山西省晋城市部分名校2025-2026学年高一下学期7月期末自测数学试卷（Word版附解析）

这是一份山西省晋城市部分名校2025-2026学年高一下学期7月期末自测数学试卷（Word版附解析），文件包含32透镜同步练习江苏专用原卷版docx、32透镜同步练习江苏专用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，是复数，若，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，若，则实数（ ）
A．B．C．D．
3．某学校高一年级由440名男同学和330名女同学组成，现用分层随机抽样的方法从高一年级中随机抽取一个容量为84的样本进行睡眠质量调查，其中应抽取的男同学人数为（ ）
A．36B．42C．48D．54
4．某圆锥的体积为，底面半径为1，则该圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角为（ ）
A．B．C．D．
5．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
6．从不超过20的质数中，任选两个不同的质数，，记，则事件“”的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．在中，内角、、所对的边分别为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在梯形中，为上一点，且满足，则（ ）
A．1B．C．D．2
二、多选题
9．某企业积极响应国家节水号召，对污水进行净化再利用，如图是该企业近7年的污水净化量（单位：t）的折线图，则（ ）
A．这组数据的众数是56
B．这组数据的极差是4
C．这组数据的60%分位数是55
D．去掉第5年的数据后，新数据的方差会变小
10．在复平面内，复数，对应的点分别为，，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，且，则，关于轴对称
C．若，则
D．若，且，是关于的方程的两个根（，），则
11．如图，正方体的棱长为2，分别是棱上的点（不包括端点），且，则下列说法正确的是（ ）
A．正方体的外接球的表面积为
B．若平面与平面的交线为，则
C．若平面与平面所成的二面角为，的面积为，则
D．若，则平面截正方体所得截面的面积为
三、填空题
12．有一个专养草鱼的池塘，为了估计池塘内草鱼的数量，养殖人员从池塘内捞出60条草鱼，做上标记后放回池塘，10天后，他又从池塘内捞出50条草鱼，发现其中有2条草鱼有标记，则可估计该池塘内共有_______________条草鱼．
13．在正四棱台中，，高为1，则直线与所成角的余弦值为_______________．
14．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为______.
四、解答题
15．已知向量与的夹角为，，．
(1)若，求实数的值；
(2)求向量与的夹角的余弦值．
16．甲、乙两人参加猜灯谜比赛，每局比赛甲、乙各猜一个灯谜，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则平局，规定先胜2局的一方赢得奖品并结束此次比赛．已知每局比赛甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，在每局比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各局结果也互不影响．
(1)求每局比赛中甲获胜的概率，乙获胜的概率及甲、乙平局的概率；
(2)求此次比赛进行3局就结束的概率．
17．某公司为了解客户对其旗下某产品的满意程度，随机抽取了200名客户进行满意度调查，并将评分（满分100分）按，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中a的值，并估计这200名客户的满意度评分的平均数（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)已知样本中在内的评分的平均数为64.5，方差为14，在内的评分的平均数是74.5，方差是9，求落在内的评分的平均数与方差．
18．在中，内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围；
(3)已知点是边上的一点，且，求的长.
19．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，点E，F分别是的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求三棱锥外接球的表面积；
(3)设与平面所成角为，求的取值范围．
参考答案
1．A
【详解】由题意.
2．D
【详解】因为向量，，且，则，解得.
3．C
【详解】应抽取的男同学人数为：.
4．D
【详解】设圆锥的高为，则，解得，母线长为，
所以圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角为．
故选：D．
5．D
【详解】若，，则或，故A错误；
若，，，则与可能平行，可能相交，可能异面，故B错误；
若，，则或，又，
则与可能平行，可能相交，故C错误；
两条平行直线，其中一条与一个平面垂直，则另一条也与该平面垂直，故D正确．
故选：D．
6．B
【详解】不超过的质数有共8个，
任选其中2个数差的绝对值小于4，有共6组，
所以任选2个不同的质数差的绝对值小于4的情况有种，
从8个质数中任选2个不同的质数有种，
所以，所求概率为.
