专题12 概率之马尔科夫链、数列、赛制、决策性问题4大题型（期末复习讲义）高二年级数学下学期人教A版

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1. 定义
若随机过程 {Sn} 满足
PSn+1=j∣Sn=i,Sn−1=in−1,…=PSn+1=j∣Sn=i,
则称 {Sn} 为马尔科夫链。其核心性质是无记忆性：将来只依赖于当前状态，与过去状态无关。
2. 状态与转移概率
所有可能取的值称为状态。
pij=PSn+1=j∣Sn=i 称为从状态 i 到状态 j 的一步转移概率。
转移概率矩阵 P=pij 满足：每行元素之和为 1。
3. 两状态马尔科夫链的递推
设系统只有状态 A 和 B，记 an=PSn=A。由全概率公式：
an+1=an⋅pAA+1−an⋅pBA.
整理为 an+1=p⋅an+q，其中 p=pAA−pBA，q=pBA。
4. 典型模型：赌徒破产问题
甲有本金 k 元，乙有 N−k 元。每局甲赢的概率为 p，输的概率为 q=1−p，赢则得1元，输则失1元。设 fk 为甲从资金 k 出发最终获胜的概率。则有
fk=pfk+1+qfk−1, f0=0, fN=1.
解得：
当 p≠q 时，fk=1−q/pk1−q/pN；
当 p=q=12 时，fk=kN。
知识点02 赛制问题（多局比赛）
1. 基本假设
每局比赛结果相互独立，甲每局胜的概率为 p，乙胜的概率为 q=1−p。
2. 几局几胜制的概率公式（设获胜所需局数为 m）
三局两胜（m=2）：
P甲胜=p2+21p2q=p21+2q.
五局三胜（m=3）：
P甲胜=p3+32p3q+42p3q2.
通用公式（总局数 k 从 m 到 2m−1）：
P=k=m2m−1k−1m−1p mq k−m.
注意：最后一局必须获胜，前 k−1 局中恰好获胜 m−1 局。
3. 期望比赛总局数（以三局两胜为例）
E=2⋅P2:0+3⋅P2:1=2p2+q2+3⋅2p2q+3⋅2q2p=2+2pq.
4. 递推法处理局中比分
设 fa,b 表示甲已赢 a 局、乙已赢 b 局时，甲最终获胜的概率。则有
fa,b=p fa+1,b+q fa,b+1,
边界条件：fm,b=1（甲已达目标），fa,m=0（乙已达目标）。
题型一 马尔科夫链
【典例1】（2026高三下·福建泉州·专题练习）甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的1个黑球和2个红球.现从两个盒子中各任取一个球放入对方盒子中称为一次操作，重复进行次操作后，甲盒子中恰有0个黑球，1个黑球，2个黑球分别记为事件，，，则以下错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）现有标号依次为1，2，…，的个盒子（其中），标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入号盒子为止．
(1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率；
(2)当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列；
(3)记号盒子中红球的个数为，求第号盒子有两个红球和两个白球的概率及的期望．
【变式1】（2025高三·全国·专题练习）随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为．记第n次推送时不购买此商品的概率为，当时，恒成立，则M的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（25-26高二下·广东揭阳·期中）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件．
(1)求的值：
(2)求（用表示）．
【变式3】（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）甲、乙、丙、丁四人进行台球游戏，约定游戏规则如下：
①每轮游戏均将四人分成两组，进行一对一对打；
②第一轮甲乙对打，丙丁对打；
③每轮游戏结束后，两名胜者组成一组在下一轮对打，两名负者组成一组在下一轮对打；
④每组比赛均无平局出现，且每组比赛结果相互独立.甲胜乙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、甲胜丁、乙胜丙、乙胜丁的概率均为.
(1)在前三轮游戏中，甲乙对打的次数为，求的数学期望；
(2)求在第轮游戏中，甲乙对打的概率；
(3)求在第轮游戏中，甲获胜的概率.
