2026年中考数学真题完全解读（内蒙古卷）

这是一份2026年中考数学真题完全解读（内蒙古卷），共9页。试卷主要包含了14 题等内容，欢迎下载使用。

试题分析
本卷为 2026 年内蒙古自治区中考数学试题，全卷共 18 题，满分 100 分，考试时间 90 分钟。试卷结构保持稳定，分为选择题（8 题，24 分）、填空题（4 题，12 分）和解答题（6 题，64 分，依次为 10+8+10+12+12+12）。试题整体难度以基础性为主，兼顾综合性、应用性和创新性，梯度清晰，覆盖面广。 试卷注重对学科主 干知识和核心概念的考查。数与式、函数、图形的性质、图形的变化与综合实践、统计与概率五大模块分 布相对均衡，其中图形的变化与综合实践模块分值最高。选择题侧重基础概念与简单推理，填空题突出几 何变换与函数性质，解答题则从计算、统计、方程不等式、圆、旋转探究到项目式抛物线应用逐层递进。 试题情境创设贴近学生生活与地方实际：第 7 题以阿拉善盟梭梭种植成活率设置概率问题，第 14 题以 AI 产 品选型为背景考查统计决策，第 18 题以学校主席台遮阳棚设置灯带为项目式任务，融入抛物线建模和解直角三角形。压轴题强调过程思维、模型建构和综合应用，体现数学核心素养导向。
试题亮点
阿拉善生态治理与防沙治沙情境入题，凸显内蒙古地域育人导向：第 7 题以阿拉善盟人工种植梭梭、成活率达到 90%为背景，考查概率意义与随机事件；第 18 题以学校操场主席台遮阳棚设置灯带为项目式任务，融入本地春分日正午太阳光线与地面夹角 49°的真实数据。两题将内蒙古生态建设、校园生活与数学建模结合，体现服务地方发展与应用意识导向。
项目式学习与综合探究成为压轴新载体，强调过程思维与建模能力：第 17 题以正方形纸片与等腰直角三
角形旋转为载体，设置线段关系猜想、垂直条件下的比例证明与面积比求解；第 18 题以主席台遮阳棚为项目，经历信息收集、抽象模型、建立抛物线表达式、解直角三角形求长度的完整过程。两题共同体现从特殊到一般、从模型建立到实际应用的探究路径。
基础题注重概念本质与跨模块融合，避免机械刷题：第 8 题用矩形面积模型同时验证分配律、完全平方公式和平方差公式；第 11 题在一次函数图象与性质判断中设置参数 k 的取值陷阱；第 5 题将二次函数与 x 轴交点距离转化为解一元二次方程。基础题不仅考查“会不会”，更考查“懂不懂”，要求学生真正理解概念本质。
命题趋势
内蒙古地方生态与发展情境将持续入题，应用意识考查常态化：第 7 题以阿拉善盟梭梭种植成活率设置概率意义问题，第 18 题以本地春分日正午太阳光线与地面夹角 49°为数据建立抛物线模型。内蒙古卷近年逐步增加地方生态、校园生活、民族文化等情境素材，预计未来将继续选取具有草原、沙漠、生态辨识度的素材，引导学生在真实情境中建立数学模型。
综合与实践、项目式学习将成为压轴题重要命题形式：第 18 题以“主席台遮阳棚设置灯带”为项目，第 17题以“综合与探究”为标签，均要求学生经历信息提取、模型抽象、推理计算、结论解释全过程。未来压轴题将继续淡化复杂技巧，强化从情境到数学模型的转化、从图形到数量关系的表达。
基础题将更加注重概念理解与反套路设计：第 8 题看似图形面积验证公式，实则考查整式乘法几何意义；第 11 题一次函数结论判断需要分类讨论 k+1 的符号；第 2 题正数负数比较实际质量。基础题将在“送分到位”的同时，通过反例、分类、几何解释等方式检验概念理解，机械刷题难以稳定得分。
函数与几何、代数与几何的融合将进一步加深：第 5 题二次函数与 x 轴交点问题、第 6 题反比例函数实际应用、第 11 题一次函数参数讨论构成函数考查主线；第 17 题旋转几何与面积比、第 18 题抛物线与解直角三角形结合，体现几何与函数、三角的深度融合。未来中高档题将继续强化跨模块综合，要求学生具备数形结合和模型转化能力。
考点细目表
题号
题型
分值
具体考点
关键能
力
1
单选
3
图形的变化与综合实践→图形的轴对称→轴对称图形的识别
几何直观
2
单选
3
数与式→有理数→正数、负数与有理数大小比较
运算能力
3
单选
3
