有，
．
根据“垂线段最短”，当共线，且时，取得最小值，最小值即为到的垂线段长度，
由题知​．
设正方形边长，
由对称性质得：，，
．
，
在中： ，
，
，
解得，
因此正方形的边长为．
16. 各数位数字分别为a，b，c，d的四位自然数，如果A满足，则称A为“均衡数”，则最小的“均衡数”的各数位数字之和为______；现在将“均衡数”A拆分成两个两位数和，若对于两个一次函数和的图像有且只有一个交点坐标，则使得且为偶数的A共有________个．
答案： ①.
②.
解析：
思路：第一空要得到最小的四位“均衡数”，需从高位到低位依次取最小数字，再计算各数位数字和；第二空先根据一次函数交点性质和已知条件推导得，，再结合为偶数的条件得与同奇偶且，分类计数得到总个数．
解答过程：解：第一空：四位自然数中，千位数字，要使最小，依次令最小取，最小取，由得，再令最小取，得，
因此最小的均衡数为，各数位数字和为．
第二空：联立两个一次函数，
两图像有且只有一个交点，
，
令，解得，
是均衡数，
，即，
代入得，
，
，
将代入得，即，
又，
，即．
，，
，
为偶数，
为偶数，即与同奇偶，且．
，，
，
又，
，且为整数，其中奇数共个，偶数共个，
，，
，
又，
，且为整数，其中奇数共个，偶数共个．
当为奇数时，每个对应符合条件的有个，共个；
当为偶数时，每个对应符合条件的有个，共个；
总个数为．
三、解答题：（本大题8个小题，17题16分，其余各题10分，共86分）解答时须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应位置．
17. 求值或化简：
（1）；
（2）．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）任何非零数的零次幂都等于，根据二次根式的性质．
（2）利用平方差公式、完全平方公式计算即可．
（1）解:
．
（2）解：
．
18. 已知一次函数的图象经过，．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若该函数图象与x，y轴分别交于A，B两点，求的长．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）先求出一次函数与x轴y轴的交点坐标，再利用勾股定理计算线段的长度．
（1）解：设一次函数解析式为，
已知函数图象过，，
代入得，
解得，
因此该一次函数的解析式为；
（2）解：对于，
当时，，
解得，即，
当时，，即，
∵是直角三角形，，，
∴由勾股定理得．
19. 如图，四边形是平行四边形，作出边的中点E，连接，延长与线段的延长线交于点F，设，．证明：点C是线段的中点．
（1）请用尺规作图在答题卡图上作出图形（只保留作图痕迹），标上字母和数字，不写作法，不另外添加字母和符号；
（2）请把证明过程补充完整（在答题卡上对应序号旁填写）．
证明：四边形是平行四边形，
，
_①_，_②_，
又点E是边的中点，
，
_③_，
，而由平行四边形得，
_④_，
点C是线段的中点．
答案：（1）如图，点E即为所求；
（2）①；②；③；④
解析：
思路：（1）根据尺规作一条线段的垂直平分线的方法，进行作图即可；
（2）证明，得出，根据平行四边形的性质得出，从而得出，即可证明结论．
（1）略
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
，，
又点E是边的中点，
，
，
，而由平行四边形得，
，
点C是线段的中点．
20. 某教共体开展了八年级数学建模大赛，A、B两成员校八年级数学兴趣小组同学都积极参加．现从A校中选取了前15名学生的比赛成绩（百分制）为：83，77，85，81，91，79，88，89，78，86，82，80，90，87，84．
（1）写出A校这组数据的中位数和众数（若众数不止一个，请全部列出），并求这组数据的平均数；
（2）B校也选取了前15名学生的比赛成绩，对比A校数据发现，除把77和91两个分数都变成了84外，其余数据相同．写出B校数据的中位数和众数，并求出平均数；
（3）A校和B校的成绩哪个更好，说明理由（写出一条理由即可）．
答案：（1）
