2025年中考数学真题完全解读（内蒙古卷）

这是一份2025年中考数学真题完全解读（内蒙古卷），共32页。试卷主要包含了覆盖面广，难度分层，紧扣课程标准，突出素养导向，模拟训练，查缺补漏等内容，欢迎下载使用。
本套试卷面向内蒙古自治区初中学业水平考试，其整体结构安排得非常合理，紧密贴合了《中考评价体系》和《课程标准》对初中数学的具体要求。试卷中包含了18道试题，总分为100分，考试时间为90分钟。这样的设置是新课改的一次创新，在题目的结构和考查角度上也进行了创新和改进。试题从选择题开始，逐步过渡到填空题，最后是解答题，层次清晰，逐步深入。试题重点考查学生对基础知识的掌握、运算技能的熟练程度、思维方式的灵活性以及综合应用能力的强弱。这份试题是首次内蒙古自治区统一命题，更加符合新时代对数学素养和综合能力的要求。这不仅需要学生具备扎实的基础知识，还需要他们具备较强的理解问题的能力、分析问题的能力以及解决问题的能力。
整体而言，命题思路紧扣要求：既考查学生对基础知识、基本技能的掌握，又融入了对思维能力和应用能力的考查。不少题目充分关注学生对“数与代数”“图形与几何”“概率与统计”“综合与实践”等内容的理解与运用。如选择题第 8 题借助反比例函数的变化规律考查函数性质，填空题第 11 题运用三角函数解决实际测量问题，皆与新课标倡导的“情境创设、实践应用”相契合。题目类型涵盖了函数、不等式、平面几何、统计与概率等知识点，覆盖面较为全面，有助于区别不同层次学生的学习情况。
本试卷依然重视对计算与逻辑推理能力的综合考查，但也有如下显著特点：一是题目的叙事情境更加贴近学生生活，如冰糖葫芦、无人机测量、智慧农业机械手等素材均较为鲜活，能够激发学生的阅读兴趣与应用意识；二是对图形变换与相似、位似等概念的考核力度较往年略有提升，深化了对核心概念及思维灵活性的考察；三是解答题部分继续保留综合型大题的设计，但结构更为清晰，步骤指引性更强。整体难度分布合理，前端试题注重基础，中段与后段试题兼顾综合与灵活运用，学生要想获取高分，需要在强化计算与读图能力的基础上，深入理解数学本质。
总体来看，该试卷非常契合当前教学改革方向，能够有效衡量学生达成课程目标的程度及其关键素养的发展水平。
题型多样，循序渐进
试卷分为选择题（8 题）、填空题（4题）和解答题（6 题），难度呈阶梯状分布，以保证不同层次学生的区分度。选择题注重对基础概念和计算技巧的快速考查，形式简洁，涵盖了实数运算、几何识别、概率初步、一次、二次及反比例函数等内容。填空题较好地衔接了基础与综合，试题多涉及几何计算和函数模型，要求学生具备较强的运算能力和逻辑推理能力。解答题部分则侧重考查综合思维、创新意识和数学应用能力，包含了基础计算、统计、方程应用题、圆以及函数综合与几何变换等命题方式。
与地区往年试卷相比的差异
相较于往年本地区中考数学试卷，本卷更注重情境化与跨学科融合。如结合“碳中和”概念设置数据分析题，或借助蒙古包构造立体几何模型，更贴近学生的生活实际与民族文化背景。此种命题风格体现了新课标对于学生“量感”与“应用意识”的培养目标，鼓励学生在现实场景中进行科学探究。
1.覆盖面广，难度分层
试卷卷题目在考查运算技能与公式记忆的同时，更注重学生对关键概念的内化理解和运用。例如在函数类题目中，学生不仅要掌握正比例函数、反比例函数的图像特征，还需运用函数思想来解决最优路径、动态变化等问题，体现了对“量感”和“函数思维”的关注。
本卷涵盖了初中数学的主要知识板块，如正负数表示、不等式组、分式运算）、正比例函数、中心对称图形、位似变换、矩形性质与中位线、平行线与角平分线、圆综合。频数分布表、概率计算。代数式表示、解直角三角形、机器人工作效率）。
2.紧扣课程标准，突出素养导向
试卷在命题过程中积极践行《课程标准》中对“数学核心素养”的要求，尤其突出以下几点：
①强调数形结合以及几何直观的思维能力，如在平面几何及坐标几何的压轴题中，通过旋转、对称、直角三角形和相似三角形等知识的融合，考查学生对图形性质的理解；
②注重模型思想与实际应用，如电流与电阻反比例函数、传统小吃理解数量关系进价优化、学生的视力健康状况抽样统计等，鼓励学生体验数学与真实生活的关联；
③能够明显看出命题对于《义务教育数学课程标准》所强调的“基础知识覆盖、综合运用能力、数学思维品质”等核心理念做出了有效落实。对几何变换、勾股定理应用做了多层面考查。
契合地区学情，重视演算训练与思维引导相结合