图形的变化与综合实践→平移→平面直角坐标系中点的平移
几何直观
4
单选
3
图形的性质→相交线与平行线→平行线的性质
推理能力
5
单选
3
函数→二次函数→二次函数与一元二次方程的关系
运算能力
6
单选
3
函数→反比例函数→反比例函数的实际应用与图象
模型观念
7
单选
3
统计与概率→概率→概率的意义与随机事件
数据观念
8
单选
3
数与式→整式→乘法公式与面积模型
抽象能力
9
填空
3
数与式→分式→同分母分式的加减运算
运算能力
10
填空
3
图形的变化与综合实践→图形的折叠→折叠的性质与等边三角形综
合
几何直观
11
填空
3
函数→一次函数→一次函数图象与性质
推理能力
12
填空
3
图形的性质→四边形→矩形性质、尺规作图与勾股定理
推理能力
考点模块占比分析
数与式模块（约 29%，29 分）：对应第 2、8、9、13、15 题。重点考查有理数大小比较、分式化简、整式乘法公式几何验证、新定义运算与整式加减、一元一次不等式与二元一次方程整数解。
函数模块（约 9%，9 分）：对应第 5、6、11 题。重点考查二次函数与一元二次方程的关系、反比例函数的实际应用与图象识别、一次函数图象与性质。
图形的性质模块（约 18%，18 分）：对应第 4、12、16 题。重点考查平行线的性质、矩形性质与尺规作图、圆内接三角形与圆周角定理。
图形的变化与综合实践模块（约 33%，33 分）：对应第 1、3、10、17、18 题。重点考查轴对称图形识别、平移、折叠、旋转及综合探究，项目式学习中抛物线建模与解直角三角形。
统计与概率模块（约 11%，11 分）：对应第 7、14 题。重点考查概率意义与随机事件、统计量（众数、中位数、加权平均数）及统计决策。
核心复习策略
回归教材，夯实数与式、函数等核心概念
系统梳理有理数、整式、分式、二次根式的运算规则与常见变形，强化零次幂、绝对值、分式化简等易错点。
理解一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，特别是参数变化对图象的影响，避免仅凭记忆解题。
强化几何直观与推理能力，突破图形变换
熟练掌握平移、旋转、轴对称、折叠的性质，能在复杂图形中识别全等、相似、平行等关系。
13
解答
10
数与式→实数运算与新定义→新定义运算与整式加减
运算能力
14
解答
8
统计与概率→统计量→众数、中位数、加权平均数
数据观念
15
解答
10
数与式→方程与不等式→一元一次不等式与二元一次方程整数解
模型观念
16
解答
12
图形的性质→圆→圆周角定理、相似三角形与垂直关系
推理能力
17
解答
12
图形的变化与综合实践→旋转→旋转的性质、正方形与相似三角形
推理能力
18
解答
12
图形的变化与综合实践→综合与实践→二次函数建模与解直角三角
形
应用意识
重视圆、矩形、等边三角形等基本图形的性质，训练“由已知推未知”的推理链书写。
提升统计应用与项目式问题解决能力
理解众数、中位数、平均数、加权平均数、概率意义的区别与适用场景，能根据数据特征做出合理决策。
面对项目式、综合与实践问题，学会分步提取信息、建立数学模型、检验结果合理性，并规范书面表达。
避坑提醒（考试最易踩的雷）
×忽视概念本质，只靠题型记忆：第 8 题、第 11 题均需真正理解公式几何意义和参数讨论，机械套公式易错。
×审题不清，单位与条件遗漏：第 18 题涉及长度单位、影长、抛物线顶点等大量数据，需列表梳理避免漏用。
×做题不复盘：错题复盘的价值远大于机械刷题。
×表达不规范：步骤、依据、单位或答语缺失都会造成失分。
单选题
下列由字母 A 与 B 的创意图形结合产生的图形中，为轴对称图形的是（）
B．C．D．
命题透视
核心考点：轴对称图形的识别
命题分析：
情境创设：以字母 A 与 B 的创意组合图形为载体，判断哪一图形为轴对称图形。
问题设计：设置四个创意图形作为选项，要求学生根据轴对称定义逐一判断。
考查目标：考查几何直观与概念识别能力，要求学生能依据定义进行直观判断。
答案与解析