7．B
【详解】由余弦定理得，
所以，所以，故．
由正弦定理，得，
故．
故选：B．
8．A
【详解】在梯形中，令，由，得，
由，得，所以
.
9．BC
【详解】将数据从小到大排列为52，52，53，54，55，56，56，众数是52和56，A错误；极差是，B正确；
对于C，，所以60%分位数是从小到大排列的第5个数，即为55，C正确；
对于D，该组数据的平均数为，第5年的数据为54，设原始数据的方差为，去掉第5年的数据后的方差为，则
，
，
即，故D错误.
故选：BC.
10．BC
【详解】若，则，故A错误；
因为，，所以，则，关于轴对称，故B正确；
若，则，则，故C正确；
由题意得，，则，故D错误.
11．BC
【详解】对于A，由，得正方体的外接球半径，
因此正方体的外接球表面积为，A错误；
对于B，由，，得四边形是平行四边形，，
而平面，平面，则平面，
是平面与平面的交线，平面，因此，B正确；
对于C，分别取的中点，，连接，则，
，，，又，则，，
因此是平面和平面所成的二面角的平面角，
则，C正确；
对于D，延长使得，连接交于点，连接交于点，
则，，且，，
四边形为菱形，平面截正方体所得截面为五边形，
又，，，
所以的面积为，五边形的面积为，D错误．
故选：BC
12．1500
【详解】设该池塘内共有条草鱼，
则，解得，
所以估计该池塘内有1500条草鱼．
13．
【详解】在正四棱台中，，
所以.
因为高为1，所以，
过点作的垂线，垂足为，易得，
所以，
同理可得．
因为，所以为异面直线与所成角或补角，
在中，，
由余弦定理得，
故异面直线与所成角的余弦值为．
14．
【详解】在中，由余弦定理得，
且的面积，
由，得，化简得，
又，，联立得，
解得或（舍去），
所以，
因为为锐角三角形，
所以，，所以，
所以，所以，所以，
设，其中，所以，
由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，；当时，，
所以，即的取值范围是.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
所以，
即，
解得．
（2）由题意得，
，
设向量与的夹角为，
则．
即向量与的夹角的余弦值为.
16．(1)，，
(2)
【详解】（1）设每局比赛中，甲获胜为事件，乙获胜为事件，甲、乙平局为事件，
则，，
．
（2）设比赛进行3局就结束为事件，第局比赛中甲获胜为事件，第局比赛中乙获胜为事件，，
则，
所以
．
17．(1)，74.5．
(2)平均数为70.5，方差为35
【详解】（1）根据题意，，解得．
，
估计这200名客户的满意度评分的平均数为74.5．
（2）由频率分布直方图可知评分在，的频率比为，
则样本中在内的评分的平均数为，
样本中在内的评分的方差为
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，所以，
由余弦定理得，
又，所以.
（2）由（1）知，所以，
因为，
又为锐角三角形，则所以，
所以，所以，即的取值范围是.
（3）设，则，
因为，所以，联立解得
因为，
所以，
，
所以.
19．(1)因为底面是边长为2的菱形，且，
所以和均为等边三角形.
因为点是的中点，所以．
因为，所以.
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面．
(2)
(3)
【详解】（1）略
（2）取的中点，连接，则.
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，因为为直角三角形，所以为外接圆的圆心.
所以三棱锥的外接球球心一定在平面内，且为的外心，
三棱锥的外接球的半径等于外接圆的半径.
因为是等边三角形，，
由正弦定理，得（为的外接圆半径），
解得，即三棱锥的外接球半径为．
所以三棱锥外接球的表面积为．
（3）取的中点，作，垂足为，连接．
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面为与平面所成的角，所以．
①若在线段（不含端点）上，如图1，设，
因为为的中点，所以，
因为F，G分别是的中点，所以，又，
所以，由余弦定理得，
所以．
令，由，得，
所以，当且仅当，即时等号成立．
又，所以的取值范围为．
②若在线段上（不含端点），如图2，设，
因为，所以，
又，所以，由余弦定理得，
所以．
令，由，得，所以．
令，任取，
则，
因为，所以，
故，即，
所以在上单调递增，且，所以的取值范围为．
③若与重合，则．