内蒙古地区的初中教学注重学生对基础知识与技能的扎实掌握，同时也鼓励表达、思辨能力的培养。本套试卷在计算量上适中，理数与无理数的运算（如对正负数的理解与使用）、平面几何中的中心对称与相似变换、一元一次不等式组、函数的性质及应用（如正比例函数、反比例函数）、平行四边形与矩形的性质、三角函数在几何中的应用、以及概率与统计等。这些特征与地区教学实际相吻合，有利于学校在日常教学中重视演算训练与思维引导相结合。命题兼顾了地区的学情与校情，使得不同水平的学生都能在基础题上获得合理分值，同时有一定开放性与挑战性题目帮助区分高分段与中等生。
1.教学层面
教师在教学过程中应在夯实基础知识的同时，引导学生深入理解课本中函数、几何、统计等基础概念的内在联系，提升综合解题能力。注重培养学生运用数学语言描述和解决生活、生产实际问题的思维品质，做到既能在日常作业与检测中落实“双基”，又能通过主题式项目探究引领学生的思维提升和学习兴趣发展。本套试卷综合性强、覆盖面全、难易度分布合理，对各校教师制订教学复习方案具有很好的参考价值，也能有效检验学生的知识掌握与综合思维运用水平
2.能力培养
试卷在多处情境中引入生活实例和现代科技元素，如“冰糖葫芦山楂数量”“机器人机械手采摘”以及“视力健康统计”等，既与课程标准的实践应用理念呼应，也关照了学生的兴趣点，培养他们运用数学知识解决实际问题的能力。
综上所述，2025 年内蒙古自治区初中学业水平考试数学试卷紧扣课程标准，稳中有新，能够通过对基础知识与综合能力的兼顾，较好地检测学生在义务教育阶段的数学学习成效；对培养学生理性思维和数学素养具有积极推动作用，也为后续高中阶段的数学学习奠定了坚实基础。

题型构成保持稳定
与往年各地区试卷相比，整卷依旧分为选择题、填空题和解答题三大板块，题目数量与分值分布（8道选择题、4道填空题、6 道解答题，总计 100 分）题量，答卷时间发生明显变化。
考查情境更贴近生活
注重生活情境，如冰糖葫芦、蒙古包或本地民俗等，都体现了命题方在“校情”与“学情”上的考量。生活实践，在题材上贴近学生的日常体验试题（如第 1、7、 题）在几何测量、函数应用等内容中融入真实情境，如湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量等，要求学生在理解和建模的基础上进行计算与推理，进一步提升了对数学应用能力的考查深度。

1.知识融合度与综合性提升
试题在几何与函数、统计与概率等板块中出现更多综合题目，体现了多知识点的交叉，如第 20、22、23 题中将一次函数、二次函数、相似与旋转等元素结合，要求学生在解题过程中多角度综合运用所学知识。
2.对学生思维与能力的新要求
题目更加注重探究与应用，鼓励学生对问题情境进行分析与抽象，及时转化为数学表达式或几何模型，并借助数据或几何性质精确推理。这要求学生不仅掌握基础概念与公式，还需具备较强的逻辑思维、建模能力和运算推理能力。
综上可见，本套试卷虽题型结构未变，但在情境设置、知识交叉及应用深度方面有所加强，更强调考生综合运用数学工具解决真实情境问题的能力。
一、整体结构
本套试卷共包含 18小题，分为三大题型：
选择题（第 1～8 题）：每题 3 分，共 8题，合计24分，约占 24%；
填空题（第 9～12 题）：每题 3 分，共 4，合计 12 分，约占 12%；
解答题（第 13～18 题）：共 6 题，合计64 分，约占 64%。
总分为 100 分，考试时长90 分钟。
试卷整体涵盖代数、几何、统计与概率、函数与图形变换等多方面的基础知识与综合应用，题目布局由易到难，能够较全面地考查考生对初中数学知识的理解和运用能力。
二、考情分析（表格形式）
下表列出了全卷各题目的分值、题型、主要考查内容以及难易程度，便于在宏观上了解各知识点的分布和考核方式。
三、整体难度评估
试卷难度
通过题型和题目的综合分析，全卷难度分布大致如下：
容易题约占 5 道（占比约 33%）；
中等题约占9 道（占比约56%）；
较难题约占 2 道（占比约11%）。
这种难度配置符合初中学业水平考试的命题规律，即保证大部分学生能通过基础题拿到稳定分数，同时利用中档题和少量的较难题对学生综合能力进行区分。
不同难度层级题目特点举例
容易题（如第 1 题、第2 题）：这类题目往往直观简单，或只需直接套用定义或常见性质（如正负数表示、中心对称的判断）即可得出结论。测试学生对基本概念或必备知识的掌握情况。
中等题（如第 4题、第5题、）：一般需要至少两步或多步推理，涉及几何性质或函数性质的综合运用，如位似变换、矩形及三角形中位线等，考查学生综合解题能力，同时也考查知识迁移。