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：B，C，D 选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
A 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是
轴对称图形．
知识总结
①核心概念：轴对称图形指沿一条直线折叠后直线两旁部分能够重合的图形。②解题方法：观察每个选项是否存在一条对称轴，使左右（或上下）两部分完全重合。③拓展：中心对称图形与轴对称图形的区别，常见于图标、建筑、剪纸等。
第一袋
第二袋
第三袋
第四袋
+2
0
+1
−2
小明买了 4 袋标准质量为 450 克的食品，他对这 4 袋食品的实际质量进行了检测，检测结果如下（用正数记超过标准质量的克数，用负数记不足标准质量的克数）：
其中最重的是（ ）
第一袋B．第二袋C．第三袋D．第四袋
命题透视
核心考点：正数、负数与有理数大小比较
命题分析：
情境创设：以小明购买食品检测质量为背景，用正数记超过标准质量、负数记不足标准质量的克数。
问题设计：给出四袋检测结果，要求学生比较实际质量大小并选择最重的一袋。
考查目标：考查有理数大小比较的实际应用，体会正数、负数在生活中的意义。
答案与解析
【答案】A
【分析】四袋食品标准质量相同，实际质量等于标准质量加上检测结果，因此只需比较检测结果的大小，检测结果越大则实际质量越重．
【详解】解：∵四袋食品标准质量均为 450 克，实际质量 = 450 +检测结果，
∴检测结果越大，实际质量越重。
比较各袋检测结果可得 +2 >+ 1 > 0 >− 2，
∴第一袋检测结果最大，实际质量最重．
知识总结
①核心概念：实际质量=标准质量+检测结果；正数越大表示超过越多，负数越小表示不足越多。②解题方法：比较各检测结果的大小，最大的对应实际质量最重。③拓展：有理数比较法则、绝对值表示与标准质量的偏差。
如图，在平面直角坐标系中有一个“心形”图形，“心形”图形上的点在格点上，若将该图形向上平移 3
个单位长度，则该图形上点的对应点′的坐标是（ ）
A．( − 2, − 1)B．( − 2,2)C．(1, − 1)D．( − 2,1)
命题透视
核心考点：平面直角坐标系中点的平移
命题分析：
情境创设：以“心形”图形在坐标系中的平移为背景。
问题设计：给出图形上一点 H 坐标，要求将该图形向上平移 3 个单位长度后求对应点 H'的坐标。
考查目标：考查坐标平移规律，发展几何直观。
答案与解析
【答案】B
【分析】根据平面直角坐标系确定点的坐标，再根据点的平移规律“上加下减”进行计算即可．
【详解】解：由图可知，点的坐标为( − 2, − 1)，
∵将该图形向上平移 3 个单位长度，
∴点的横坐标不变，纵坐标加 3，
∴对应点′的坐标为( − 2, − 1 + 3)，即( − 2,2)．
知识总结
①核心概念：点在平面直角坐标系中平移，上加下减纵坐标，左减右加横坐标。②解题方法：向上平移 3 个单位，横坐标不变，纵坐标加 3。③拓展：平移与函数图象平移的联系。
4．如图，木工常用的直角曲尺的直角顶点和其中一端点分别在两条平行直线和上，若∠1 = 127°，则∠2
的度数是（ ）
3°B．47°C．37°D．27°
命题透视
核心考点：平行线的性质与三角形内角和
命题分析：
情境创设：以木工常用的直角曲尺为情境，直角顶点和一端点分别在两条平行直线上。
问题设计：给出∠1=127°，求∠2 的度数。
考查目标：考查平行线性质、直角三角形内角关系及推理能力。
答案与解析
【答案】C
【详解】解：如图，设曲尺左侧边与直线的夹角为∠3，
∵ ∥ ，
∴ ∠3 + ∠1 = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵ ∠1 = 127°，
∴ ∠3 = 180° − 127° = 53°，
∵曲尺的直角顶点为，
∴ ∠3 + 90° + ∠2 = 180°，
∴ ∠2 = 180° − 90° − 53° = 37°．
知识总结
①核心概念：两直线平行，同旁内角互补；三角形内角和为 180°。②解题方法：先利用平行线性质求
