四川省达州市渠县三汇中学2025-2026学年八年级下学期期末质量监测 数学试题（含解析）

这是一份四川省达州市渠县三汇中学2025-2026学年八年级下学期期末质量监测 数学试题（含解析），共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
总分150分
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A. 6，8，10B. 7，24，25C. 1.5，2，3D. 9，12，15
2. 若，则下列式子错误的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列图案是中心对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
4. 把提公因式后一个因式是，则另一个因式是( )
A. B. C. D.
5. 若分式中x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A. 不变B. 扩大为原来的2倍
C. 扩大为原来的4倍D. 不能确定
6. 下列关于平行四边形的说法中错误的是（ ）
A. 平行四边形的对角相等，邻角互补．
B. 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
C. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
7. 如图，平分，于点C，点D在上，若，则的面积为（ ）

A. 3B. 6C. 9D. 18
8. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P为线段外一动点，且，以为边作等边，则线段的最大值为（ ）
A. 3B. 5C. 7D.
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9. 如果一个正多边形的内角和是外角和的4倍，那么这个正多边形的边数为_______.
10. 若不等式两边同时除以，得，则m的取值范围是______．
11. 若点在第二象限，且为正整数，则的值为_______．
12. 如图，已知平分，平分，且，设，则的周长是 _______．
13. 如图， 已知点A， B的坐标分别为， ，将沿x轴向右平移，使点B平移到点E，得到，若，则点C的坐标为__________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. 按要求完成下列各题：
（1）解不等式组：；
（2）解方程：．
15. 先化简：，再从，1，2中选择一个合适的值代入求值．
16. 如图，在中，平分交于点，为上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，，求的面积．
17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
（1）将向左平移6个单位长度得到，请画出；
（2）画出关于点O的中心对称图形；
（3）若将绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标是_______．
18. 如图，点O为平行四边形的对称中心，经过点O的直线交边于点M，交的延长线于点E，交边于点N，交的延长线于点F．
（1）若，，，求的长；
（2）连接、，判断四边形的形状，并证明；
（3）求证：．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19. 已知实数满足，则_________．
20. 如图，在中，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点且，连接，若，则线段的长为______．
21. 已知关于x的不等式组,恰有3个整数解，则a的取值范围是__________
22. 一组代数式，，，，满足下面关系：，，，以此类推，若，则为_________
23. 如图，在中，，的平分线交于点E，的平分线交于点F，则线段的长为 _____ ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24. 《义务教育劳动课程标准》提出，将多种劳动技能纳入课程，发挥好劳动教育独特的育人价值．为让学生体验农耕劳动，某校计划购买甲、乙两种中药树苗种植．已知甲种中药树苗进价是乙种中药树苗进价的1.5倍，若用360元购进甲种中药树苗的数量比用320元购进乙种中药树苗的数量少8棵．
（1）甲、乙两种中药树苗的进价分别为每棵多少元；
（2）学校计划购买甲、乙两种中药树苗共100课，且甲树苗数量不少于乙树苗数量的3倍．请你设计一种购买树苗方案，让购买树苗的总费用最低，并求出最低费用．
25. 如果某公元纪年年份数是一个正整数的平方数，那么我们将这个年份称为“平方年”．例如，2025年是本世纪的“平方年”（），上一个“平方年”是1936年（）．
（1）2025年之后的下一个“平方年”，其年份数与2025的差是多少？
（2）数学兴趣小组由此展开对平方数的研究：如果一个正整数能够表示为两个连续自然数的平方差，那么称这个正整数为“平方幻数”．例如：，则3，5，7都是“平方幻数”．
设两个连续自然数为n和，则由这两个连续自然数构成的“平方幻数”与1的差值能够被2整除吗？为什么？
26. 在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线 与x轴相交于点C，与直线相交于点D，连接BC．
（1）分别求点A，B，C的坐标；
（2）设的面积为，的面积为，若，求直线的函数表达式；
（3）以，为边，连接，交于点F，分别取的中点M，的中点N，连接，，当取得最小值时，求此时的面积．
数学
满分150分，考试时间120分钟）
总分150分
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A. 6，8，10B. 7，24，25C. 1.5，2，3D. 9，12，15
