广东省广州市天河区2025-2026学年上学期八年级 数学期末考试试卷（含解析）

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本试卷共6页，分两卷，Ⅰ卷共21题100分，Ⅱ卷共4题50分，满分150分．调研时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
Ⅰ卷
一、单项选择题（本题有10个小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）
1. 第十五届全国运动会在广东、香港、澳门举行，观察下列运动图标，属于轴对称图形的是（ ）．
A. B. C. D.
2. 点关于y轴对称点的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
3. 以下列长度线段为边，能够组成三角形的是（ ）．
A. 3，5，9B. 2，3，4C. 2，4，6D. 4，4，9
4. 下列运算正确的是（ ）．
A. B. C. D.
5. 已知一种植物种子的质量约为0.0000026千克，将数0.0000026用科学记数法表示为（ ）
A. 2.6×10﹣6B. 2.6×10﹣5C. 26×10﹣8D. 0.26×10﹣7
6. 如图，点在线段上，且，若，，则的长为（ ）．
A. 3B. 4C. 5D. 10
7. 已知，，则计算的结果为（ ）．
A. B. 1C. 5D. 6
8. 如图，，P是的平分线上的一点，于点M，交于点N，若，则的长为（ ）．
A. 2B. 3C. 4D. 5
9. 定义新运算“◎”：，如果，那么值为（ ）．
A. 1或3或4B. 1或3C. 1或4D. 3或4
10. 如图，和相交于点O，，且，连接，．设，，若，和的面积和等于68，则下列结论正确的有（ ）．
①②③④．
A. ①②④B. ①②③C. ①③④D. ②③④
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分．）
11. 若分式有意义，则实数的取值范围是___________．
12. 计算：____________．
13. 如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝35°，则∠3的度数是__．
14. 如图，在中，，点D，E分别在边，上，且，，若，则的度数为____________．
15. 若，则代数式的值为_________．
16. 如图，和是等腰直角三角形，，连接，．若，，当时，四边形面积的值为____________．
三、解答题（本大题有5小题，共36分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
17 计算：
（1）；
（2）分解因式：．
18. 在我国传统工艺中，油纸伞的制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，已知，．求证：．
19. 如图，在平面直角坐标系中，点，，．
（1）在图中画出关于轴对称的；
（2）连接和，求证．
20. 如图，在中，，垂足为，是的角平分线．若，．求的度数．
21. 某公司响应“积极稳妥推进碳达峰碳中和”的节能减排号召，决定采购新能源型和型两款汽车，已知每辆型汽车进价是每辆型汽车进价的2倍，现公司用2000万元购进型汽车的数量比1200万元购进型汽车的数量少20辆．求每辆型汽车进价．
Ⅱ卷
四、解答题（本大题有4小题，共50分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
22. 小天和小河在学完数学活动《月历中的奥秘》后，又发现了日历上某些数满足一定的规律，图1是2026年1月份的月历，如果用图2所示的折型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），先将位置B，D上的数相乘，再将位置A，E上的数相乘，然后将得到的积相减，例如：，，发现这两个算式计算结果相等．设折型框架中位置C上的数为x．
（1）小天利用整式运算对发现的规律给予证明．请你完成该规律的证明；
（2）小河在研究中进一步发现：设位置A，B，C上的数的乘积为M，位置C，D，E上的数的乘积为N，令，求y与x的关系式．
23. 小天和小河在学完《轴对称》之后，对教材P84习题15.3中的几道数学习题进行拓展研究，编写了两道数学题，它们的已知条件都是：在中，，点D，E是直线上任意两点（不与点B，C重合，且点D在点E的左侧）．解答下面两个问题：
（1）如图，若点D，E分别是边的三等分点，且，则下列结论正确的是（ ）．
A．图中共有2对全等三角形
B．若，则
C．若，则
D．若，在边上有一点P，设，当y取最小值时，的面积等于的面积的三分之一
（2）若点D，E关于的对称轴对称，求证．
24. 先阅读材料，再运用材料介绍的数学方法解决问题．
【阅读思考】我们知道，利用完全平方公式可以把二次三项式写成，由于，可知当时，代数式有最小值为0．同理，由，可知代数式有最小值为．类似地，通过这样的等式变形，我们可以得到一个二次三项式的最大值或最小值．

【解决问题】
（1）求代数式的最小值；
（2）判断代数式有最大值还是有最小值？并求出这个最值；
（3）如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），若要使得围成的生物园的面积最大，则该如何围篱笆？
25. 如图，已知是等边三角形．
（1）作线段的中点，延长至，使，连接，．求的度数；
（要求：先尺规作图，后求角的度数）
（2）若是线段延长线上一点时，延长至，使，连接，．
①求证；
②作交于，若，，，求的面积．