2026年内蒙古自治区中考数学试卷解析

这是一份2026年内蒙古自治区中考数学试卷解析，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）下列由字母A与B的创意图形结合产生的图形中，为轴对称图形的是（ ）
【分析】根据轴对称图形的定义，沿某条直线折叠后两侧能够完全重合的图形即为轴对称图形，逐一判断即可．
【解答】解：A选项图形沿中间竖直直线折叠后两侧能够完全重合，是轴对称图形；
B选项图形为螺旋状，无对称轴，不是轴对称图形；
C选项图形左右两侧不对称，不是轴对称图形；
D选项图形为汉字"食"的创意变形，无对称轴，不是轴对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查轴对称图形的识别，属于基础题．
2．（3分）小明买了4袋标准质量为450克的食品，他对这4袋食品的实际质量进行了检测，检测结果如下（用正数记超过标准质量的克数，用负数记不足标准质量的克数）：
其中最重的是（ ）
【分析】根据正负数的意义，分别求出每袋食品的实际质量，比较大小即可．
【解答】解：第一袋实际质量为450+2＝452（克），
第二袋实际质量为450+0＝450（克），
第三袋实际质量为450+1＝451（克），
第四袋实际质量为450+（−2）＝448（克），
因为452＞451＞450＞448，
所以最重的是第一袋．
故选：A．
【点评】本题考查正负数在实际问题中的应用，属于基础题．
3．（3分）如图，在平面直角坐标系中有一个"心形"图形，"心形"图形上的点H在格点上，若将该图形向上平移3个单位长度，则该图形上点H的对应点H′的坐标是（ ）
【分析】先确定点H的坐标，再根据平移规律"上加下减"求出平移后对应点的坐标．
【解答】解：由图可知，点H的坐标为（−2，−2），
将该图形向上平移3个单位长度，
所以点H的对应点H′的坐标为（−2，−2+3），即（−2，1）．
故选：D．
【点评】本题考查坐标系中点的平移，属于基础题．
4．（3分）如图，木工常用的直角曲尺的直角顶点A和其中一端点B分别在两条平行直线a和b上，若∠1＝127°，则∠2的度数是（ ）
【分析】根据平行线的性质和直角曲尺的直角关系求解．
【解答】解：因为直线a∥b，
所以∠1的同旁内角为180°−127°＝53°，
因为直角曲尺在A处的角为90°，
所以2＝90°−53°＝37°．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质与角的计算，属于基础题．
5．（3分）二次函数y＝x²−9的图象与x轴交于A，B两点，则线段AB的长是（ ）
【分析】令y＝0，解方程求出A、B两点的横坐标，再求距离．
【解答】解：令y＝0，得x²−9＝0，
解得x₁＝3，x₂＝−3，
所以A（−3，0），B（3，0），
所以AB＝3−（−3）＝6．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数与x轴交点及两点间距离，属于基础题．
6．（3分）已知压力F（单位：N）一定时，压强P（单位：Pa）与受力面积S（单位：m²）之间的函数关系式为P＝F/S．当S＝0.3m²时，P＝1800Pa，则压强P关于受力面积S的函数图象正确的是（ ）
【分析】先由已知条件求出F的值，确定函数关系式，再根据反比例函数的图象特征判断．
【解答】解：因为P＝F/S，当S＝0.3时，P＝1800，
所以F＝P·S＝1800×0.3＝540（N），
所以P＝540/S（S＞0），
这是反比例函数，图象为第一象限内的双曲线一支，
当S＝0.6时，P＝540/0.6＝900（Pa），
所以图象过点（0.6，900），且为下降的双曲线．
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的图象与实际应用，属于基础题．
7．（3分）阿拉善盟是内蒙古乃至全国防沙治沙的主阵地，截至2024年底，勤劳的阿拉善人累计人工种植梭梭（一种防风固沙植物）1026万亩，成活率已经达到90%．下列说法正确的是（ ）
【分析】根据概率的意义，成活率90%表示大量种植时成活的频率约为90%，但不能保证每次种植的具体结果．
【解答】解：成活率90%是大量统计下的频率，不能确定具体某次种植的结果，
A选项：种植10棵不一定恰好9棵成活，错误；
B选项：种植9棵不一定恰好1棵成活（且逻辑也不对），错误；
C选项：种植1棵有可能成活，错误；