较难题（如第 17、18题）：多属于综合性较强的几何或代数综合问题，可能需要多重几何定理、函数思想相结合进行繁琐推理，或需要学生在特定情境下综合运用高中阶段衔接知识，测试了学生的综合分析与创新思维能力
综上，本试卷结构合理、题型多样，既能考查学生对数学基础知识的掌握，也能测评学生的综合运用能力和逻辑思维水平。建议同学们巩固基础、加强中等难度题目的练习与综合运用，对于较难题，应注重理清思路、循序渐进地运用多重性质求解。
备考指津
1.回归教材，夯实基础
重新梳理七、八、九年级数学核心概念与公式，确保以下基础知识熟练掌握：
正负数的运算与数轴上的表示；
平面几何中的三角形、四边形（尤其是平行四边形、矩形、菱形、梯形）的基本性质；
一元一次方程(组)、不等式(组)的求解与数轴表示；
二次函数（尤其是反比例函数、正比例函数）的图象与性质；
解直角三角形及特殊角对应的三角函数值；
常见概率与统计图表的解释、计算等。
针对易混知识点，如“中心对称图形与轴对称图形的区别”、“中位数与平均数的概念”等，要及时整理错题，形成纠错本。
2.专项提升，强化综合能力
以平行四边形、菱形等图形性质为切入点，熟练掌握折叠、旋转、平移等变换技巧。例如，菱形对角线的垂直平分特性、折叠后的全等与相似三角形判定等。
关注二次函数与几何结合、函数与实际生活应用题（如电学中电流-电压正比例关系）的综合解题思路，训练将文字叙述转化为代数式或坐标系下图象分析的能力。
对概率与统计，重点练习如何利用样本数据推断总体，计算中位数、众数以及利用频数分布表、频率分布直方图作出合理判断。
3.模拟训练，查缺补漏
选取模拟题或历年真题，进行限时测试，检验解题速度与准确度。
及时总结做题过程中暴露的短板，例如“某种函数类型不熟练”或“空间想象力不足”等，针对性查漏补缺。
做完试题后，要强化反思与改错：对每道错题，再次深挖出错原因，整理到错题本，形成二次知识巩固。
面对即将到来的中考数学考试，考生需要在扎实掌握基础知识的前提下，提升应试技巧与心理素质。结合本套试卷的考查要点和典型题型特点，特提出以下复习规划与应试建议，供同学们参考。
数与代数
注重对整式、分式及其运算规律的梳理。特别是整式运算中的合并同类项、分式运算中的分母因式分解等，需反复演练，保证规范书写和有序计算。解决好方程（分式方程、一元一次方程）的解法
对于二次函数要重点掌握抛物线的顶点坐标、开口方向、对称轴以及图像与系数的关系。熟悉 y=ax2+bx+c 在应用题中的建模方法，例如利用三次测量数据求解a,b,c。
反比例函数 y=kx 的图像与性质要熟记，通过待定系数法确定 k 的值，同时要能结合实际情境（如电阻与电流）灵活运用。
对特殊角与三角函数的综合应用亦需重点关注。
2.空间与图形
围绕平行线性质判定，三角形与四边形：重视菱形、矩形、正方形、平行四边形等的判定与性质，对角线的特征和全等三角形或相似三角形的应用。尤其是要灵活使用勾股定理 a2+b2=c2并运用辅助线能构造直角三角形、三角形中位线定理、等腰与等边三角形性质来解决综合题。
圆的知识：熟悉与圆相关的常见辅助线作图，如连接圆心与切点。圆的相关性质与计算，涉及切线的性质，弧长的计算，以及等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含角的直角三角形的性质，三角函数，强化作图与定理推演。需刻意联系生活实例，如圆的切线、弧长、角度求解、几何综合。几何应用题中常见“折叠”或“旋转”“对称”场景，可能进一步深化，如与坐标结合、与三角函数结合等
3.统计与概率
熟悉频数分布、中位数、估计总体、合理化建议
概率基础要扎实，古典概型中的基本原理。清楚 P(事件)=有利结果数总结果数 的含义，并学会在简单随机实验中列举所有等可能结果。
选择题
熟读题干，分析选项差异，多留意选项中容易混淆的符号或数据，如少号、多号等细节。在拿捏不准的选项上，先用“排除法”对选项进行排除，然后再运用计算和关键性质验证；
对于几何选择题，常常先画草图，比较各选项的合理性；对数值拟合出的选项，也可使用特殊值或代入检验法。
填空题
注意答题卡填写的规范性。若涉及部分分式、根式或坐标答案，一定要写完整，如 2、mn 等。注重解题过程的严谨性，保证最后的结果在简单形式或约定形式（如最简分数等）下表达。
若题目中出现需“四舍五入到0.1”或类似要求，必须在最后给出准确数值并附单位。
小心处理特殊角（如 30∘30∘, 45∘45∘, 60∘60∘）的三角函数值、勾股定理以及解方程的检验工作。
3.解答题
