广西壮族自治区百色市2025-2026学年八年级下学期期末学业水平测试 数学试题（含解析）

这是一份广西壮族自治区百色市2025-2026学年八年级下学期期末学业水平测试 数学试题（含解析），共3页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．）
1. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下，，，，则成绩最稳定的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
2. 如图，在中，，是的中位线，则的长为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
5. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
6. 正十二边形的内角和等于（ ）
A. B. C. D.
7. 下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
8. 平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（ ）
A. 对角线互相平分B. 对角线相等
C. 内角为D. 对角线互相垂直
9. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 下列四组线段中，能围成直角三角形的是（ ）
A. 4，3，2B. 10，20，30C. 3，4，5D. 5，6，7
11. 一组数据，，，，5，，的第一四分位数是（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 3
12. 如图，在边长为6的正方形中，点P为对角线上一动点，，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____．
14. 如图，A，B是池塘边上的两点，点C是与方向成直角的方向上一点，测得，，则A，B两点间的距离为___________．
15. 如图，矩形的对角线和交于点O，，，则________．
16. 已知，是方程的两根，则的值为__________．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解答下列各题
（1）计算：
（2）解方程：
18. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，
（1）求证：
（2）若，，，求的长．
19. 某中学为了解七年级女同学定点投篮水平，从中随机抽取20名女同学进行测试，每人定点投篮5次，进球数统计如下表：
（1）求被抽取的20名女同学进球数的众数、中位数、平均数；
（2）若进球数为3以上（含3）为“优秀”，七年级共有200名女同学，请估计七年级女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数．
20. 综合与实践
物理知识：光的反射定律：反射角等于入射角．
如图，直线为水平平面镜，，，垂足分别为C、D，入射点O是线段的中点，为法线，已知，．
（1）求入射光线的长度；
（2）求反射光线的长度．
21. 如图，在中，，点D是的中点，连接，，交于点E，且，，
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，求菱形的面积．
22. 综合与探究：剪纸艺术中的数学问题
剪纸是我国传统民间艺术，某同学有一张长为、宽为的长方形卡纸．
操作过程：
为制作花边图案，该同学在长方形卡纸的四个角各截去一个相同大小的小正方形，剩余中间的长方形剪纸图案区域（阴影部分）面积为．
探究问题：
（1）设剪去的小正方形的边长为，请用含x的代数式表示剩余图案阴影区域的长和宽；长为_______________，宽为_______________．
（2）求出剪去的小正方形的边长；
（3）若剩余图案阴影区域需要再裁剪出边长为的小正方形贴纸，直接写出最多可以裁剪多少个．
23. 探究与证明
折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
【动手操作】
如图1，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕．
如图2，折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B的对应点为点，展平纸片，连接，请完成：
（1）观察图2中的四边形，猜想这个四边形的形状；
（2）证明（1）中的猜想；
（3）【类比操作】如图3，点N为边上的一个动点，连接，将矩形的纸片沿着折叠，折叠后点B的对应点恰好落在折痕上，展平纸片，若，，求线段的长．
（4）【深入探究】如图4，在（3）的条件下，点N从点B向点C（点N与B、C不重合）运动过程中，若恰好是直角三角形．请直接写出所有符合条件的的长．
数学
（考试时间：120分钟；满分：120分）
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．）
1. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下，，，，则成绩最稳定的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
答案：D
解析：
思路：本题主要考查了方差的意义，熟练掌握方差的意义是解决此题的关键．根据方差判断稳定性，方差越小，成绩越稳定，由此可解．
解答过程：解：∵甲、乙、丙、丁成绩的平均数相同，，
∴成绩最稳定的同学是丁，
故选：D．
2. 如图，在中，，是的中位线，则的长为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：解：是的中位线，
，
，
．
3. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据最简二次根式需满足两个条件：1 被开方数不含分母；2 被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐项判断即可．
解答过程：解：A．的被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式，故选项A不符合题意；
