安徽省芜湖市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 欧拉公式 （其中 i 为虚数单位， ），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指
数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，
被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式， 的共轭复数为（ ）．
A. B. C. D.
2. 设 m，n 是不同的直线， 是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C 若 ，则 D. 若 ，则
3. 如图，在 中， ，点 是 的中点．设 ， ，则 （ ）
A B. C. D.
4. 如图，水平放置 四边形 的斜二测直观图为矩形 ，已知 ， ，
则四边形 的周长为（ ）
A. B. C. 8 D. 10
5. 在正方体 中，E，F 分别是线段 ， 的中点，则异面直线 ，EF 所成角余
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弦值是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，正三棱台 的下底面边长为 12，上底面边长和侧棱长均为 6，则棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 在 中，内角 对边分别为 ，若 ，则 的形状为（
）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形或等腰三角形
8. 如图所示，在棱长为 1 的正方体 中，点 分别是棱 的中点， 是侧面
内一点，若 平面 ，则线段 长度的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知 是复数且对应的点分别为 ，则以下结论错误的是（）．
A. 若 ，则 ，且
B. 若 ，则 ，且
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C. 若 ，则向量 和 相等或相反向量
D. 若 ，则
10. 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则 是钝角三角形
C. 若 ，则 为等腰三角形 D. 若 ，则 有两解
11. 已知正八边形 为正八边形的中心，其中 ，则下列命题正确的是（ ）．
A.
B.
C. 在 上的投影向量为
D. 若点 为正八边形边上的一个动点，则 的最大值为 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 如图,测量河对岸的塔高 时,可以选与塔底 在同一水平面内的两个测点 与 ．现测得
,并在点 测得塔顶 的仰角为 ,则塔高 为_______．
13. 设 是复数且 ，则 的最大值为______．
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14. 如图，正方体 棱长为 1，点 是正方体侧面 上的一个动点（含边界），
是棱 的中点，若 ，则点 在侧面 内运动路径的长度______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量 .
（1）若向量 与 共线，求实数 的值；
（2）若向量 与 的夹角为锐角，求实数 的取值范围.
16. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求 ；
（2）若 的重心为 ，且 ，求 ．
17. 如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为 上的点，且 ， 为
中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）过 F 点作平面 平面 交 于 点，交 于 点，
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）求 的值．
18. 如图，在 中，已知 ，点 为 边的中点，
相交于点 ．
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（1）求 ；
（2）求 ；
（3）求 ．
19. 在 中，内角 的对边分别是 ， ， ．
（1）求角 ；
（2）若 ，求边 上的角平分线 长；
（3）若 为锐角三角形，求边 上的中线 的取值范围．
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