答案：C
解析：
解答过程：A、62+82=102，故是直角三角形，故此选项不合题意；
B、242+72=252，故是直角三角形，故此选项不合题意；
C、22+1.52≠32，故不是直角三角形，故此选项符合题意；
D、92+122=152，故是直角三角形，故此选项不合题意．
故选C．
方法提示：本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
2. 若，则下列式子错误的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．根据不等式的性质逐个判断即可．
解答过程：解：A．，
，故本选项不符合题意；
B．，
，故本选项符合题意；
C．，
，故本选项不符合题意；
D．，
，故本选项符不符合题意；
故选：B．
3. 下列图案是中心对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
解答过程：解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
4. 把提公因式后一个因式是，则另一个因式是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：本题考查了因式分解，利用提公因式是解题关键．适当变形后提公因式，可得答案．
解答过程：解：原式，
另一个因式是，
故选：A．
5. 若分式中x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A. 不变B. 扩大为原来的2倍
C. 扩大为原来的4倍D. 不能确定
答案：B
解析：
思路：本题主要考查了分式的基本性质，
将x，y分别扩大2倍，再约分可得答案．
解答过程：解：根据题意，得，
所以分式的值扩大为原来的2倍．
故选：B．
6. 下列关于平行四边形的说法中错误的是（ ）
A. 平行四边形的对角相等，邻角互补．
B. 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
C. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
答案：B
解析：
思路：本题考查平行四边形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考基础题．根据平行四边形的判定方法，一一判断即可．
解答过程：解：A. 平行四边形的对角相等，正确；根据四边形的内角和为360度结合对角相等，可得邻角互补，正确，故本选项不符合题意；
B. 一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，原命题错误错误，故本选项符合题意；
C. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形正确，由题意可以证明两组对边分别平行，则四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，根据平行四边形的判定方法，可得结论，故本选项不符合题意．
故选：B
7. 如图，平分，于点C，点D在上，若，则的面积为（ ）

A. 3B. 6C. 9D. 18
答案：C
解析：
思路：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可解答．
解答过程：解：如图，过点P作于E，

∵平分，，，
，
，
∴的面积为：，
故选：C．
8. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P为线段外一动点，且，以为边作等边，则线段的最大值为（ ）
A. 3B. 5C. 7D.
答案：B
解析：
思路：当点P在第一象限内时，将绕着点P顺时针旋转得，连接，根据旋转的性质求得的最大值为5．
解答过程：解：如图，当点P在第一象限内时,将绕着P点顺时针旋转，得，连接,则,，,
∴是等边三角形，
∴，可得当D在延长线上时，最长，此时点D与O重合，
∵点A的坐标为，点B的坐标为，，，
∴,
∴线段的最大值为5；
故选：B
方法提示：本题主要考查了等边三角形的性质以及旋转的性质，正确作出辅助线是解题的关键，解题时注意分类思想的运用．
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9. 如果一个正多边形的内角和是外角和的4倍，那么这个正多边形的边数为_______.
答案：
解析：
思路：先明确任意多边形的外角和为，多边形内角和公式为，设该正多边形的边数为，根据题目中内角和是外角和的倍的等量关系列方程，求解即可得到边数．
解答过程：解：设这个正多边形的边数为，任意多边形的外角和为，
由题意得：，
解得：，
即这个正多边形的边数为10．
10. 若不等式两边同时除以，得，则m的取值范围是______．
答案：
解析：
思路：根据不等式两边除以后不等号方向改变，可得为负数，列不等式求解即可．
解答过程：解：∵不等式两边同时除以，不等号方向改变，得到，
∴，
解得．
11. 若点在第二象限，且为正整数，则的值为_______．
答案：1
解析：
思路：本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握坐标系中各象限内点的坐标符号及解一元一次不等式组的能力．
先根据点P在第二象限列出关于a的不等式组，解之求得a的范围，继而结合a为正整数得出答案．
解答过程：解：∵点在第二象限，
∴ ，
解得，
∵为正整数，
∴，
故答案为：1．
12. 如图，已知平分，平分，且，设，则的周长是 _______．
答案：30
解析：
思路：根据平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边推出，再根据三角形的周长公式和等量代换进行求解即可.
解答过程：解：∵平分，平分，且，
∴，
∴，
∴，
∴的周长.