∠3，再由直角曲尺的 90°角求∠2。③拓展：平行线间常见辅助线作法与角度传递。
5．二次函数 = 2 − 9 的图象与轴交于，两点，则线段的长是（ ）
A．3B．6C．9D．18
命题透视
核心考点：二次函数与x 轴的交点
命题分析：
情境创设：以二次函数图象与 x 轴交点距离为载体。
问题设计：给出二次函数 y=x²-9，求与 x 轴两交点 A、B 之间的线段长。
考查目标：考查二次函数与一元二次方程的关系，以及数轴上两点距离计算。
答案与解析
【答案】B
【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为 0 的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果．
【详解】解：∵二次函数图象与轴交点的纵坐标为 0
∴令 = 0，得方程2 − 9 = 0
解得1 = 3，2 =− 3
∴ ，两点的坐标为 −3,0 和 3,0
∴线段的长为 3 − −3 = 6
知识总结
①核心概念：二次函数与 x 轴交点的纵坐标为 0；解对应一元二次方程可得交点横坐标。②解题方法：
令 y=0，解 x²-9=0 得 x=±3，距离为 3-(-3)=6。③拓展：一般二次函数 y=ax²+bx+c 的两根距离公式
|x1-x2|=√Δ/|a|。
已知压力（单位：N）一定时，压强（单位：Pa）与受力面积（单位：m2）之间的函数关系式为 = ．当
= 0.3 m2时， = 1800 Pa，则压强关于受力面积的函数图象正确的是（）
B．
C．D．
命题透视
核心考点：反比例函数的实际应用
命题分析：
情境创设：以压力一定时压强与受力面积的关系为背景。
问题设计：先由给定数据求反比例函数解析式，再判断压强关于受力面积的函数图象。
考查目标：考查反比例函数建模与图象识别，发展模型观念。
答案与解析
【答案】C
【分析】根据题意确定与的函数关系为反比例函数，求出常数的值，再根据反比例函数图象的性质及图象上点的坐标进行判断即可．
【详解】∵ = ，且为定值
∴ 是的反比例函数，且 > 0，图象位于第一象限
0.5
对于 D 选项，当 = 0.5 时， = 540 = 1080 ≠ 1000，不符合题意．
0.6
对于 C 选项，当 = 0.6 时， = 540 = 900，图象经过点(0.6,900)，符合题意
∴函数解析式为 = 540
得 = = 1800 × 0.3 = 540
将 = 0.3， = 1800 代入 =
∴排除选项 A、B
知识总结
①核心概念：压强 p=压力 F/受力面积 S，F 一定时 p 与 S 成反比例。②解题方法：代入已知 S、p 求 F，再验证选项中的点是否满足解析式。③拓展：反比例函数图象位于第一象限的条件及实际意义。
阿拉善盟是内蒙古乃至全国防沙治沙的主阵地，截至 2024 年底，勤劳的阿拉善人累计人工种植梭梭（一种防风固沙植物）1026 万亩，成活率已经达到 90%．下列说法正确的是（ ）
种植 10 棵梭梭，一定有 9 棵成活B．种植 9 棵梭梭，一定有 1 棵成活
种植 1 棵梭梭，一定不能成活D．种植 1 棵梭梭，不一定能成活
命题透视
核心考点：概率的意义与随机事件
命题分析：
情境创设：以阿拉善盟人工种植梭梭、成活率达到 90%为背景。
问题设计：给出成活率，判断关于种植结果确定性的说法。
考查目标：考查概率意义，理解随机事件与大量重复试验的关系。
答案与解析
【答案】D
【分析】考查概率的意义．概率表示事件发生的可能性大小，不代表确定性结果．成活率 90%意味着成活的可能性很大，但具体到每一次种植，结果是不确定的．
【详解】解：∵成活率 90%表示在大量重复试验中，成活的可能性为 90%，属于随机事件，并非必然事件或不可能事件
．∴种植 10 棵梭梭，不一定有 9 棵成活，故 A 错误；种植 9 棵梭梭，成活数量不确定，故 B 错误；
种植 1 棵梭梭，可能成活也可能不成活，故 C 错误，D 正确．
知识总结
①核心概念：概率表示事件发生的可能性大小，不是确定性结果。②解题方法：成活率 90%指大量种植时约 90%成活，单次种植结果不确定。③拓展：频率与概率的关系，用频率估计概率。