题型二 数列递推在概率中的应用
【典例1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知数列，…，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推．设的前项和为．
(1)求；
(2)若存在正整数使得且能被3整除，求的最小值；
(3)设集合中任选一个元素，求满足的概率．
【典例2】（25-26高二下·江西吉安·期中）一个不透明盒子中装有除颜色外大小形状均相同的3个小球，其中包含1个红球，2个黑球．小明在做摸球游戏，游戏规则：从盒子中随机取出一个球，若取出红球，则放回盒子中；若取出黑球则不放回，另外补一个红球放入盒子中．设每次取球相互独立，用随机变量表示小明做了这样的游戏次后盒子中红球的个数．
(1)求；
(2)求的分布列；
(3)证明数列为等比数列，并求．
【变式1】（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知小张同学每次投篮投中的概率为，投不中的概率为．为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分．小张同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分．设最终得分为n的概率为，
(1)求，，
(2)求数列的通项公式．
【变式2】（24-25高三下·江苏徐州·阶段检测）甲、乙、丙三人玩传花游戏，开始时由甲手持鲜花，随机地将花传给乙或丙，接花者再随机地将花传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去从一个人手中将花传给另一个人称为一次传花，设经过n次传花后，花回到甲手里的概率记为，假设每一次传花互不影响.
(1)求和的值；
(2)求；
(3)设，数列的前n项和为，若，证明：.
题型三 赛制问题（多局比赛）
【典例1】（25-26高二下·山东济宁·期中）甲和乙进行定点投篮游戏，当投篮者命中时继续投篮，否则由对方投篮．已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为．规定：每局游戏进行3次投篮，均由甲先投，命中一次得2分．
(1)求一局比赛中，甲6：0获胜的概率；
(2)记一局比赛中乙投篮次数为，求的期望；
(3)若甲、乙共进行了5局比赛，记得分高者为获胜方，得分相同为平局，求甲至少获胜3局的概率．
【典例2】（25-26高二下·吉林长春·期中）某校高中三个年级每个年级择优选拔了10名学生，参加全校的“五育数学知识”竞答比赛，比赛设置了多选题环节，每道题都有四个选项，其中正确选项有2个或3个，要求至少选择一个选项，得分规则如下：若正确选项有2个，只选一个且为正确选项得3分，选两个且为正确选项得6分，若选择的选项中有一个错误选项得－1分，选择的选项中有两个错误选项得－2分；若正确选项有3个，只选一个且为正确选项得2分，选两个且为正确选项得4分，选三个且为正确选项得6分，若选项中有一个错误选项得－1分．学生小明对其中的一道多选题完全不会，这道题恰有两个正确选项的概率为，记为小明随机选择1个选项的得分，为小明随机选择2个选项的得分．
(1)当时，求的概率；
(2)试探究是否存在概率，使得，若存在求出概率的取值范围；若不存在，说明理由.
【变式1】（25-26高二下·湖南长沙·期中）雅礼中学某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响.
(1)求小王答3道题后积分小于6的概率；
(2)设小王答4道题后积分为，求；
(3)若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为时，最终积分为12的概率为，请直接写出和的值，并求出的值.
【变式2】（25-26高二下·吉林长春·阶段检测）近年来足球赛事中，单败淘汰赛制（输一局就淘汰）与新兴的双败赛制并存，为比赛增添了许多看点.现有四支队伍A、B、C、D参与赛事，其中A是强队，对阵B、C、D的获胜概率均为p，，而B、C、D彼此之间对阵时获胜概率均为.经抽签，第一轮比赛时，A和C对阵，B和D对阵.
双败赛制规则如下图所示：
(1)若赛前要从4支队伍中随机选出2支队伍打一场热身赛，求选出的两支队伍恰好是A和B的概率；
(2)若，在单败淘汰赛赛制下，B获得冠军的概率是多少？
(3)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并说明哪种赛制对强队更有利？
题型四 决策性问题（最优策略与期望收益）
【典例1】（24-25高二下·安徽芜湖·期中）食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售.已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测不合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互独立.
(1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率为；
(2)若这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利元，若不能在该超市销售，则每箱亏损元，现有箱这种蔬菜，求这箱蔬菜总收益的均值.
