专题07 实际问题与二（三）元一次方程组【四大题型】 期末真题分类汇编练习备战2025-2026学年七年级数学下学期（北京专用）

这是一份专题07 实际问题与二（三）元一次方程组【四大题型】 期末真题分类汇编练习备战2025-2026学年七年级数学下学期（北京专用）

【题型1 由实际问题抽象出二元一次方程组】
1．（2025•朝阳区期末）学校计划租用若干辆汽车运送七年级学生和带队教师外出进行博物馆参观活动．按照不浪费座位的原则，如果选用型客车，一辆车可乘坐45人，那么有35人没有车坐；如果选用型客车，一辆车可乘坐60人，那么有一辆车只坐了35人，并且还空出一辆车．设计划租用辆车，共有学生和带队教师人．则根据题意列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
解：如果选用型客车，一辆车可乘坐45人，那么有35人没有车坐，
；
如果选用型客车，一辆车可乘坐60人，那么有一辆车只坐了35人，并且还空出一辆车，
．
根据题意可列出方程组，
即．
答案：．
2．（2025•海淀区期末）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为（ ）
A．B．
C．D．
解：依题意得：，
答案：．
3．（2025•怀柔区期末）某数学兴趣小组开展“无盖长方体纸盒的制作”实践活动．如图，小明用边长为30厘米的正方形纸板制作有底无盖长方体纸盒．他先在纸板上剪去一个小长方形，用虚线将其余部分分为几个小长方形，沿虚线压折，再用胶带粘合起来．已知，求底边和的长．设，，则可以列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
解：根据题意可以列方程组为．
答案：．
4．（2025•海淀区期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长尺，竿长尺，则符合题意的方程组是（ ）
A．B．
C．D．
解：设索长为尺，竿子长为尺，
根据题意得：．
答案：．
5．（2025•朝阳区期末）《九章算术》中有这样一道题：今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大、小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，可列出的二元一次方程组为 ．
解：根据题意得：，
答案：．
6．（2025•西城区期末）用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身可以和两个盒底可制成一个罐头盒．现有36张白铁皮，设用张制盒身，张制盒底，恰好配套制成罐头盒，根据题意，可列方程组 ．
解：由题意可得，
，
答案：．
【题型2 二元一次方程组的应用】
7．（2025•海淀区期末）有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（ ）
A．72B．68C．65D．60
解：设小长方形卡片的长为，宽为，
根据题意得：，
解得：，
阴影部分的总面积为：，
答案：．
8．（2025•通州区期末）幻方的起源与中国古代的“河图”和“洛书”紧密相关，被认为是三阶幻方的最早形式．现将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则和的值分别是
A．，B．，C．，D．，
解：根据题意可得，
，
解得：．
答案：．
9．（2025•丰台区期末）自行车一般是由后轮驱动的，所以后轮胎的磨损程度比前轮胎严重．设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，如某轮胎可行驶公里，则每公里的磨损量为，现有某品牌自行车的前轮胎行驶达到5000公里时报废，后轮胎行驶达到3000公里时报废．如果该自行车行驶若干公里后，将前后轮胎进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（ ）
A．3250公里B．3500公里C．3750公里D．4000公里
解：设总行驶距离为公里，交换轮胎前行驶公里．根据每个轮胎在前后位置上的磨损总和为1可得：，
解得：，
这对轮胎最多可以行驶3750公里．
答案：．
10．（2025•东城区期末）随着新能源汽车技术的飞速发展，越来越多新能源汽车是由后轮驱动的，所以后轮胎的磨损程度比前轮胎严重．设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，如某轮胎可行驶公里，则每公里的磨损量为，现有某品牌的轮胎安装在前轮时行驶达到6万公里时报废，安装在后轮时行驶达到4万公里时报废．如果该汽车行驶若干公里后，将前后轮胎进行对换，那么这两对轮胎最多可以行驶（ ）