13. 如图， 已知点A， B的坐标分别为， ，将沿x轴向右平移，使点B平移到点E，得到，若，则点C的坐标为__________．
答案：
解析：
思路：本题主要考查了坐标与图形变化平移，解题关键是掌握点的坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
根据得出，求出，则沿轴正方向平移2个单位长度得到，即可求解．
解答过程：解：，
，
，
，
即沿轴正方向平移2个单位长度得到，
，
点的坐标为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. 按要求完成下列各题：
（1）解不等式组：；
（2）解方程：．
答案：（1）

（2）原分式方程无解
解析：
（1）解：解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为：．
（2）解：方程左右两边同时乘，得
，
，
，
，
检验：当时，，
∴原分式方程无解．
15. 先化简：，再从，1，2中选择一个合适的值代入求值．
答案：
解析：
思路：本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可．
解答过程：解：原式

，
∵，时，分式分母为0，
∴，
∴原式．
16. 如图，在中，平分交于点，为上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，，求的面积．
答案：（1）证明：平分，
，
，
，
，
． （2）24
解析：
思路：（1）可证，，即可得证；
（2）作交于，可求，即可求解．
（1）略
（2）解：如图，作交于，
平分，，
，
．
17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
（1）将向左平移6个单位长度得到，请画出；
（2）画出关于点O的中心对称图形；
（3）若将绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标是_______．
答案：（1）见解析 （2）见解析
（3）解析：
思路：（1）利用平移变换的性质分别作出A，，的对应点，，，然后顺次连接即可；
（2）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，，然后顺次连接即可；
（3）两个三角形成中心对称，对应点连线的交点即为旋转中心．
（1）解：如图，点A，，的坐标分别是，，，
将向左平移6个单位长度后，点A，，的对应点分别为点，，，
∴点，，的坐标分别是，，，
将点，，顺次连接得，
∴即为所作；
（2）解：如图，点，，关于点的对称点分别为点，，，
∴点，，的坐标分别是，，，
将点，，顺次连接得，
∴即为所作；
（3）解：如图，连接、、，则、、交于一点Q，则该点即为旋转中心，
设直线的解析式为：，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
同理可得：直线的解析式为：，直线的解析式为：，
联立得：，
∴点，
把代入得：，
∴在直线上，
∴绕点Q旋转正好得到，
即旋转中心坐标为．
故答案为：．
方法提示：本题考查作图—旋转变换，平移变换，求一次函数解析式，求两条直线的交点坐标，根据旋转的性质可知，对应角都相等，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形，对应点连线都交于一点，交点即为旋转中心；确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离；作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．解题的关键是掌握旋转变换的性质，平移变换的性质．
18. 如图，点O为平行四边形的对称中心，经过点O的直线交边于点M，交的延长线于点E，交边于点N，交的延长线于点F．
（1）若，，，求的长；
（2）连接、，判断四边形的形状，并证明；
（3）求证：．
答案：（1）
（2）见解析 （3）见解析
解析：
思路：（1）根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出，根据中心对称的性质得出；
（2）证明，得出，证明四边形为平行四边形，得出垂直平分，证明四边形为菱形；
（3）证明，得出，根据，得出，即可证明结论．
（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∵点O为平行四边形的对称中心，
∴；
（2）解：四边形为菱形，理由如下：
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为菱形；
（3）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
根据解析（2）可知：，
∴，
∴，
即．
方法提示：本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19. 已知实数满足，则_________．
答案：8
解析：
思路：由题意易得，然后整体代入求值即可．
解答过程：解：∵，
∴，
∴
；
故答案为8．
方法提示：本题主要考查因式分解及整体思想，熟练掌握利用整体思维及因式分解求解整式的值．
20. 如图，在中，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点且，连接，若，则线段的长为______．
答案：12
解析：
思路：利用三角形中位线定理得到，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到．所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可．
解答过程：解：点、分别是边、的中点，
是的中位线，
，
，是的中点，，
，
∵，
，
．
21. 已知关于x的不等式组,恰有3个整数解，则a的取值范围是__________
答案：
解析：
思路：首先确定不等式组的解集,先利用含a的式子表示,根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解,根据解的情况可以得到关于a的不等式,从而求出a的范围
解答过程：解不等式组得
由于不等式组有解,则,必定有整数解0
三个整数解不可能是-2,-1,0.
∵
若三个整数解为-1,0,1,则 ，
此不等式组无解;
若三个整数解为0,1，2则
解得
∴a的取值范围是
方法提示：此题考查一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解题关键
22. 一组代数式，，，，满足下面关系：，，，以此类推，若，则为_________
答案：
解析：
思路：先根据已知递推关系计算前几项代数式的值，观察得到这组代数式的循环周期，再计算2025除以周期的结果，根据循环规律得到的值．
解答过程：解：已知，根据题意依次计算得：
，
，
，
因此可得这组代数式的循环周期为3．
，即2025能被3整除，
．
23. 如图，在中，，的平分线交于点E，的平分线交于点F，则线段的长为 _____ ．
答案：
解析：
思路：本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于根据两个角平分线得到，根据平行四边形性质得，所以.