D选项：种植1棵，不一定能成活，正确．
故选：D．
【点评】本题考查概率的意义，属于基础题．
8．（3分）矩形是常见的几何图形，数学中经常利用矩形组成的图形中的面积关系来说明代数恒等式，给出以下3组图形和3个代数恒等式：
m(a+b+c)＝ma+mb+mc；（a−b）²＝a²−2ab+b²；a²−b²＝（a+b）（a−b）
其中，各组图形的面积关系能正确说明其下方代数恒等式的有（ ）
【分析】逐一分析每组图形，看其面积关系是否能正确说明对应的代数恒等式．
【解答】解：第一组图形：大矩形长为a+b+c，宽为m，面积为m(a+b+c)；分成三个小矩形面积分别为ma、mb、mc，所以m(a+b+c)＝ma+mb+mc，正确；
第二组图形：边长为a的正方形减去两个长为a宽为b的矩形，再加上重叠部分b²，剩余部分为边长(a−b)的正方形，面积为(a−b)²＝a²−2ab+b²，正确；
第三组图形：边长为a的正方形减去边长为b的正方形，剩余L形面积为a²−b²；将其剪拼成长为(a+b)、宽为(a−b)的矩形，面积为(a+b)(a−b)，所以a²−b²＝(a+b)(a−b)，正确．
三组均正确．
故选：A．
【点评】本题考查用图形面积说明代数恒等式，属于中档题．
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
9．（3分）化简：(x−1)/(x−2) − 1/(x−2) ＝ 1 ．
【分析】根据同分母分式的减法法则求解．
【解答】解：原式＝(x−1−1)/(x−2)＝(x−2)/(x−2)＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查分式的化简，属于基础题．
10．（3分）如图，等边三角形纸片ABC的边长为10，点E，F分别为AB，AC边上的点．将∠BAC沿EF折叠，若点A恰好落在该纸片BC边的中点D处，则四边形EBDF的周长是 20 ．
【分析】根据折叠的性质得AE＝DE，AF＝DF，再利用等边三角形的性质和余弦定理求出AE和AF的长度，进而求四边形EBDF的周长．
【解答】解：因为△ABC是等边三角形，边长为10，
所以B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝10，
因为D是BC的中点，所以BD＝DC＝5，
由折叠性质可知AE＝DE，AF＝DF，
设AE＝DE＝x，则BE＝10−x，
在△BDE中，由余弦定理得：
DE²＝BD²+BE²−2·BD·BE·cs∠B，
即x²＝25+(10−x)²−2×5×(10−x)×(1/2)，
x²＝25+100−20x+x²−50+5x，
0＝75−15x，
解得x＝5，
同理可得AF＝DF＝5，
所以BE＝10−5＝5，CF＝10−5＝5，
在△AEF中，AE＝AF＝5，∠A＝60°，
所以△AEF是等边三角形，EF＝5，
所以四边形EBDF的周长＝EB+BD+DF+FE＝5+5+5+5＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查折叠问题与等边三角形的性质，利用余弦定理求边长是解题的关键，属于中档题．
11．（3分）对于一次函数y＝(k+1)x−k（k是常数，且k≠−1），下列结论：
①点（1，1）在此函数图象上；
②当k＝1且y＜0时，x＜1/2；
③当k＜0时，y随x的增大而减小．
其中正确的结论是 ①② ．
【分析】逐一验证每个结论．
【解答】解：①当x＝1时，y＝(k+1)×1−k＝k+1−k＝1，
所以点（1，1）在此函数图象上，正确；
②当k＝1时，y＝2x−1，
令y＜0，即2x−1＜0，解得x＜1/2，②正确；
一次函数的斜率为k+1，
当k＜0时，k+1可能为正（如k＝−0.5时，k+1＝0.5＞0），
也可能为负（如k＝−2时，k+1＝−1＜0），
所以y不一定随x的增大而减小，③错误．
故答案为：①②．
【点评】本题考查一次函数的图象与性质，属于中档题．
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，AC是它的一条对角线，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交AC于点E（异于点A），分别以点A和点E为圆心，大于1/2 AE长为半径，在直线AC的右上方画弧（两弧半径相等），两弧交于点M，连接BM，与AC交于点N，则BN的长为 4√5/5 ．