审题时先理清题目的已知条件、所求目标，并在草稿纸简明扼要地列举；规范使用几何辅助线，常用的如平行线、垂线、角平分线或中位线等；
答案呈现方面，要注意：文字叙述 + 重要结论（如相似、全等、特殊角值） + 公式推导。
及时标清每一步缘由，例如“因为 ∠A=∠B∠A=∠B（内错角相等），所以……”。若涉及函数解析式的求解，要注重代入点坐标，使用待定系数法写明方程并求解。
1.综合实践类题目或“阅读理解 + 信息提取 + 数学应用”模式将趋于常态化；
2.初中数学与物理、地理、生物等学科的跨学科应用题在试卷中所占比重或会有所提升，需要同学们具备跨学科思维与信息整合能力。
1.综合实践类题目或“阅读理解 + 信息提取 + 数学应用”模式将趋于常态化
以往中考题注重与生活相联系，如树高测量、工程应用、市场调研等真实场景。今年题目中明显包含了更多情境应用题，需继续关注社会热点和实际数据分析的题型。
2.几何应用题中常见“折叠”或“旋转”“对称”场景，可能进一步深化，如与坐标结合、与三角函数结合等；
题目往往涉及多知识点融合，比如在几何中穿插一次函数或二次函数、在统计或概率问题中嵌入方程或不等式求解等。要加强跨章节综合训练，形成系统思维。
3.关注基础与思维深度函数题侧重与实际情境相结合，如电路、电阻、经济模型、人口增长等，要求学生能读懂函数图象并通过简单函数建模来解决问题；
基础知识必考，如基本运算、几何定理和函数性质。命题人也会考查对数学思想方法（如分类讨论、转化与化归）的理解与应用。
建议在强化基础之余，提高对灵活运用数学思想的意识，必要时多做开放题或探究题，加深对所学知识的认识和理解。
4.初中数学与物理、地理、生物等学科的跨学科应用题在试卷中所占比重或会有所提升，需要同学们具备跨学科思维与信息整合能力。
真题解析
在最后的复习阶段，希望各位同学静下心来，脚踏实地打牢基础，对于上述不同知识块有重点地突破和巩固。此外，要在理解的基础上多加练习，提高运算准确率、规范答题步骤。坚信只要持之以恒，必能取得满意成绩。考生加油！祝大家在中考战场上脱颖而出！
2025年内蒙古自治区初中学业水平考试
数学
一、选择题（共8小题．每小题3分，共24分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 我国是历史上最早认识和使用负数国家．若盈利元记作元，则亏损元应记作（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查利用正负数表示具有相反意义的量，需根据题意确定相反意义的量及其符号表示即可．
【详解】解：若盈利元记作元，则亏损应用负数表示，
亏损元应记作元，
故选：B．
2. 下列汽车电子控制装置显示的图案中，是中心对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
根据中心对称图形的定义即可判断．
【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先解一元一次不等式组，再在数轴上表示即可．
【详解】解：，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的解集在数轴上表示是：
故选：C．
4. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点的位置是解题的关键．利用相似比为，，直接利用相似比可得出坐标．
【详解】解：∵与位似，相似比为，
∴，
∵，位似中心原点，
∴，
故选：B．
5. 如图，是一个矩形草坪，对角线，相交于点，是边的中点，连接，且，，则该草坪的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了矩形的性质和三角形中位线定理．根据三角形中位线定理得到，根据矩形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵是一个矩形草坪，对角线，相交于点，
∴，
∵是边的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴矩形的面积为，
故选：C
6. 如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，熟练掌握角平分线的作法和平行线的性质是解题的关键．由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解，