中位数为，没有众数，平均数为
（2）中位数为，众数为，平均数为
（3）示例1：B校更好，理由：两校平均数相同，B校成绩更集中，整体成绩更稳定整齐．
示例2：A校更好，理由：A校有更高的最高分，尖子生更突出．
解析：
思路：（1）求解A校的中位数：因为数据共15个，所以先将A校成绩从小到大排序，取排序后第8个数据即为中位数；统计每个数据出现的次数，出现次数最多的即为众数；使用算术平均数公式计算平均数．
（2）求解B校的中位数：因为B校仅修改了两个数据，所以先判断修改后数据排序的变化，确定排序后第8个数据得到中位数；统计修改后各数据的出现次数得到众数；如果使用平均数性质，可对比A校两个修改数据的和与替换后两个数据的和的差异，直接计算B校平均数，也可重新用算术平均数公式计算．
（3）比较两校成绩：因为要判断哪个学校更好，所以可选取平均数、中位数、方差等统计量中的一个，结合统计量的实际意义进行分析．
（1）解：首先将A校15个成绩从小到大排序： 77，78，79，80，81，82，83，84，85，86，87，88，89，90，91，
15个数据的中位数为排序后第个数据，
中位数为84；
所有数据都只出现1次，因此没有众数；
平均数，
因此平均数为84．
（2）B校将A校的77、91替换为两个84，其余数据不变，重新排序得： 78，79，80，81，82，83，84，84，84，85，86，87，88，89，90，
15个数据的中位数仍为排序后第8个数据，因此中位数为84；
84出现次数最多（共3次），因此众数为84；
原77+91=168，替换后，总和不变，
因此平均数，平均数为84．
（3）略
21. 李老师家到学校的路程为3千米，设李老师匀速走路去上班速度为x（单位：米/分钟），时间为y（单位：分钟），最快需要30分钟，最慢需要50分钟．
（1）以x为自变量，求函数y的解析式，并求出x的取值范围；
（2）若点P在该函数图象上，O为坐标原点，作轴于点A，轴于点B，求四边形的面积．
答案：（1）函数解析式为，自变量的取值范围是；
（2）四边形的面积为．
解析：
思路：（1）根据路程、速度、时间的关系推导函数解析式，再结合给定的时间范围得到自变量的取值范围；
（2）利用矩形面积公式结合反比例函数的性质即可求出四边形的面积．
（1）解：千米米，
根据路程公式：路程速度时间，可得，
整理得函数解析式为，
由题意可知，
当时，，
当时，，
∵反比例函数在时，随增大而减小，
∴的取值范围是；
（2）解：设点的坐标为，
由轴，轴，可得四边形是矩形，
矩形面积，
∵点在函数的图象上，
∴，
即四边形的面积为．
22. 如图，在矩形中，点E，F分别在，边上，已知对角线恰为线段的垂直平分线．
（1）证明：；
（2）若，，求矩形的周长．
答案：（1）证明：如图所示，设交于点O，
∵对角线恰为线段的垂直平分线，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解析：
思路：（1）根据线段垂直平分线的性质得到，证明，即可证明；
（2）由矩形的性质得到，，可证明，则可得到，，由线段垂直平分线的性质和（1）的结论可求出的长，进而求出的长，再根据矩形的周长公式求解即可．
（1）略
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵对角线恰为线段的垂直平分线，
∴，
由（1）得，
∴，
∴矩形的周长．
23. 【综合与实践】将五线谱中的一段旋律置于平面直角坐标系中，则旋律可以用“音高y－时间x”的坐标系直观表示．一般地，用横轴x表示时间（以节拍为单位），纵轴y表示音高（以半音为单位，数值越大音越高）．已知一段旋律的四个关键音符对应的点依次为，，，，连接线段、、，则把形成的折线叫这段旋律的旋律线，并记为旋律线．
（1）在答题卡上画出已知旋律的旋律线；
（2）求线段的解析式，判断外来音点是否在线段上？
（3）将该段旋律的节奏移位，即将原旋律线沿x轴正方向平移个单位，得到新旋律线（对应点平移）．判断节奏移位后的新旋律线与原旋律线的交点个数．
答案：（1）； （2），不在；
（3）当时，新旋律线与原旋律线有个交点；当时，新旋律线与原旋律线有个交点；当时，新旋律线与原旋律线有个交点．
解析：
