安徽省芜湖市第一中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题
1．已知命题，则为（ ）
A．B．
C．D．
2．在二项式的展开式中，的系数为（ ）
A．32B．24C．12D．8
3．已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．B．
C．D．
4．已知函数，“在定义域上的最大值为1，最小值为-1”是“的值域为”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（ ）
A．方式二比方式一先到学校B．方式一比方式二先到学校
C．两种方式到学校的时间一样D．无法确定哪种方式先到学校
6．已知 ，若函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是 （ ）
A．B．
C．D．
7．教师用五个相同的奖品奖励三位学生，每个学生都必须得到奖品的奖励方法的种类数为（ ）
A．6B．36C．90D．150
8．已知，则数能被整除的概率为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．关于函数，下列说法正确的有（ ）
A．的定义域为B．函数图象关于轴对称
C．的值域为D．函数无零点
10．已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数则下列命题正确的有（ ）
A．若在定义域上是增函数，则
B．若的极小值点与极小值均为0，则
C．若有两个正的零点和极值0，则
D．对，在函数的图象上能构成平行四边形的四个点的组数有无数组
三、填空题
12．已知随机变量服从正态分布，则___________．
13．已知，且，则实数的取值范围为___________．
14．已知，记为，三个数中最大的数，则的最小值为___________．
四、解答题
15．随着居民生活水平提升、消费观念转变以及技术不断革新，智能小家电市场前景广阔，记年的年份代码分别为，下表为年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元）．
(1)依据表中数据，可知年份代码与市场规模呈线性相关，求出关于的经验回归方程．
(2)预测年的市场规模．
附：经验回归方程中斜率的最小二乘估计公式为．
16．已知函数的极小值点为．
(1)求实数的值以及的单调区间；
(2)求在区间上的最值．（参考数据：）
17．已知集合
(1)求；
(2)从中取出一个元素，求取出的元素属于集合的条件下，属于集合的概率；
(3)从集合中各取一个元素，求取出的元素之和属于集合的概率．
18．已知函数
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)探究方程根的个数；
(3)若在恒成立，求的取值范围．
19．某公司举行团建活动，其中有一项套圈活动备受欢迎，活动规则为每人累计次未套中时则停止套圈，否则可以继续套圈．若每人每次套中的概率为，且每次套中与否互不影响，每次套中后积分，将每位参与活动的员工所得积分记为随机变量．
(1)若，，求的概率；
(2)求，，的概率；
(3)求随机变量的数学期望．
年份代码
1
2
3
4
5
市场规模
参考答案
1．D
【详解】因为命题，所以命题为.
2．B
【详解】的系数为：.
3．B
【详解】由图可知，阴影部分由属于不属于的元素构成，
因为，，
所以阴影部分表示的集合为
4．B
【详解】必要性：若的值域为，则在定义域上的最大值为1，最小值为-1，则必要性成立，
充分性：若在定义域上的最大值为1，最小值为-1，
取，满足题意，但的值域为，则充分性不成立，
故“在定义域上的最大值为1，最小值为-1”是“的值域为”的必要不充分条件．
5．A
【详解】设方式一用时间为，方式二用时间为，小明到学校的距离为，
则，得到，
则，得到，
故方式二比方式一先到学校．
6．D
【详解】由函数图象可知关于原点对称，所以是奇函数.
对于，，，故错误；
对于,，当时，，与图象不符，故错误；
对于，，当，与图象不符，故错误；
故选：
7．A
【详解】将五个相同的奖品排成一排，在中间的四个空位中插入两个隔板，共有种方法，
8．C
【详解】考查时，则、、都能被整除，
接下来只需要考查能被整除即可，
但、、、为、、、的一个排列，
由于、、、都不能被整除，则不能被整除，所以能被整除，
则或或或或或或或，
当时，则或，
则当或或或或或或，都有种情况，
即当时，不同的排序方法种数为种，
故当时，每种排序方法种数都为种，
由古典概型的概率公式可知，数能被整除的概率为.