【分析】根据作图方法判断BM是AE的垂直平分线，再利用等腰三角形和坐标法求解．
【解答】解：以B为圆心，BA为半径画弧交AC于E，
所以BA＝BE＝2，即△ABE是等腰三角形，
因为BA＝BE，所以点B在AE的垂直平分线上，
又因为以A、E为圆心等半径画弧交于M，所以MA＝ME，点M也在AE的垂直平分线上，
所以直线BM就是AE的垂直平分线，
因此N是AE的中点，且BN⊥AC，
在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝AD＝4，
所以AC＝√(AB²+BC²)＝√(4+16)＝2√5，
因为BN⊥AC，在Rt△ABC中，由面积法：
S△ABC＝(1/2)·AB·BC＝(1/2)·AC·BN，
所以BN＝AB·BC/AC＝2×4/(2√5)＝4/√5＝4√5/5．
故答案为：4√5/5．
【点评】本题考查尺规作图的含义（垂直平分线）、矩形性质与面积法求高，属于中档题．
三、解答题（共6小题，共64分）
13．计算下列各题：
（1）对实数a，b定义一种新运算"⊕"：a⊕b＝a²+|a|−b²，其中a≠0，等式右边是实数运算．计算：(−5)⊕√5．
【分析】根据新运算的定义直接代入计算．
【解答】解：(−5)⊕√5＝(−5)²+|−5|−(√5)²
＝25+5−5
＝25．
【点评】本题考查新定义运算，属于基础题．
（2）已知多项式A＝x²−x+1，B＝x²−2x，求2A−B．
【分析】将A、B代入，去括号合并同类项即可．
【解答】解：2A−B＝2(x²−x+1)−(x²−2x)
＝2x²−2x+2−x²+2x
＝x²+2．
【点评】本题考查整式的加减运算，属于基础题．
14．（10分）AI技术的广泛应用，为各行各业带来了前所未有的变革．某公司要从A，B两款AI产品中选择一款进行本地部署，聘请五位专家对这两款产品从"信息处理速度""信息识别准确度""功能丰富程度"三个维度分别评分（每个维度满分100分）．
其中，五位专家对"信息识别准确度"评分情况为：
A款产品：73，70，70，75，77；
B款产品：70，69，70，75，76．
对每款产品每个维度评分的平均值作为该维度的得分，整理得到下表：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）请写出五位专家对A，B两款产品的"信息识别准确度"评分的众数和中位数，并以此判断哪款产品的信息识别准确度更高；
（2）如果公司将"信息处理速度""信息识别准确度""功能丰富程度"三个维度的得分按4:3:3的比例计算两款产品的加权平均数作为最终得分．请你以此为依据为公司选择产品提出合理建议，并说明理由．
【分析】（1）将数据排序后找众数和中位数，比较中位数判断准确度；（2）按权重计算加权平均数，比较大小给出建议．
【解答】解：（1）A款产品评分排序：70，70，73，75，77，
所以A款的众数为70，中位数为73；
B款产品评分排序：69，70，70，75，76，
所以B款的众数为70，中位数为70；
因为A款的中位数73＞B款的中位数70，
所以A款产品的信息识别准确度更高．
（2）A款产品的加权平均数＝(78×4+73×3+86×3)/(4+3+3)
＝(312+219+258)/10
＝789/10
＝78.9（分）；
B款产品的加权平均数＝(82×4+72×3+85×3)/(4+3+3)
＝(328+216+255)/10
＝799/10
＝79.9（分）；
因为79.9＞78.9，
所以建议公司选择B款产品．
【点评】本题考查众数、中位数和加权平均数的计算与应用，属于中档题．
15．（10分）某超市的一部货运电梯的额定载重量为1000千克，甲、乙两位搬运师傅用这部电梯搬运货物上楼，两位师傅每次都和货物一起乘梯，已知甲、乙两位师傅的身体质量分别为75千克和65千克．（不考虑空间因素）
（1）现有一批货物质量共3000千克，两位师傅要把这批货物搬运完，至少需要多少次？请说明理由；
（2）若该超市购进大量A，B两种货物，A种货物每箱的质量为100千克，B种货物每箱的质量为80千克．为了尽快搬运上楼，这两位师傅决定满载搬运，有哪几种满载搬运的搭配方案？
【分析】（1）每次电梯可载货物量＝额定载重量−两位师傅质量，用总货物量除以每次载货量，向上取整；（2）设A种货物a箱、B种货物b箱，列方程100a+80b＝860，求非负整数解．
【解答】解：（1）两位师傅每次乘梯，电梯剩余载货量为：
1000−75−65＝860（千克），
3000÷860＝3……420，