【详解】解：由作图可知，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
7. 在闭合电路中，通过定值电阻的电流（单位：A）是它两端的电压（单位：）的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为时，通过它的电流为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题的关键．
通过待定系数法求出电流关于电压的函数解析式，再将代入函数解析式即可求解．
【详解】解：由题意得设电流关于电压的函数解析式为：，
由图象可代入得：，
解得：，
∴，
当，则
故选：A．
8. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. 当时，D. 当时，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，分情况讨论的取值范围，比较和的大小关系即可．
【详解】解：对于反比例函数的图象上，在各个象限内，随的增大而增大，且第二象限的函数值大于第四象限的函数值，
∵，
当时，即时，
则，
当时，即时，
则，
当时，即时，
则，
综上，只有选项D正确，
故选：D．
二、填空题（共4小题．每小题3分，共12分）
9. 在单词（班级）中随机选择一个字母，则选中字母“”的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
利用简单事件的概率计算公式即可得．
【详解】解：单词中字母“”有2个，单词中总共有5个字母，
∴选中字母“”的概率，
故答案为：．
10. 冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了列代数式的运用，理解数量关系，掌握代数式表示数或数量关系的计算是关键．
根据“大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦”即可列代数式．
【详解】解：由题意得，山楂总个数用代数式表示为：，
故答案为：．
11. 如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为________（结果保留根号）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，平行线的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值及其相关解直角三角形是解题的关键．过点作于点，则，求出，，利用，得出，，相加即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，则，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
12. 如图，在菱形中，，对角线的长为，是的中点，是上一点，连接．若，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．连接，交于点，过点作于点，利用四边形是菱形，得出，，，得出，，即可证明，即可计算出，，求出，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，交于点，过点作于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共6小题，共64分）
13. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根，绝对值，还考查了分式的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）先化简绝对值和算术平方根，再进行计算即可；
（2）利用分式的乘法的运算法则化简即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
14. 每年的6月6日是全国爱眼日，某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，得到如下的频数分布表：
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）这40名学生视力的中位数落在哪个组内?
（2）该校八年级共有500名学生．
①根据上表数据，请估计这500名八年级学生的视力在范围内的人数；