解答过程：解：由四边形是平行四边形，
，
，
都是角平分线，
，
，
，
而，
.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24. 《义务教育劳动课程标准》提出，将多种劳动技能纳入课程，发挥好劳动教育独特的育人价值．为让学生体验农耕劳动，某校计划购买甲、乙两种中药树苗种植．已知甲种中药树苗进价是乙种中药树苗进价的1.5倍，若用360元购进甲种中药树苗的数量比用320元购进乙种中药树苗的数量少8棵．
（1）甲、乙两种中药树苗的进价分别为每棵多少元；
（2）学校计划购买甲、乙两种中药树苗共100课，且甲树苗数量不少于乙树苗数量的3倍．请你设计一种购买树苗方案，让购买树苗的总费用最低，并求出最低费用．
答案：（1）甲、乙两种中药树苗的进价分别为15元/棵和10元/棵
（2）购买75课甲种树苗，25课乙种树苗时费用最低，最低费用为1375元
解析：
思路：本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
（1）设乙种中药树苗的进价为元，则甲种中药树苗的进价为元，根据用360元购进甲种中药树苗的数量比用320元购进乙种中药树苗的数量少8棵．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买甲种中药树苗棵，则购买乙种中药树苗棵，根据甲树苗数量不少于乙树苗数量的3倍．列出一元一次不等式，解得，再设购买树苗的总费用为元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
（1）解：设乙种中药树苗的进价为元，则甲种中药树苗的进价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲种中药树苗的进价为15元，乙种中药树苗的进价为10元；
（2）设购买甲种中药树苗棵，则购买乙种中药树苗棵，
根据题意得：，
解得：，
设购买树苗的总费用为元，
根据题意得：，
，
随的增大而增大．
时，有最小值，
此时，
答：购买甲种中药树苗75棵，乙种中药树苗25棵的总费用最低，最低费用是1375元．
25. 如果某公元纪年年份数是一个正整数的平方数，那么我们将这个年份称为“平方年”．例如，2025年是本世纪的“平方年”（），上一个“平方年”是1936年（）．
（1）2025年之后的下一个“平方年”，其年份数与2025的差是多少？
（2）数学兴趣小组由此展开对平方数的研究：如果一个正整数能够表示为两个连续自然数的平方差，那么称这个正整数为“平方幻数”．例如：，则3，5，7都是“平方幻数”．
设两个连续自然数为n和，则由这两个连续自然数构成的“平方幻数”与1的差值能够被2整除吗？为什么？
答案：（1）91 （2）能够被2整除．
理由如下：由题意，得．
能被2整除，
由这两个连续自然数构成的“平方幻数”与1的差值能够被2整除．
解析：
思路：（1）根据2025年是本世纪的“平方年”（），得出下一个“平方年”是，求解即可；
（2）算出，即可求解．
（1）解：∵2025年是本世纪的“平方年”（），
∴2025年之后的下一个“平方年”，其年份数与2025的差是．
（2）略
26. 在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线 与x轴相交于点C，与直线相交于点D，连接BC．
（1）分别求点A，B，C的坐标；
（2）设的面积为，的面积为，若，求直线的函数表达式；
（3）以，为边，连接，交于点F，分别取的中点M，的中点N，连接，，当取得最小值时，求此时的面积．
答案：（1），，
（2）或
（3）解析：
思路：（1）分别求当时，当时，即可求解；
（2）①当时，由三角形面积分别求出 ，，由可求出，代入，求出，从而可求出的坐标，即可求解； ②当时，同理可求解；
（3）作轴交于，由三角形中位线定理得，，可得，取最小值时，取得最小值，当时，取最小值，由勾股定理及等腰三角形的性质得，
，由即可求解．
（1）解：对于直线，
当时，，
当时，，
解得：，
，，
对于直线 ，
当时，，
解得：，
，
故，，；
（2）解：，
，
①当时，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
经检验：是方程的解，
，
解得：，
，
，
解得：，
直线的函数表达式为；
②当时，
，
，
，
，
解得：，
经检验：是方程的解，
，
解得：，
，
，
解得：，
直线的函数表达式为；
综上所述：直线的函数表达式为或；
（3）解：如图，作轴交于，
由（1）得
，
四边形是平行四边形，
，
是的中点，
是的中点，
，
，
，
取最小值时，取得最小值，
当时，取最小值，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故的面积为．
方法提示：本题考查了一次函数在几何问题中的应用，求一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理等；掌握相关的判定方法及性质，能根据点的不同位置进行分类讨论，利用垂线段最短找出取得最小值的条件是解题的关键．