矩形是常见的几何图形，数学中经常利用矩形组成的图形中的面积关系来说明代数恒等式，给出以下 3
组图形和 3 个代数恒等式：
其中，各组图形的面积关系能正确说明其下方代数恒等式的有（ ）
A．3 个B．2 个C．1 个D．0 个
命题透视
核心考点：整式乘法公式的几何验证
命题分析：
情境创设：以矩形面积关系说明代数恒等式为背景。
问题设计：给出三组图形与三个恒等式，判断能正确说明代数恒等式的个数。
考查目标：考查数形结合与抽象能力，理解乘法公式的几何意义。
答案与解析
【答案】A
【分析】分别计算三个图形中不同部分的面积，利用面积相等建立等式，即可判断对应的代数恒等式是否
成立．
【详解】解：对于第 1 组图形：大矩形的长为 + + ，宽为，面积为( + + )；它由三个小矩形组成，面积分别为、、；
∴ ( + + ) = + + ，故第 1 个恒等式正确；
对于第 2 组图形：左上角正方形的边长为 − ，面积为( − )2；大正方形的面积为2，减去两个长为、宽为的矩形面积 2，由于右下角边长为的小正方形被减了两次，需加回2；
∴ ( − )2 = 2 − 2 + 2，故第 2 个恒等式正确；
对于第 3 组图形：大正方形面积为2，左下角小正方形面积为2，剩余部分面积为2 − 2；剩余部分可分割为两个矩形，一个长为、宽为 − ，另一个长为、宽为 − ，面积和为( − ) + ( − ) = ( + )( −
)；
∴ 2 − 2 = ( + )( − )，故第 3 个恒等式正确；综上所述，能正确说明代数恒等式的有 3 个．
知识总结
①核心概念：分配律 m(a+b+c)=ma+mb+mc，完全平方公式(a-b)²=a²-2ab+b²，平方差公式
a²-b²=(a+b)(a-b)。②解题方法：用整体面积等于各部分面积之和验证。③拓展：代数恒等式的几何解释在因式分解与面积问题中广泛应用。
填空题
化简：−1 − 1 =．
−2−2
命题透视
核心考点：同分母分式的化简
命题分析：
情境创设：直接给出分式运算式。
问题设计：要求化简(x-1)/(x-2)-1/(x-2)。
考查目标：考查分式加减运算能力。
答案与解析
【答案】1
【分析】本题考查同分母分式的化简，利用同分母分式减法法则，分母不变，分子相减，再约分即可得到
结果．
【详解】解∶原式= (−1)−1 = −2 = 1．
−2−2
知识总结
①核心概念：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。②解题方法：分子相减得(x-1)-1=x-2，再约分。③拓展：分式化简中注意因式分解与约分条件。
如图，等边三角形纸片的边长为 10，点，分别为，边上的点．将∠沿折叠，若点
恰好落在该纸片边的中点处，则四边形的周长是．
命题透视
核心考点：折叠的性质与等边三角形
命题分析：
情境创设：以等边三角形纸片折叠为背景。
问题设计：将三角形沿 EF 折叠，使点 A 恰好落在 BC 边中点 D 处，求四边形 EBDF 的周长。
考查目标：考查折叠性质、三线合一、三角形中位线及推理能力。
答案与解析
【答案】20
【分析】连接交于点 O，由三线合一得∴ = = 1 = 5， ⊥ ．由折叠的性质可知， = ，
2
= ， = ， ⊥ ，可得 ∥ ，由平行线分线段成比例求出 = = 1 = 5, = =
2
= 1 = 5，再根据三角形中位线的性质求出 = 1 = 5 即可求解．
2
2
【详解】解：如图，连接交于点 O，
∵△ 是等边三角形，边长为 10
∴ = = = 10，
∵点是边的中点
∴ = = 1 = 5， ⊥ ．
2
由折叠的性质可知， = ， = ， = ， ⊥ ，
∴ ∥ ，
∴ = = = 1，
∴ = = 1 = 5, = = = 1 = 5，
2
2
∴ = 1 = 5，
2
∴四边形的周长= + + + = 5 + 5 + 5 + 5 = 20．
知识总结