9．AD
【详解】由易得的定义域为，故A正确；
对于，都有，
因 ，，
即函数不是偶函数，图象不关于轴对称，故B错误；
同时，即函数为奇函数，
当时，，则时，有，
故的值域为，即C错误；
令，即，此方程无解，
则函数无零点，即D正确.
10．ABD
【详解】对选项A， 由对立事件概率的性质得，A正确；
对选项B ，根据条件概率公式：，变形得： ，B正确；
对选项C， 由全概率公式 ，得，C错误；
对选项D ，根据条件概率公式 ，D正确.
11．BCD
【详解】选项A，，因为在定义域上是增函数，所以，即，取，，满足题意，但，则A错误；
选项B，若的极小值点与极小值均为0，则，此时，
极值点为和，若是极小值点，则需满足，此时在处取极小值0，符合条件，所以，B正确；
选项C，设有两个正的零点，且其中一个极值为，因为极值点处函数值为，所以该点对应的零点为二重根，
设这个二重正零点为，另一个正零点为，则，且，
于是，展开得 ，所以 ，
要证 ，即证， 也就是证 ，
由均值不等式， ，当且仅当时取等号，但，故，
两边立方得 ，所以 ，C正确；
选项D，对于三次函数，
，令，
则，因为，所以图象关于点成中心对称，，
因为，所以当时有，，即图象关于点中心对称.
任取图象上两点，作关于对称中心的对称点，则四点构成平行四边形，这样的取法有无数种，D正确.
12．/0.5
【详解】由题意可知：正态密度曲线的对称轴为，所以.
13．
【详解】函数的定义域为，
其导函数恒成立，故函数在上单调递增，
则由可得，解得，
即实数的取值范围为.
14．2
【详解】由题可知，，则，，
因为，所以，即，解得，
当且仅当，时，等号成立，
当时，，，，
故的最小值为2.
15．(1)
(2)千亿元
【详解】（1）由题意，
可得，
得到，
故，
由，可得，
故关于的经验回归方程为．
（2）由题意可得年的年份代号为6，即，
结合（1）的线性回归方程得，
所以预测年的市场规模为千亿元．
16．(1)，单调递减区间为，单调递增区间为．
(2)最小值为；最大值为．
【详解】（1）因为函数，所以函数的定义域为.
所以，因为函数的极小值点为，所以，解得.
再将导函数整理为，
令，解得，令，解得，
所以单调递减区间为，单调递增区间为．
因此，，单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数有极小值也是最小值，
且，，
所以，即.
因此，函数在区间上的最小值为，最大值为．
17．(1)
(2)
(3)．
【详解】（1）由题意可知；
（2）记取出的元素属于为事件，取出的元素属于为事件，
则；
（3）从集合中各取一个元素共有种，
其中取出的元素之和属于集合的情况有：共种，
所以概率．
18．(1)
(2)，有一个根；，有两个根
(3)
【详解】（1）当时，，
曲线在处的切线斜率，
又时，，切线方程为．
（2）由得，由可取对数得，
，令
，
在上单调递增，在上单调递减
在上，在上，
时，，有一个零点；
时，，有两个零点；
时，，有一个零点；
时，，有两个零点．
，有一个零点，即方程有一个根；，有两个零点，即方程有两个根.
（3）由得
当时，不符合题意
当时，取对数得，结合与关于对称
，取对数得
结合（2）中结论得，
19．(1)
(2)，，
(3)
【详解】（1）若，则表示总共套了次，其中前次套中，第次没有套中，
因此概率为.
（2）表示总共套了次，前次均没有套中，
因此概率为，
表示总共套了次，其中前次中套中了次，第次没有套中，
因此概率为，
表示总共套了次，其中前次中套中了次，第次没有套中，
因此概率为．
（3）结合（2）可得分布列为
，
由于分布列的概率和为，即，
等式关于恒成立，两边对求导得
，
分组求和可得，
移项得，
变形得，
注意到，，
代入上式得．X
1
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