A．4.5万公里B．4.8万公里C．5万公里D．5.2万公里
解：设该汽车行驶万公里后，将前后轮胎进行对换，行驶的最大里程为万公里，
由题意可得，当前后轮同时报废时，行驶的里程数最大，
，
解得，
即这两对轮胎最多可以行驶4.8万公里，
答案：．
11．（2025•门头沟区期末）用8个大小完全相同的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点，则点的坐标是 ．
解：8个大小完全相同的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点，
设小长方形纸片的长为，宽为，
依题意得：，
解得：，
，
点在第二象限内，
点的坐标是．
答案：．
12．（2025•昌平区期末）小林、小芳和小亮三人玩飞镖游戏，各投5支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小亮的得分是 21 ．
解：设掷中外环区、内区一次的得分分别为，分，
依题意得：，
解这个方程组得：，
则小亮的得分是（1分）．
答案：21；
13．（2025•石景山区期末）“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为．请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量．
解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克，一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克，
由题意得，
解得．
答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克，一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40毫克．
14．（2025•朝阳区期末）列方程组解应用题
垃圾分类有助于环境保护、资源循环利用．某区域的环卫部门每天安排10台型车和8台型车用于垃圾清运，一台型车比一台型车每次多清运7吨垃圾，该区域每天需要清运垃圾428吨，每天每台车均需清运垃圾2次恰好能完成本区域当天的垃圾清运工作．一台型车和一台型车每次清运垃圾的吨数分别是多少？
解：设一台型车每次清运垃圾吨，一台型车每次清运垃圾吨，
由题意得：，
解得：，
答：一台型车每次清运垃圾15吨，一台型车每次清运垃圾8吨．
15．（2025•昌平区期末）学校为加强学生的体育锻炼，开展了系列体育比赛．在某次投篮比赛中，积分规则为：每组投10次，每投进1球得3分，未投进则扣1分．
（1）奋进组投进9个球，得分为 26 分；
（2）务实组总共得22分，则该小组投进了多少个球，未投进多少个球？
解：（1）由题意可知，奋进组投进9个球，得分为（分，
答案：26；
（2）设务实组投进了个球，未投进个球，
依题意得：，
解得：，
答：务实组投进了8个球，未投进2个球．
16．（2025•海淀区期末）列方程解应用题：
“太空育种”是种子被宇航员带入太空，经历一段太空环境后，再返回地球进行培育的育种方法，是将辐射、宇航、育种和遗传等学科综合的高新技术，经太空育种后的鲜花花期更长、花朵更鲜艳、价格也较高，我国培育成功的太空育种鲜花“延丹1号”山丹丹单价为29元盆，“太空玫瑰”单价为99元盆．为美化环境，公园计划购买这两种太空育种鲜花共200盆，若购买这两种鲜花的总价为9300元，请计算购买“延丹1号”山丹丹和“太空玫瑰”的盆数．
解：设购买“延丹1号”山丹丹盆，购买“太空玫瑰” 盆．
根据题意得：，
解得，
答：购买“太空玫瑰”50盆，购买“延丹1号”山丹丹150盆．
【题型3 解三元一次方程组】
17．（2025•西城区期末）若方程组的解也是方程的解，则（ ）
A．B．C．D．
解：根据题意得，
（1）（2）得：
代入得：．
答案：．
18．（2025•东城区期末）已知关于、的方程组的解与的和是2，那么的值是（ ）
A．4B．C．8D．
解：关于、的方程组，
解得：．
又与的和是2，
，
解得．
答案：．
19．（2025•海淀区期末）若，，则的值是 0 ．
解：由，
解得，
．
答案：0．
20．（2025•东城区期末）已知，，，则的值是25．
解：①，②，③，
③②得：，
④，
①②得：，
⑤，
由④和⑤组成方程组，
解得：，，
把，代入③得：，
解得：，
所以，
答案：25．
21．（2025•东城区期末）解方程组：
解：
由②③得：④
由①④得：，
解得，
把代入①得：，
把、的值代入②得：，
．
22．（2025•丰台区期末）已知方程组，其中．求的值．
解：，
①②得：，