因为3次最多搬运3×860＝2580（千克）＜3000（千克），
4次最多搬运4×860＝3440（千克）≥3000（千克），
所以至少需要4次．
（2）设每次搬运A种货物a箱，B种货物b箱，
由满载搬运得：100a+80b＝860，
化简得：5a+4b＝43，
因为a、b为非负整数，
当a＝3时，b＝(43−15)/4＝7，符合题意；
当a＝7时，b＝(43−35)/4＝2，符合题意；
其他a值均不能使b为非负整数．
所以有两种满载搬运的搭配方案：
方案一：A种货物3箱，B种货物7箱；
方案二：A种货物7箱，B种货物2箱．
【点评】本题考查不等式的应用与二元一次方程的整数解，属于中档题．
16．（10分）已知△ABC是⊙O的内接三角形，半径OB与AC边相交于点D．
（1）如图1，连接OA，若∠OAC＝15°，ACB＝40°，求∠ADB的度数；
（2）如图2，点E是线段AC延长线上一点，连接BE．
若∠CDB＝∠OBC，求证：∠ACB＝2∠CAB；
②在①的条件下，若BE＝BA，试判断线段OB与线段BE的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）利用等腰三角形性质、圆周角定理和三角形内角和求解；（2）①利用等腰三角形和圆周角定理建立角度关系证明；②利用①的结论和等腰三角形性质判断垂直关系．
【解答】解：（1）因为OA＝OC（半径），
所以△OAC是等腰三角形，∠OCA＝∠OAC＝15°，
所以∠AOC＝180°−15°−15°＝150°，
由圆周角定理，∠AOB＝2∠ACB＝2×40°＝80°，
在等腰△OAB中，OA＝OB，
所以∠OAB＝∠OBA＝(180°−80°)/2＝50°，
所以∠CAB＝∠OAB−∠OAC＝50°−15°＝35°，
在△ABD中，∠ABD＝∠OBA＝50°，BAD＝∠CAB＝35°，
所以∠ADB＝180°−50°−35°＝95°．
（2）①证明：因为OB＝OC（半径），
所以△OBC是等腰三角形，∠OBC＝∠OCB，
设∠OBC＝∠OCB＝α，则∠CDB＝α，
在△BDC中，∠BDC+∠DBC+∠BCD＝180°，
因为D在OB上，所以∠DBC＝∠OBC＝α，
所以α+α+∠ACB＝180°，
即∠ACB＝180°−2α，
又因为∠BOC＝180°−2α（△OBC内角和），
由圆周角定理，BAC＝(1/2)∠BOC＝(180°−2α)/2＝90°−α，
所以2∠BAC＝2(90°−α)＝180°−2α＝∠ACB，
即∠ACB＝2∠CAB．
②OB⊥BE．理由如下：
由①知∠ACB＝2∠CAB，设∠CAB＝β，则∠ACB＝2β，
所以∠ABC＝180°−β−2β＝180°−3β，
又α＝90°−β（由①中∠BAC＝90°−α得），
所以OBC＝α＝90°−β，
因为BE＝BA，所以△ABE是等腰三角形，
因为E在AC延长线上，所以∠BAE＝∠BAC＝β，
所以∠BEA＝∠BAE＝β，
所以∠ABE＝180°−2β，
所以∠OBE＝∠ABE−ABC＝(180°−2β)−(180°−3β)＝β，
所以∠OBE+∠OBC＝β+(90°−β)＝90°，
即∠CBE+∠OBC... 等等，让我重新整理：
∠OBE＝ABE−∠ABO...
实际上：∠OBE＝∠OBC+∠CBE，
其中∠OBC＝90°−β，∠CBE＝∠ABE−ABC＝(180°−2β)−(180°−3β)＝β，
所以∠OBE＝(90°−β)+β＝90°，
所以OB⊥BE．
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理、等腰三角形性质和角度计算，属于难题．
17．（12分）综合与探究
问题情境：有一张边长为15的正方形纸片ABCD，将一张腰长为9的等腰直角三角形纸片的直角顶点与顶点A重合放置，记该三角形为△AEF．顶点E，F分别在正方形的AB，AD边上，如图1．现将△AEF绕点A按逆时针方向旋转α角，其中0°＜α＜90°，得到△AE′F′，连接BE′，DF′，如图2．
（1）初步探究：猜想线段BE′与线段DF′的数量关系，并说明理由；
（2）深入探究：在△AEF绕点A按逆时针方向旋转过程中，当AE′与BE′互相垂直时，AE′交EF边于点M，E′F′交AD边于点N，如图3．
①求证：NA·NF′＝ND·NE′；
②求△AEM与△AFM面积的比值．
【分析】（1）利用旋转的性质证明△ABE′≌△ADF′；（2）利用相似三角形证明；②利用坐标法或面积公式求解．