【典例2】（2026·河北保定·二模）某农家乐园为增加客流量，计划在五一期间举行农产品的团购活动，每位参与团购且购买金额不低于100元的顾客均可以参加抽奖活动.抽奖方案如下：开始时箱子中放有除颜色外完全相同的4个红球与12个白球，每位参与抽奖的顾客均可抽取2次，每次从箱子中随机取1个球，第1次顾客从箱子中随机取出1个球，确定颜色后放回箱子，同时往箱子中放入2个与第1次取出的球颜色相同的球，然后进行第2次抽取.已知顾客每次取出白球没有奖励，取出红球奖励20元.
(1)求顾客第2次取出红球的概率.
(2)记每位参与抽奖的顾客获得奖励的总金额为X元，求E(X).
(3)该农家乐园计划增加一种抽奖方案，此方案要求参与抽奖的顾客通过扫描二维码进入小程序回答问题，每位顾客最少回答 2个问题，最多回答 3个问题，若前 2个问题至少回答正确 1个，则不再回答第 3个问题，若前2个问题都回答错误，则需回答第 3个问题，且第 1个问题回答正确奖励 6元，第 2个和第3个问题回答正确均奖励 12元.已知顾客甲正确回答这 3个问题的概率依次为 且这3个问题回答正确与否相互独立.为使顾客甲获得奖励的总金额的数学期望最大，顾客甲应该选择原抽奖方案还是新增抽奖方案?请说明理由.
【变式1】（25-26高二上·山东德州·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元．
(1)顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望；
(2)顾客B消费了1000元．
①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少?
②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠?（备注：不能同时参加抽奖和打折活动）
【变式2】（24-25高二下·吉林·期中）已知某次数学考试中试卷有11道选择题，其中8道单选题，3道多选题（此份试卷恰巧每个多选题都只有两个正确选项），单选题每题5分，选对得5分，选错得0分；多选题每题6分，全部选对的得6分，选对1个选项的得3分，有选错的得0分.甲、乙两位同学参加了此次数学考试，甲同学的试卷正常，而乙同学的试卷中选择题被打乱，无法分辨是单选题还是多选题，所以他认为11道选择题均是单选题，假设两人选对一个单选题的概率都是.
(1)设此次考试中甲同学选对了X道单选题，求X的数学期望；
(2)若对于多选题，乙同学选对1个选项的概率为，记此次考试中乙同学选择题的得分为Y，求Y的数学期望；
(3)已知甲同学遇到3个多选题时，每个题只能判断出有一个选项是正确的，且甲同学最多再选1个其他选项，假设他选对剩下1个选项的概率是p（），请你帮甲同学制定回答3个多选题的策略，使得分的期望最高.
期末重难突破练（测试时间：60分钟）
1．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）甲、乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜．比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为．
(1)求第2局比赛甲胜的概率；
(2)求比赛结束时甲胜的概率．
2．（2026·四川宜宾·模拟预测）某品牌布娃娃做促销活动：已知有50个布娃娃，其中一些布娃娃里面有奖品，参与者可以先在50个布娃娃中购买5个，看完5个布娃娃里面的结果再决定是否将剩下的布娃娃全部购买，设每个布娃娃有奖品的概率为，且各个布娃娃是否有奖品相互独立.