①核心概念：折叠前后对应边相等、对应角相等；等边三角形三线合一；三角形中位线平行于第三边 且等于一半。②解题方法：连接 AD，利用折叠与三线合一证明 EF∥BC，再由比例关系得各线段长。③拓展：折叠问题常结合对称、勾股定理、相似求解。
11．对于一次函数 = ( + 1) − （是常数，且 ≠− 1），下列结论：
①点(1,1)在此函数图象上；
②当 = 1 且 < 0 时， < 1；
2
③当 < 0 时，随的增大而减小．
其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）
命题透视
核心考点：一次函数的图象与性质
命题分析：
情境创设：以一次函数 y=(k+1)x-k 为载体。
问题设计：判断关于函数图象上点、函数值正负区间、增减性三个结论的正确性。
考查目标：考查一次函数参数讨论、增减性与点坐标的判断。
答案与解析
【答案】①②
【分析】对三个结论逐一验证判断，①将点的横坐标代入函数解析式，计算纵坐标验证，②代入的值得到函数解析式，解不等式判断结论，③根据一次函数的增减性与一次项系数的符号关系判断结论．
【详解】解：对于①，将 = 1 代入 = + 1 − ，得 = + 1 × 1 − = + 1 − = 1，所以点 1,1
在此函数图象上，故①正确．
对于②，当 = 1 时，函数解析式为 = 1 + 1 − 1 = 2 − 1，当 < 0 时，得不等式 2 − 1 < 0，移项得
2 < 1，系数化为 1 得 < 1，故②正确．
2
对于③，一次函数 = + 1 − 的增减性由一次项系数 + 1 决定，当 < 0 时，若−1 < < 0，则 + 1 > 0，此时随的增大而增大，只有当 + 1 < 0 即 0还是 78.9，B 产品的最终得分更高，
∴建议公司选择 B 款产品．
知识总结
①核心概念：众数、中位数、加权平均数。②解题方法：排序找众数和中位数；按权重比例计算加权平均分。③拓展：统计决策中需根据数据特征选择合适统计量。
某超市的一部货运电梯的额定载重量为 1000 千克，甲、乙两位搬运师傅用这部电梯搬运货物上楼，两
位师傅每次都和货物一起乘梯，已知甲、乙两位师傅的身体质量分别为 75 千克和 65 千克．（不考虑空间因素）
现有一批货物质量共 3000 千克，两位师傅要把这批货物搬运完，至少需要多少次？请说明理由；
若该超市购进大量 A，B 两种货物，A 种货物每箱的质量为 100 千克，B 种货物每箱的质量为 80 千克．为了尽快搬运上楼，这两位师傅决定满载搬运，有哪几种满载搬运的搭配方案？
命题透视
核心考点：一元一次不等式与二元一次方程整数解
命题分析：
情境创设：以超市货运电梯满载搬运货物为背景。
问题设计：（1）用不等式求最少搬运次数；（2）列方程求非负整数解的搭配方案。
考查目标：考查方程与不等式建模及实际问题解决能力。
答案与解析
【答案】(1)至少需要 4 次，理由如下：
设至少需要次，由题意得： 1000 − 75 − 65 ≥ 3000，
解得 ≥ 3 21，
43
∵为正整数，
∴取 4，
答：两位师傅要把这批货物搬运完，至少需要 4 次；
(2)共有 2 种满载搭配方案：方案一：A 种货物 3 箱，B 种货物 7 箱；方案二：A 种货物 7 箱，B 种货物 2
箱
【分析】（1）设至少需要次，根据“次搬运的货物总质量大于等于货物总质量” 建立不等式求解即可；
（2）设搬运 A 种货物箱，B 种货物箱，（, 为非负整数），根据题意建立二元一次方程，然后求其非负整数解即可．
【详解】（1）略
（2）解：设搬运 A 种货物箱，B 种货物箱，（, 为非负整数）由题意得，100 + 80 + 75 + 65 = 1000，
化简得：5 + 4 = 43，
∵, 为非负整数，
∴解得 = 3 或 = 7 ，
= 7 = 2
因此共有 2 种满载搭配方案：方案一：A 种货物 3 箱，B 种货物 7 箱；方案二：A 种货物 7 箱，B 种货物 2
箱．
知识总结
①核心概念：实际问题中不等关系与等量关系；非负整数解。②解题方法：第(1)问扣除人重后建立不等式；第(2)问列 100m+80n+75+65=1000，求非负整数解。③拓展：整数解问题常需枚举验证。