【解答】解：（1）BE′＝DF′．理由如下：
因为△AEF是等腰直角三角形，∠EAF＝90°，AE＝AF＝9，
旋转后AE′＝AF′＝9，∠E′AF′＝90°，
因为正方形ABCD中AB＝AD＝15，
旋转角为α，所以∠BAE′＝∠DAF′＝α，
在△ABE′和△ADF′中，
AB＝AD＝15，AE′＝AF′＝9，∠BAE′＝∠DAF′＝α，
所以△ABE′≌△ADF′（SAS），
所以BE′＝DF′．
（2）①证明：当AE′BE′时，在Rt△ABE′中，
AB＝15，AE′＝9，
所以BE′＝√(AB²−AE′²)＝√(225−81)＝12，
建立平面直角坐标系，设A为原点，AB方向为y轴负方向，AD方向为x轴正方向，
则A(0，0)，B(0，−15)，D(15，0)，
设旋转角α满足AE′⊥BE′，
由AE′·BE′＝0可得csα＝3/5，sinα＝4/5，
所以E′(36/5，−27/5)，F′(27/5，36/5)，
直线AE′方程：y＝(−3/4)x，
直线EF方程：y＝x−9（E(0,−9)，F(9,0)），
联立解得M(36/7，−27/7)，
直线E′F′方程：方向向量(−1，7)，过E′(36/5，−27/5)，
令y＝0（AD所在直线），解得N(45/7，0)，
在△NAE′和△NDF′中，
∠ANE′＝∠DNF′（对顶角），
由坐标计算可得NAE′＝∠NDF′（均等于arccs(4/5)），
所以△NAE′∽△NDF′（AA），
所以NA/ND＝NE′/NF′，
即NA·NF′＝ND·NE′．
②△AEM的面积＝(1/2)·AE·|x_M|＝(1/2)×9×(36/7)＝162/7，
△AFM的面积＝(1/2)·AF·|y_M|＝(1/2)×9×(27/7)＝243/14，
所以S△AEM/S△AFM＝(162/7)/(243/14)＝(162×14)/(7×243)＝324/243＝4/3．
所以△AEM与△AFM面积的比值为4:3．
【点评】本题考查旋转的性质、全等三角形、相似三角形的判定与性质，综合性强，属于难题．
18．（12分）综合与实践
下面呈现的是项目式学习的部分学习过程，请你一起参与并完成相应的任务．
项目任务一： 请你根据"智慧"小组建立的平面直角坐标系，求过点E，F，N的抛物线的函数表达式；
项目任务二： 请你求出矩形另一边MN的长度．
（参考数据：sin49°≈0.75，cs49°≈0.66，tan49°≈1.15）
【分析】任务一：根据坐标系确定E、F的坐标，利用顶点式求抛物线表达式；任务二：利用太阳光线角度和影长确定M点坐标，再利用抛物线的对称性求N点坐标，进而求MN．
【解答】解：以D为原点，AD所在直线为x轴，DE所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
由题意可知：
D(0，0)，E(0，5)（ED＝5m），
G(−8，0)（DG＝8m），F(−8，7)（FG＝7m），
因为F是抛物线的最高点（顶点），
所以设抛物线表达式为y＝a(x+8)²+7，
将E(0，5)代入得：5＝a(0+8)²+7＝64a+7，
解得a＝−1/32，
所以抛物线的函数表达式为y＝−(1/32)(x+8)²+7．
（任务二）由题意，AB＝1m，AG＝2m，
所以B(−10，0)，A(−10，1)，
HB＝7.5m，H在B的左侧，所以H(−17.5，0)，
太阳光线与地面夹角为49°，M的影子为H，
所以直线MH的斜率为tan49°≈1.15，
直线MH的方程为y＝1.15(x+17.5)，
联立抛物线方程：1.15(x+17.5)＝−(1/32)(x+8)²+7，
令p＝x+8，得：1.15(p+9.5)＝−p²/32+7，
整理得：p²+36.8p+125.6＝0，
解得p＝(−36.8+√851.84)/2≈−3.805，
所以M点的横坐标x_M＝p−8≈−11.805，
因为M、N在同一水平线上（矩形顶边），且关于抛物线对称轴x＝−8对称，
所以N点的横坐标xN＝−8+(−8−xM)＝−16−x_M≈−4.195，
所以MN＝xN−xM≈7.61≈7.6（m）．
答：矩形另一边MN的长度约为7.6m．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，涉及坐标系建立、抛物线表达式求解和利用对称性求距离，属于难题．第一袋
第二袋
第三袋
第四袋
+2
0
+1
−2
产品
信息处理速度
信息识别准确度
功能丰富程度
A
78
73
86
B
82
72
85