(1)记5个布娃娃中恰有1个有奖品的概率为，当时，取得最大值，求；
(2)假如这5个布娃娃中恰有1个有奖品，以上问中的作为p的值.已知每次购买布娃娃需要2元，若有中奖，则中奖者每次可得奖金15元.以最终获利（奖金减去成本）的期望作为决策依据，是否该买下剩下所有的45个布娃娃；
3．（2025·内蒙古包头·二模）高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐，猜歌名”的趣味游戏比赛，现将全班学生分为9组，每组5人，剩余的学生做裁判．比赛规则如下：比赛共分为两轮，第一轮比赛中9个小组分三场进行比赛，每场比赛有3个小组参加，在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜，获胜的三个小组进入第二轮比赛；第二轮进行一场比赛，选出获胜队伍．已知甲、乙、丙3个小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为．
(1)现从甲组中任选一名学生进行歌曲试猜，记5首歌曲中猜对的歌曲数为，求随机变量的数学期望；
(2)若从甲、乙、丙3个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲的概率；
(3)若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下：从丁、戊小组中任选一名代表，从装有3个白球和2个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球记分，摸出红球记分，以0分开始计分，恰好获得分或分则结束摸球．若该代表获得分，则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利．若该代表来自戊组，试估计戊组获胜的概率．
4．（24-25高二下·广东广州·期中）某医学研究院为寻找防治甲流的新技术，对甲流疑似病例进行检测与诊断.研究员抽取了5名甲流疑似病例，假设其中仅有一名感染甲流，需要通过化验血液来确认感染甲流的人，若化验结果只有阳性和阴性两种，且化验结果呈阳性，则为甲流感染者，化验结果呈阴性，则不是甲流感染者.现有两个检测方案：
方案一：先从5人中随机抽取2人，将其血液混合，进行1次检测，若呈阳性，则选择这2人中的1人检测即可；若呈阴性，则对另外3人进行检测，每次检测1人，找到甲流感染者则停止检测.
方案二：对5人进行逐个检测，找到甲流感染者则停止检测.
(1)分别求出利用方案一、方案二所需检测次数的分布列与数学期望；
(2)已知检测前需一次性花费固定成本500元，检测费用为400元/次，请分别计算利用两种方案检测的总费用的期望值，并以此作为决策依据，判断选择哪个方案更好.
5．（25-26高二下·湖北·阶段检测）重庆张雪机车创始人张雪，从草根摩托爱好者成长为国产机车领军人物．2013年，他怀揣2万元积蓄创业．2024年创立自主品牌，抵押身家深耕自研技术．2026年，其自主研发的820RR车型在世界顶级摩托车赛事中夺冠，打破欧美日品牌长期垄断，让国产机车首次站上国际顶级赛场领奖台．张雪机车推出新款820RR后，某车队为了对刚购入的A，B两种型号机车的操纵稳定性进行检测，设计了如下测试：由某种型号的机车每次独立执行一个任务，若该型号机车试验成功，则下一轮继续使用该型号机车进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机车进行试验．已知A型号机车试验成功的概率为，失败的概率为；B型号机车试验成功的概率为，失败的概率为．每次试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机车进行试验．
(1)记为前3轮试验的总得分，求的数学期望；
(2)设为第轮试验使用A型号机车的概率．
①求数列的通项公式；
②记为前轮试验的总得分期望，求关于的表达式．（若第轮得分期望记为(,2…n)，则）
6．（2025·广东·模拟预测）某地举行足球赛，共有16支球队参加．赛程先进行小组单循环赛（小组内每两支球队打一场比赛，前两名晋级下一轮）；然后进行淘汰赛（赢球晋级下一轮，输球被淘汰），对阵图如下．现16支球队分为A，B，C，D四组，每组4支球队．已知甲、乙、丙、丁4支球队分在A组，甲队胜乙队、丙队、丁队的概率分别为，，．假设每一轮每场比赛互不影响，甲队在每一轮每场比赛胜其他球队的概率不变．
(1)求甲队在小组单循环赛中至少胜两场的概率；
(2)已知通过第一轮角逐，甲队和乙队均进入淘汰赛，且甲队对组每支球队的胜率均为，乙队对组每支球队的胜率均为．求甲队夺冠的概率．
期末综合拓展练（测试时间：30分钟）
7．（2026·湖北·三模）近年来，女子10米气步枪作为奥运会首金项目备受关注，国家队在选拔运动员时，通常需要测试她们在不同场景下的命中率．射击爱好者小明到当地射击俱乐部选择场景A与场景B进行相关训练，制定如下规则：若在某场景下命中，则下一轮继续在此场景下进行射击；若没有命中，则更换到另一场景下进行射击．已知小明在场景A下命中率为，在场景B下命中率为，命中记1分，未命中记0分，且第1次在场景A下射击．
(1)若小明在前3次射击中得到2分，求这2分均在场景B下获得的概率；
(2)求小明第次在场景A下射击的概率；
(3)求小明在次射击后总得分的期望．
8．（湖北武汉市2026届高三年级五月供题数学试题）为坚决落实《深化新时代教育评价改革总体方案》中加强学生体育评价的相关要求，某中学举办以投篮为主题的体育活动，活动规则如下：某同学每次投篮投进的概率为（），各次投篮投进与否相互独立.若该同学连续投进次，则成功，获得奖品；若连续不进次，则失败，活动结束.记为已经连续投中次后，最终获得成功的概率，为已经连续不进次后，最终获得成功的概率（）.