已知△ 是⊙ 的内接三角形，半径与边相交于点．
如图 1，连接，若∠ = 15°，∠ = 40°，求∠的度数；
如图 2，点是线段延长线上一点，连接．
①若∠ = ∠，求证：∠ = 2∠；
②在①的条件下，若 = ，试判断线段与线段的位置关系，并说明理由．
命题透视
核心考点：圆周角定理、相似三角形与垂直关系
命题分析：
情境创设：以圆内接三角形为背景。
问题设计：（1）求∠ADB 的度数；（2）证明∠ACB=2∠CAB；（3）判断 OB 与 BE 的位置关系。
考查目标：考查圆的性质的推理能力与分类讨论。
答案与解析
【答案】(1)∠ = 95°；
(2)①证明：连接，
∵- = -，
∴∠ = 2∠，
∵ = ，
∴∠ = ∠，
∵∠ = ∠，
∴∠ = ∠，
∵∠ = ∠，
∴△ ∽△ ，
∴∠ = ∠，
∴∠ = 2∠，即∠ = 2∠；
② ⊥ ，理由如下：
∵ = ，
∴∠ = ∠，
设∠ = ∠ = ，
∴∠ = 2，
∴∠ = 2∠ = 2，∠ = ∠ − ∠ = ，
∵ = ，
∴∠ = ∠ = 1
2
180° − ∠ = 90° − ，
∴∠ = ∠ + ∠ = 90° − + = 90°，
∴ ⊥ ．
【分析】（1）利用圆周角定理和三角形的外角性质求解即可；
（2）①连接，利用圆周角定理结合等边对等角，得到∠ = ∠，再证明△ ∽△ ，可推出
∠ = ∠，即可得到∠ = 2∠；
②设∠ = ∠ = ，求得∠ = ∠ + ∠ = 90° − + = 90°，即可得到 ⊥ ．
【详解】（1）解：∵∠ = 40°，
∴∠ = 2∠ = 80°，
∵∠ = 15°，
∴∠ = ∠ + ∠ = 95°；
（2）①略
②略
知识总结
①核心概念：圆周角定理、等边对等角、相似三角形判定与性质。②解题方法：利用圆心角与圆周角关系、三角形外角、相似三角形对应角相等。③拓展：圆中角度问题常需连接半径构造等腰三角形。 17．综合与探究
问题情境：有一张边长为 15 的正方形纸片，将一张腰长为 9 的等腰直角三角形纸片的直角顶点与顶点 A 重合放置，记该三角形为△ ．顶点 E，F 分别在正方形的，边上，如图 1．现将△ 绕点 A按逆时针方向旋转角，其中 0° < < 90°，得到△ ′′，连接′，′，如图 2．
初步探究：猜想线段′与线段′的数量关系，并说明理由；
深入探究：在△ 绕点 A 按逆时针方向旋转过程中，当′与′互相垂直时，′交边于点 M，′′
交边于点 N，如图 3．
①求证 ⋅ ′= ⋅ ′；
②求△ 与△ 面积的比值．
命题透视
核心考点：旋转的性质、正方形与相似三角形
命题分析：
情境创设：以正方形纸片与等腰直角三角形旋转为综合探究情境。
问题设计：（1）猜想 BE'与 DF'的数量关系；（2）证明 NA·NF'=ND·NE'；（3）求△AEM 与
△AFM 面积的比值。
考查目标：考查旋转、全等、相似、几何推理与探究能力。
答案与解析
′
②过点作 ⊥ 交′的延长线于点，先求出′=2 − 2 = 12，然后证明△ ∽△ ′，求
【分析】（1）证明△ ′≌△ ′ SAS 即可；
（2）①证明′∥ ′，再由平行线分线段成比例定理求解即可；
3
②4
∴ ⋅ ′= ⋅ ′；
′
′
∴=，
【答案】(1)′= ′，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴ = , ∠ = 90°，
∵ = , ∠ = 90°，
∴由旋转可得，′= ′, ∠′′= 90°，
∴∠ = ∠′′ = 90°，
∴∠′ = ∠′，
∴△ ′ ≌△ ′ SAS ，
∴′= ′；
(2)①证明：∵′ ⊥ ′，
∴∠′ = 90°，
由（1）可得，△ ′ ≌△ ′，
∴∠′ = ∠′ = 90°，
∵∠′′= 90°，
∴∠′′+ ∠′ = 180°，
∴′∥ ′，
出 = 27，再由△ ∽△ ，得到 = = 4，再由共高三角形面积比等于底之比求解即可．
4
【详解】（1）略
3
（2）解：①略
②过点作 ⊥ 交′的延长线于点，
由题意得， = 15, ′ = = 9，
∵∠′ = 90°，
∴′
2
=2 − ′
= 12，
