2024-2025学年安徽省芜湖一中高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年安徽省芜湖一中高二（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知函数f(x)=3lnx+2，则f′(1)=( )
A. 3B. 5C. 8D. 10
2.某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五人一周7天的值班工作，每天只有1人值班，甲要求星期一、星期日不值班，且连续3天值班，其他人员每人值班1天，则不同的安排方法种数为( )
A. 72B. 96C. 108D. 156
3.已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感.假设这三个地区人口数量的比为3：2：1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为( )
A. 7150B. 31600C. 475D. 825
4.(2+1x)(2x−1)11的展开式中的常数项为( )
A. 18B. 20C. 22D. 24
5.用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域区分开，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( )
A. 400种B. 460种
C. 480种D. 496种
6.拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上的图象连续不间断，在开区间(a,b)内的导数为f′(x)，那么在区间(a,b)内至少存在一点c，使得f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)成立，其中c叫做f(x)在[a,b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数f(x)=csx在[0,3π]上的“拉格朗日中值点”的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛.决赛采取3局2胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为23，且各局比赛的结果相互独立.则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是( )
A. 14B. 34C. 35D. 45
8.已知f(x)=aex−12x2在区间(12,2)内存在2个极值点，则实数a的取值范围为( )
A. (2e2,1e)B. (12 e,1e)C. (2e2,12 e)D. (1e,2e)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一个袋子中有5个大小相同的球，其中红球3个，白球2个，现从中不放回地随机摸出3个球作为样本，用随机变量X表示样本中红球的个数，用随机变量Yi(i=1,2,3)表示第i次抽到红球的个数，则下列结论中正确地是( )
A. X的分布列为P(X=k)=C3k(35)k(25)3−k，k=1，2，3
B. X的期望E(X)=95
C. P(Y2=1)=35
D. P(Y1=1|Y2=1)=12
10.已知二项展开式(1−x)2025=a0+a1x+a2x2+⋯+a2025x2025，则( )
A. a0=1B. a1+a2+⋯+a2025=0
C. a1+a2024=0D. a0+a2+a4+⋯+a2024=22024
11.已知函数f(x)与f′(x)的定义域均为R，且f(x)与f(x+1)−2均为奇函数，f′(1)=2，则下列结论正确的是( )
A. f(2025)=4050B. f′(x)的图象关于直线x=1对称
C. f′(x+2026)=f′(x)D. i=12025f′(2i−1)=2025
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在(x+1x−1)5的展开式中，含x3项的系数为______．
13.数轴上的一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1秒等可能地向正方向或负方向移动一个单位，则质点在第10秒末，位于位置4的概率为______．
14.已知函数f(x)=kx−e−x+k2,x0时，−x0，则g′(x)=2(x+1)ex>0，故函数g(x)在(0,+∞)上为增函数，
下面考查直线y=2kx−k与函数g(x)的图象相切的情形：
设直线y=2kx−k与函数g(x)的图象相切于点(t,g(t))，其中t>0，
函数g(x)的图象在x=t处的切线斜率为2(t+1)et，
故曲线y=g(x)在点(t,g(t))的切线的方程为y−2tet=2(t+1)et(x−t)，
即y=2(t+1)etx−2t2et，
由题意可得2k=2(t+1)et−k=−2t2ett>0，解得t=1，k=2e，
结合图形可知，当k>2e时，直线y=2kx−k与曲线y=g(x)在(0,+∞)上的图象有两个交点，
即此时函数F(x)在(0,+∞)上有两个零点，
因此，实数k的取值范围是(2e,+∞)．
故答案为：(2e,+∞)．
设F(x)=f(x)+f(−x)，由题可得当x>0时，F(x)有两个零点，进而可得2xex=2kx−k有两个正数解，令g(x)=2xex(x>0)，考查直线y=2kx−k与曲线g(x)=2xex(x>0)相切时k的值，数形结合可得出实数k的取值范围．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】n=6；64；
1215；
T1=729x12，T3=1215x7，T5=135x2，T7=x−3．
【解析】解：(1)由题意可得n+1=7，所以n=6，
所以所有二项式系数之和为26=64；
(2)由(1)知n=6，所以(3x2+1 x)6的二项展开式的通项为
Tk+1=C6k(3x2)6−k(x−12)k=C6k⋅36−k⋅x12−5k2，k=0，1，…，6，
令12−5k2=7，解得k=2，
所以展开式中含x7项的系数为C62⋅34=1215；
(3)因为(3x2+1 x)6的二项展开式的通项为Tk+1=C6k⋅36−k⋅x12−5k2，k=0，1，…，6，
所以能使12−5k2为整数的k=0，2，4，6，
所以展开式中的有理项分别为：T1=C60⋅36⋅x12=729x12，T3=C62⋅34⋅x7=1215x7，
T5=C64⋅32⋅x2=135x2，T7=C66⋅30⋅x−3=x−3．
(1)由二项展开式有7项，可得n=6，所有二项式系数之和为26=64；
(2)先求出二项展开式的通项为Tk+1=C6k⋅36−k⋅x12−5k2，再令12−5k2=7，解得k=2，代入通项计算即可；
(3)分析得出要得到的有理项，必须让12−5k2为整数，从而得到k=0，2，4，6，再代入通项计算即可．
本题考查了二项式定理的应用，涉及到求解有理项，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】答案见解析；
[2e−32,+∞)．
【解析】解：(1)因为f(x)=x2−alnx(x>0)．
所以f′(x)=2x−ax．
当a≤0时，f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a>0时，由f′(x)=2x−ax>0⇒x> 2a2；由f′(x)=2x−ax0)，可得g′(x)=3−2lnxx2．
由g′(x)e32；由g′(x)>0⇒3−2lnx>0⇒00，得x2x1≥2，
a=x1ex1=x2ex2，设x2=kx1，k≥2，
所以x1=lnkk−1，令φ(x)=lnxx−1(x≥2)，
φ′(x)=1x(x−1)−lnx(x−1)2=1−1x−lnx(x−1)2，
令t(x)=1−1x−lnx(x≥2)，t′(x)=1x2−1x=−x−1x2