则，
将代入①得：，
则，
原式．
【题型4 三元一次方程组的应用】
23．（2025•西城区期末）现有圆锥、圆柱、球若干个，其中相同形状的几何体大小、质量都相等．将它们分别放在三个天平的托盘中，三个天平都处于平衡状态．用△，□，〇分别代表圆锥、圆柱、球，示意图如图图3，其中图3的天平右边托盘中是个球，那么的值为（ ）
A．8B．7C．6D．5
解：设一个圆锥的质量为，一个圆柱的质量为，一个球的质量为，
由图1得，
整理得：①，
图2得，
整理得：②，
①②得：，
将代入②得：，
则，
那么，
即，
答案：．
24．（2025•东城区期末）有一份选择题试卷共六道小题．其得分标准是：一道小题答对得8分，答错得0分，不答得2分．某同学共得了20分，则他（ ）
A．至多答对一道小题B．至少答对三道小题
C．至少有三道小题没答D．答错两道小题
解：设答对题，答错的有题，不答的有题．
依题意得，满足且6≥x≥0，6≥y≥0，6≥z≥0都为整数
当时，，不合题意舍去；
当时，，，不合题意舍去；
当时，，．
答案：．
25．（2025•海淀区期末）中关村中学科技节初一年级的92名同学参加“中国古代科技展”、“音乐互动体验活动”、“速算巧想、巧板奇思数学挑战赛”三项体验活动．其中有48人参加了“中国古代科技展”，40人参加了“数学挑战赛”，参加“音乐互动体验活动”的人数是同时参加“中国古代科技展”和“音乐互动体验活动”人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，同时参加“数学挑战赛”和“音乐互动体验活动”的人数相当于三项都参加人数的2倍，同时参加“中国古代科技展”和“数学挑战赛”的人数有20人，那么参加“音乐互动体验活动”的学生有 42 人．
解：由题意，设三项活动都参加的有人，同时参加“中国古代科技展”和“音乐互动体验活动”的有人，参加“音乐互动体验活动”的有人，
．
．
答：参加“音乐互动体验活动”的学生有42人．
答案：42．
26．（2025•海淀区期末）数学活动课上，同学们分小组玩游戏，每组三张卡片，卡片上各写有一个正整数，分别记为，，且，组长将卡片随机发给甲、乙、丙三位同学，这三位同学拿到卡片后记录数字，然后将卡片还给组长，算是完成一次游戏．某小组按照此方式玩了5次游戏，他们将部分数据记录如下：
由此推断的值为 4 ．
解：根据题意可得：，
解得：，
甲的总和乙的总和，
甲5次的和与乙5次的和不相同，
又，
即可得出甲、乙、丙三位同学玩了5次游戏的数据如下：
，
即，
，
，
解得，
，
，
，
答案：4．
27．（2025•石景山区期末）阅读感悟：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值．例如问题：已知实数，满足①，②，求和的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值，再代入要求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则 ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、4本日记本共需58元，则购买2支铅笔、2块橡皮共需多少元？
解：（1），
①②得：．
答案：；
（2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，
根据题意得：，
①②得：，
．
答：购买2支铅笔、2块橡皮共需12元．
28．（2025•海淀区期末）列方程组解应用题：
越野爱好者吴悠分三次从甲地出发，沿着不同的线路线，线，线）去乙地．在每条线路上，行进的方式都分为穿越丛林、涉水行走和攀登山峰这三种路况，且他在同种路况下行进的速度不以线路改变而变化．已知他涉水行走的路程与攀登山峰的路程相等．线、线路程相等，都比线路程多，线总时间等于线总时间的，他用了穿越丛林、涉水行走和攀登山峰走完线，在线中一共用了，其中涉水行走所用时间比线上升了，攀登山峰所用时间也比线上升了．若他用了 穿越丛林、 涉水行走和 攀登山峰走完线，且，，都为正整数，求，，的值．
解：他涉水行走的路程与攀登山峰的路程相等，
可以假设涉水行走的速度为、攀登的速度为、穿越丛林的速度为，
由题意得：
，
，
整理得：，
解得：，①，
线总时间等于线总时间的，他用了穿越丛林、涉水行走和攀登山峰走完线，
；
由①②消去得到：，
，是正整数，
，，或，，．
12
7
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
总和
甲
32
乙
22
丙
16
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
总和
甲
32
乙
22
丙
16