②从去年同期这500名学生的体检结果中可知，视力在范围内的人数为263人．如果你是该校的一名学生，请说明这500名学生今年和去年视力在范围内的人数变化情况，并为学校提一条保护学生视力的合理化建议．
【答案】（1）组
（2）①200人；②合理即可
【解析】
【分析】本题考查了频数分布表，中位数，用样本估计总体等知识点，正确理解题意是解题的关键．
（1）由中位数的意义即可求解；
（2）①用样本估计总体的方法即可求解；②比较数据发现今年学生视力在范围内的人数相比去年减少，然后提出合理性的建议即可．
【小问1详解】
解：∵随机抽取了40名学生，
∴中位数为第名学生的视力的平均数，
由频数分布表可得第名学生在组，
∴这40名学生视力的中位数落在组；
【小问2详解】
解：①由题意得，（人）
答：500名八年级学生的视力在范围内有200人；
②因为，
所以今年学生视力在范围内的人数相比去年减少，
建议：①读书时，坐姿要端正，不要在光线不好的地方看书；②保证充足的睡眠，饮食均衡；③减少电子产品的使用（合理即可）．
15. 智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个．
（1）求的值；
（2）现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个?
【答案】（1）8 （2）至少需要6个这样的机器人
【解析】
【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据“一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个”建立分式方程求解即可；
（2）设需要个这样的机器人同时工作1小时，由总采摘量不少于10000个建立一元一次不等式求解．
【小问1详解】
解：由题意得，，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∴的值为8；
【小问2详解】
解：1小时，
设需要个这样的机器人，
由题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴最小值为6，
答：至少需要6个这样的机器人．
16. 如图，是的直径，半径，垂足为，，是延长线上一点，连接，交于点，连接，．过点作的切线，切点为，交的延长线于点．
（1）求的长；
（2）求的度数；
（3）求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查圆的相关性质与计算，涉及切线的性质，弧长的计算，还考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含角的直角三角形的性质，三角函数，熟练掌握相关性质与定义是解题的关键．
（1）连接，判定是等边三角形，得出，利用弧长公式求解即可；
（2）利用，求出，再利用，等边对等角即可求解；
（3）连接， 求出，即可得，利用是的切线，求出，，证明，再利用三角函数定义求解即可．
【小问1详解】
解：如图，连接，
在中，，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴的长；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴；
【小问3详解】
解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
17. 问题背景：
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示．
外形参数：
如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上．
问题解决：
如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：
（1）直接写出，，三点的坐标；
（2）直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式；
（3）为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长．
【答案】（1），，
（2）抛物线和的顶点坐标分别为，， 的表达式为；的表达式为；
（3）
【解析】
【分析】（1）由矩形性质可得，，，，即可得出坐标；