思路：（1）在坐标系中描出点、、、，依次连接线段、、，即得到旋律线；
（2）设线段的解析式为，根据待定系数法求解即可；根据的横坐标判断即可；
（3）结合平移的性质及图象作答即可．
（1）略；
（2）解：设线段的解析式为，
将、代入得：，
解得：，
∴线段的解析式为；
∵，
∴不在线段上；
（3）解：根据平移的性质可知原折线各段与平移后的折线互相平行，无重合，仅不同线段可能相交，分情况讨论得：
如图，当时，
可知新旋律线与原旋律线有个交点；
如图，当时，
可知新旋律线与原旋律线有个交点；
如图，当时，
可知新旋律线与原旋律线有2个交点；
如图，当时，
可知新旋律线与原旋律线有个交点；
如图，当时，
可知新旋律线与原旋律线有个交点．
综上所述，当时，新旋律线与原旋律线有个交点；当时，新旋律线与原旋律线有个交点；当时，新旋律线与原旋律线有个交点．
24. 如图，设是边长为6的等边三角形，动点E、F同时从点A出发，点E沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，点F沿折线方向以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一动点到达点B时运动停止．设运动时间为秒，E、F两点间距离的倍为．
（1）求自变量x的取值范围，直接判断是否成立？
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）在给出的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质．
答案：（1）自变量x的取值范围为，成立
（2） （3）函数的图象为：
由图象可得，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
解析：
思路：（1）求出点E，点F从点A运动到点B所需时间，即可得到自变量x的取值范围．当点F运动到点C，可求出点E运动到的中点，根据等腰三角形的“三线合一”得到；
（2）当点F在上，即时，，，根据勾股定理求出，即可得到y关于x的函数解析式，同理求出当点F在上，即时，y关于x的函数解析式，综合即可解答；
（3）画出函数的图象，根据图象解答即可．
（1）解：自变量x的取值范围为，成立，理由如下：
∵是边长为6的等边三角形，
∴，
点E从点A运动到点B需要时间，
点F从点A运动到点C需要时间，从点C运动到点B需要时间，即点F从点A运动到点B共需时间，
∴点E，F的运动时间都为，即自变量x的取值范围为．
当点F运动到点C，即运动了时，点E运动的距离，
∵，
∴，
∴点E是的中点，
∵，
∴．
（2）解：当点F在上，即时，，，
∵，
∴在中，，
∴．
当点F在上，即时，，，
∴，，
∵，
∴在中，，
∴．
综上所述，y关于x的函数解析式为．
（3）略
25. 如图，设点B为正方形外一点，且，连接并延长至点C使得，过点A作于点D，点O是正方形的中心，连接，已知M、N分别为线段、的中点．
（1）证明：四边形为正方形；
（2）求的大小；
（3）如图2所示，若正方形的边长为5，点O到直线的距离为，求的面积．
答案：（1）证明：四边形为正方形，
，．
，，，
，
∴四边形是矩形．
，，
，
在和中：
，
∴，
．
四边形为正方形．
（2） （3）
解析：
思路：（1）由正方形得，．由垂直条件得，四边形为矩形，证，得，故四边形为正方形．
（2）连接，由正方形中心性质得为中点，，．由及为直角三角形斜边中点得分别为中点，连接，由等腰三角形三线合一得平分，平分，故．
（3）由（2）得，，由勾股定理求，故．过作，由得，为等腰直角三角形，．证，得．设正方形边长为，由勾股定理，解得，则，即可求出面积．
（1）略
（2）解：如图，连接，
点O是正方形的中心，
三点共线，且为中点， ，
，
，
为等腰三角形，
M、N分别为线段、的中点，
，
，
．
（3）解：如图，连接，过作，交延长线于，
由（2）得为等腰三角形，，，
M、N分别为线段、的中点，
，
，
，
为等腰直角三角形，
点O到直线的距离为，即，
正方形的边长为5，
，
，
．
在中，，且，
，可得，
，，
，
在和中：
，
∴，
．
设正方形的边长为，
在中，，即，
解得，则，
的面积．