B． 满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式，故选项B符合题意；
C．，被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式，故选项C不符合题意；
D．，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式，故选项D不符合题意．
4. 在中，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：本题已知直角三角形的两条直角边长度，求斜边长，直接运用勾股定理计算即可．
解答过程：解：∵在中，，
∴为斜边，，为直角边．
又∵，，
∴由勾股定理得．
5. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
答案：C
解析：
思路：根据判别式与0的大小关系判断根的情况，一元二次方程中，判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
解答过程：解：∵一元二次方程中，，，，
∴，
∴该一元二次方程没有实数根．
6. 正十二边形的内角和等于（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：直接利用多边形内角和公式代入边数计算即可．
解答过程：解：正十二边形的内角和等于．
7. 下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：，最简二次根式的被开方数为，
A选项的被开方数为，与是同类二次根式，可以合并；
B选项的被开方数为，不是同类二次根式，不能合并；
C选项的被开方数为，不是同类二次根式，不能合并；
D选项的被开方数为，不是同类二次根式，不能合并．
8. 平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（ ）
A. 对角线互相平分B. 对角线相等
C. 内角为D. 对角线互相垂直
答案：A
解析：
思路：根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质逐一分析各选项是否为四个图形共有的性质，即可得出答案．
解答过程：解：A．对角线互相平分是平行四边形的基本性质，矩形，菱形，正方形作为特殊平行四边形，都保留该性质，符合题意；
B．对角线相等，平行四边形和菱形不具有该性质，不符合题意；
C．内角为，平行四边形和菱形不具有该性质，不符合题意；
D．对角线互相垂直，平行四边形和矩形不具有该性质，不符合题意．
9. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
解答过程：解：x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．
故选：C．
方法提示：本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
10. 下列四组线段中，能围成直角三角形的是（ ）
A. 4，3，2B. 10，20，30C. 3，4，5D. 5，6，7
答案：C
解析：
思路：两短边的平方和等于最长边的平方，那么可以构成直角三角形，反之不可以，据此逐一判断即可．
解答过程：解：A、，，
，不能围成直角三角形，故A不符合题意；
B、，，
，不能围成直角三角形，故B不符合题意；
C、，，
，能围成直角三角形，故C符合题意；
D、，，
，不能围成直角三角形，故D不符合题意．
11. 一组数据，，，，5，，的第一四分位数是（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 3
答案：A
解析：
解答过程：∵这组数据已从小到大排列，数据总个数，计算第一四分位数位置得 ，根据四分位数确定规则，不为整数时，将向上取整，
∴第一四分位数是第个位置对应的数据，即．
12. 如图，在边长为6的正方形中，点P为对角线上一动点，，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：解：连接，如图，
四边形是正方形，
，，
，，
四边形是矩形，
，
当时，最短，
在中，，
，
，解得（负值已舍去），
，
则的最小值为．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____．
答案：x≥1
解析：
思路：根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．
解答过程：解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，
∴x≥1，
故答案为：x≥1．
方法提示：本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0．
14. 如图，A，B是池塘边上的两点，点C是与方向成直角的方向上一点，测得，，则A，B两点间的距离为___________．
答案：15
解析：
思路：利用勾股定理求出的长即可得到答案．
解答过程：解：由题意得，，
∴由勾股定理得，
∴A，B两点间的距离为．
15. 如图，矩形的对角线和交于点O，，，则________．
答案：
解析：
思路：由矩形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到．
解答过程：解：∵矩形的对角线和交于点O，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴．
16. 已知，是方程的两根，则的值为__________．
答案：
解析：
思路：先根据一元二次方程解的定义得到，即，代入得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可．
解答过程：解：∵是方程的根
∴
∴
∴
∵，是方程的两根
∴
∴
故答案为：．
方法提示：本题考查了一元二次方程解的定义，一元二次工程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解答下列各题
（1）计算：
（2）解方程：
答案：（1）

（2），
解析：
（1）解：原式
；
（2）解：
∴，．
18. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，
（1）求证：
（2）若，，，求的长．
答案：（1）证明：∵平行四边形，
∴
∵
∴；
（2）解析：
思路：（1）根据平行四边形的对角线的性质证明即可；
（2）根据平行四边形的对角线的性质以及勾股定理求解即可．
（1）略
（2）解：∵平行四边形
∴
∵
∴
∵，,，
∴
∴．
19. 某中学为了解七年级女同学定点投篮水平，从中随机抽取20名女同学进行测试，每人定点投篮5次，进球数统计如下表：
（1）求被抽取的20名女同学进球数的众数、中位数、平均数；
（2）若进球数为3以上（含3）为“优秀”，七年级共有200名女同学，请估计七年级女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数．
答案：（1）众数为1、中位数为2、平均数为
（2）估计为“优秀”等级的女生约为50人
解析：
思路：（1）根据平均数、中位数、众数的定义求解即可；
（2）算出样本的优秀率，再估计总体的优秀人数．
（1）解：女生进球数的平均数为（个），
女生进球数的中位数是第10个和第11个成绩的平均数，即（个），
女生进球个数为1个的人最多，故众数是1个；
（2）解：（人），
答：估计为“优秀”等级的女生约为50人．
方法提示：本题考查了中位数，众数，平均数，用样本件估计总体，掌握中位数，平均数、众数的定义以及优秀率的求法是解题的关键．
20. 综合与实践
物理知识：光的反射定律：反射角等于入射角．
如图，直线为水平平面镜，，，垂足分别为C、D，入射点O是线段的中点，为法线，已知，．
（1）求入射光线的长度；
（2）求反射光线的长度．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）先利用中点的性质求出直角三角形的直角边长，再根据勾股定理求出的长度；
（2）根据光的反射定律推导出，从而得到，最后根据勾股定理求出的长度．
（1）点O是线段的中点，，
，
，
，
在中，，
所以入射光线的长度为．
（2）反射角等于入射角，
，
为法线，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
由（1）知，
在中，，
所以反射光线的长度为．
21. 如图，在中，，点D是的中点，连接，，交于点E，且，，
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，求菱形的面积．
答案：（1）证明：，
四边形是平行四边形，
是的中点，
，
四边形是菱形．
（2）30
解析：
思路：（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形来判定；（2）连接，记与交点为，根据菱形性质得，再根据菱形性质和中位线性质得出，由菱形面积公式计算即可．
（1）略
（2）解：如图，连接，记与交点为，
四边形是菱形，为对角线，
，
，
，
由菱形性质知，
是中点，为中点，
是的中位线，
，
，
．
22. 综合与探究：剪纸艺术中的数学问题
剪纸是我国传统民间艺术，某同学有一张长为、宽为的长方形卡纸．
操作过程：
为制作花边图案，该同学在长方形卡纸的四个角各截去一个相同大小的小正方形，剩余中间的长方形剪纸图案区域（阴影部分）面积为．
探究问题：
（1）设剪去的小正方形的边长为，请用含x的代数式表示剩余图案阴影区域的长和宽；长为_______________，宽为_______________．
（2）求出剪去的小正方形的边长；
（3）若剩余图案阴影区域需要再裁剪出边长为的小正方形贴纸，直接写出最多可以裁剪多少个．
答案：（1），
（2） （3）个
解析：
思路：（1）剩余图案阴影区域的长和宽为长方形卡纸的长和宽减去个小正方形的边长，据此列代数式；
（2）根据长方形面积建立一元二次方程求解即可；
（3）先求出剩余图案阴影区域的长和宽，再求解长和宽上可裁剪的个数即可．
（1）解：设剪去的小正方形的边长为，则长为，宽为；
（2）解：由题意得，，
整理得
解得，
当时，长和宽均小于0，不符合题意，舍去，
∴小正方形的边长为；
（3）解：当小正方形的边长为时，剩余图案阴影区域的长为，宽为，
∵，取整数；，
∴
∴最多可以裁剪个．
23. 探究与证明
折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
【动手操作】
如图1，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕．
如图2，折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B的对应点为点，展平纸片，连接，请完成：
（1）观察图2中的四边形，猜想这个四边形的形状；
（2）证明（1）中的猜想；
（3）【类比操作】如图3，点N为边上的一个动点，连接，将矩形的纸片沿着折叠，折叠后点B的对应点恰好落在折痕上，展平纸片，若，，求线段的长．
（4）【深入探究】如图4，在（3）的条件下，点N从点B向点C（点N与B、C不重合）运动过程中，若恰好是直角三角形．请直接写出所有符合条件的的长．
答案：（1）四边形是正方形
（2）证明：∵四边形是矩形，
∴
由折叠可得，，，
∴为等腰直角三角形，
∴
∴
∴四边形是菱形，
∵
∴四边形是正方形；
（3） （4）或
解析：
思路：（1）根据图形进行猜想即可；
（2）根据折叠的性质以及正方形的判定证明即可；
（3）连接，先证明为等边三角形，则，再由30度直角三角形的性质以及勾股定理求解即可；
（4）分和两种情况进行讨论，根据折叠以及正方形的性质求解即可．
（1）略
（2）略
（3）解：连接，
由折叠可得，，
∴为等边三角形，
∴
∴
∵
∴，
∴，解得（舍负）
∴线段的长为；
（4）解：当时，
由折叠可得，，
∴
∴三点共线，
∴
设，则
∵
∴，解得；
当时，则
由折叠可得，
∵
∴为等腰直角三角形，，
综上，符合条件的的长为或．
进球数
0
1
2
3
4
5
人数
1
8
6
3
1
1
进球数
0
1
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4
5
人数
1
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6
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