∵正方形中，∠ = 90°，
∴∠1 = ∠3 = 90° − ∠2，
∵∠ = ∠′ = 90°，
∴△ ∽△ ′，
∴ = ，
′′
∴ = 9 ，
912
∴ = 27，
4
∵∠ = ∠ = 90°，
∴ ∥ ，
∴△ ∽△ ，
∴ = = 9
= 4，
273
4
∴△ = = 4，
△3
即△ 与△ 面积的比值为4．
3
知识总结
①核心概念：旋转前后对应边相等、对应角相等；全等三角形判定 SAS；相似三角形对应边成比例。②解题方法：证明△BAE'≌△DAF'；利用平行线分线段成比例；通过相似求面积比。③拓展：旋转问题中常构造全等或相似，利用“共顶点、等线段”寻找旋转中心。
18．综合与实践
下面呈现的是项目式学习的部分学习过程，请你一起参与并完成相应的任务．
项目名称
为学校操场主席台遮阳棚设置灯带
如图是某学校操场上坐南朝北的主
席台，由地台（长方体）、四根立柱、
遮阳棚组成．从侧面看，遮阳棚由
两条抛物线形线条组成，从正面看，
问题
上方有一矩形，其一边与地台的长
情境
度相同．项目式学习小组想为该矩
形四周设置灯带，测量了地台的长
度，在测量矩形另一边的长度时遇
到了困难，需要解决．
查找图纸：立柱 = 5m，? = 7m，两根立柱与?之间的距离? = 8m．点
是过点，的抛物线的最高点，地台高
= 1m，立柱?到地台前边缘的距离
? = 2m．
收集
查阅资料：小组通过查阅资料知道本地
信息
春分日正午太阳光线与地面夹角的度数
为 49°．
实地测量：在太阳光下遮阳棚顶点的影子落在操场上的点处，测得影长 =
7.5 m．
任务一：请你根据“智慧”小组建立的平面直角坐标系，求过点，，的抛物线的函数表达式；
任务二：请你求出矩形另一边的长度．
（参考数据：sin49° ≈ 0.75，cs49° ≈ 0.66，tan49° ≈ 1.15）
命题透视
核心考点：二次函数建模与解直角三角形
命题分析：
情境创设：以学校操场主席台遮阳棚设置灯带为项目式任务。
问题设计：（1）根据智慧小组建立的坐标系求过 E、F、N 三点的抛物线函数表达式；（2）求矩形另一边的长度 MN。
考查目标：考查项目式学习中的信息提取、模型建立与综合应用。
答案与解析
【答案】(1) =− 1
32
+ 8 2 + 7
(2)0.75m
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）连接，可得 −10,0 ，然后求出 −10, 55 ，再解 Rt △ 即可．
8
【详解】（1）解：由题意得，顶点 −8,7 ， 0,5 ，
说明：①测量时间为春分日正午；
②点，，，，，，?，，，在同一竖直平面内；点，，，在同
一竖直方向上，点，，在同一水平线
抽象
上；
模型
③各组选取不同的点作为坐标原点建立
平面直角坐标系解决问题．如图为“智慧”小组以点为原点，所在直线为轴，
所在直线为轴建立的平面直角坐标
系．
…
…
答：矩形另一边的长度为 0.75m．
8
∴ = − − = 8.625 − 55 − 1 = 0.75 m ．
在 Rt △ 中，∠ = 49°， = 7.5m，
∴ = × tan∠ = 7.5 × 1.15 = 8.625 m
8
∴ −10, 55 ，
8
32
32
∴将 =− 10 代入 =− 1 + 8 2 + 7，则 =− 1 × −10 + 8 2 + 7 = 55，
∵? = 2m，? = 8m，
∵ = ? + ? = 2 + 8 = 10 m ，
∴ −10,0 ，
（2）解：连接，由题意可得，，，共线，
32
∴过点，，的抛物线的表达式为 =− 1 + 8 2 + 7；
32
代入点 0,5 得，64 + 7 = 5，解得 =− 1 ，
∴设过点，，的抛物线的表达式为 = + 8 2 + 7 ≠ 0 ，
知识总结
①核心概念：用待定系数法求抛物线表达式；解直角三角形；影长与太阳高度角关系。②解题方法：由顶点设 y=a(x-h)²+k，代入点求 a；连接 AN，求 N 点纵坐标，再用 tan49°求 BM，最后求 MN。③拓展：项目式问题需分步提取有效信息，建立坐标系与函数模型。