（2）由装置整体图案为轴对称图形，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，由矩形中，抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，即可得出抛物线和的顶点坐标分别为，，分别设抛物线和的表达式为，，分别将将和代入求解即可；
（3）由装置整体图案为轴对称图形，得出，，证明轴，设，则，，则，求得，由抛物线对称性可得．
【小问1详解】
解：∵矩形的边，，
∴，，，，
∴，，；
【小问2详解】
解：∵装置整体图案为轴对称图形，
如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，
结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，
∴，，
∴抛物线和顶点坐标分别为，，
分别设抛物线和表达式为，，
将代入，
解得，
则抛物线的表达式为；
将代入，
解得；
则抛物线的表达式为；
小问3详解】
解：∵装置整体图案为轴对称图形，
∴，，
∵轴，
∴轴，
∵是矩形，
∴，
∴轴，
∴，
设，
∴，，
∴，
解得：或（在对称轴右侧，舍），
∴，
由抛物线对称性可得．
【点睛】本题考查二次函数的图象与几何综合，矩形的性质，平面直角坐标系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
18. 如图，是一个平行四边形纸片，是一条对角线，，．

（1）如图1，将平行四边形纸片沿折叠，点的对应点落在点处，交于点．
①试猜想与的数量关系，并说明理由；
②求的面积；
（2）如图2，点，分别在平行四边形纸片的，边上，连接，且，将平行四边形纸片沿折叠，使点的对应点落在边上，求的长．
【答案】（1）①，理由略；②
（2）
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，勾股定理。熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）①由翻折得，，利用四边形是平行四边形，可证明，，再证明，即可求证；
②由，得，过点作于点，过点作于点，利用等腰三角形性质得，求出，可得，利用勾股定理求出，即可求解；
（2）过点作于点，连接交于点，过点作于点，由翻折的性质得，同（2）可得，利用，求出，可得，证明，得出，求出，证明，利用相似三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
解：①由翻折得，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
②由，
∴，
如图，过点作于点，过点作于点，

∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：过点作于点，连接交于点，过点作于点，

由翻折的性质得，
同（2）可得，
∴，
∴，
即，
得，
∴，
∵平行四边形中，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：．
题号
分值
题型
考查内容
难易分析
1
3
单选
一元一次不等式组（在数轴上表示解集）
容易
2
3
单选
中心对称图形的识别
容易
3
3
单选
一元一次不等式组（在数轴上表示解集）
较易
4
3
单选
位似变换基本性质
中等
5
3
单选
矩形的性质、三角形中位线定理
中等
6
3
单选
角平分线作图与平行线性质
中等
7
3
单选
正比例函数在物理（电学）中的简单应用
较易
8
3
单选
反比例函数的图象与性质
中等
9
3
填空
古典概型概率计算
容易
10
3
填空
代数式表示实际数量关系（冰糖葫芦的大串小串问题）
容易
11
3
填空
解直角三角形应用（俯角测距离）
中等
12
3
填空
菱形及其对角线性质、相似三角形与勾股定理
中等
13
3
解答
实数混合运算与分式运算
容易
14
3
解答
统计与概率（频数分布表、抽样估计总体）
中等
15
3
解答
分式方程与一元一次不等式的实际应用（采摘机器人问题）
中等
16
8
解答
圆与切线、特殊三角形综合（含弧长、切线性质等）
中等
17
8
解答
二次函数与几何综合（轴对称、抛物线方程、矩形组合）
较难
18
8
解答
平行四边形的折叠与几何综合（含相似、折叠作图、面积计算等）
较难
分组
A
B
C
D
E
人数（频数）
2
8
14
12
4