(1)若，，，
（i）证明：；
（ii）求该同学成功的概率；
(2)用，，表示该同学成功的概率.
专题12 概率之马尔科夫链、数列、赛制、决策性问题
4大题型（期末复习讲义）
内 容 导 航
明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径
记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区
破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲
题型01 马尔科夫链
题型02 数列递推在概率中的应用
题型03 赛制问题（多局比赛）
题型04 决策性问题
过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效
核心考点
复习目标
考情规律
马尔科夫链与状态转移
能识别具有无后效性的随机过程，写出状态转移概率矩阵，利用全概率公式建立递推关系，求解有限步后的概率分布
新高考热点题型，常以传球、赌徒破产、游走等模型出现，易错点在于状态划分不完整或转移概率计算错误
数列递推在概率中的应用
能根据概率问题的递推关系（如 pn=apn−1+bpn−2），结合初始条件求解通项公式，进而计算概率或期望
中高档难度，常与马尔科夫链结合，易错点在于递推关系推导错误或数列求解不熟练
赛制问题（多局比赛）
能计算各类赛制（如五局三胜、七局四胜、抢7等）下的获胜概率，理解“连胜”“先赢”等条件对概率的影响，能利用组合数或递推求解
高频应用考点，常以体育比赛为背景，易错点在于未考虑比赛提前结束或局次顺序的独立性
决策性问题（最优策略与期望收益）
能利用期望最大化原则或概率比较，对是否继续、选择哪种方案等问题做出决策，理解“停时”思想（如抽奖、游戏、投资决策）
综合应用考点，考查建模与优化能力，易错点在于忽略不同策略下的概率分布变化或误用期望公式
解｜题｜技｜巧
马尔科夫链的核心是“无记忆性”：下一状态只依赖于当前状态，与过去无关。解题步骤：① 明确所有可能的状态（有限个）；② 写出状态转移概率矩阵 P，其中 pij=P下一状态=j∣当前状态=i；③ 若求 n 步后的状态分布，用初始分布乘以 Pn；④ 常考稳态分布：解方程 π=πP 且 ∑πi=1。对于吸收态问题，需建立递推关系求解吸收概率或期望步数。
解｜题｜技｜巧
将概率问题转化为数列递推关系是常见技巧。通常设 Pn 表示第 n 步或第 n 个状态下的概率，根据全概率公式建立 Pn 与 Pn−1,Pn−2,… 的线性递推式（如 Pn=aPn−1+bPn−2）。然后利用特征根法或迭代法求通项，再结合初始条件求解。注意有时递推涉及多个变量（如 an,bn 相互关联），需联立消元。
解｜题｜技｜巧
赛制问题常见类型：五局三胜、七局四胜等。常用方法：① 利用二项分布，将比赛场次视为独立试验，注意比赛提前结束的条件（如先赢3局则结束）；② 分类讨论：分别计算3-0、3-1、3-2等获胜概率；③ 引入状态转移：设 Pi,j 表示甲赢 i 局、乙赢 j 局时的获胜概率，建立递推边界（如 i=3 或 j=3），倒推求解；④ 若双方胜率不同，注意每局独立且概率恒定。对“连胜”等特殊规则需调整状态定义。
解｜题｜技｜巧
决策问题通常要求选择策略使期望收益最大或期望损失最小。解题步骤：① 明确所有可行策略及对应的随机结果；② 计算每种策略下的期望收益（可能涉及条件概率或递推）；③ 比较期望值，选择最优策略。常见模型：是否继续赌博、是否购买保险、库存管理等。