专题11 两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布4大题型（期末复习讲义）高二年级数学下学期人教A版

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（1）伯努利试验：我们把只包含_________可能结果的试验叫做伯努利试验. 我们将一个伯努利试验重复进行n次所组成的随机试验称为_________. 显然， n重伯努利试验具有共同特征：同一个伯努利试验重复做n次，且各次试验的结果_________.
（2）二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为__________，.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～_______，且有_______，_________.
注：①n次独立重复试验中恰好发生k次的概率与第k次才发生的概率计算公式分别是
与.
（3）二项分布的增减性与最大值
记，则当时，，pk递增；当时，，递减. 故最大值在时取得（此时，两项均为最大值；若
非整数，则k取的整数部分时，最大且唯一）.
知识点02 超几何分布
分布列：如果且，则的分布列如下表所示，其中为的最大取值．
知识点03 正态分布曲线及其性质
（1）正态曲线：我们称，，其中，时为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态分布：若随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为_________．特别地，当，时，称随机变量X服从________正态分布．
（3）正态分布的期望与方差：若，则______， _______.
（4）正态曲线的特点：
①非负性：对，，它的图象在x轴的上方．
②定值性：曲线与x轴之间的面积为1.
③对称性：曲线是单峰的，它关于直线________对称．
④最大值：曲线在处达到峰值.
⑤当无限增大时，曲线无限接近x轴．
⑥当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图①.
⑦当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.
（5）正态分布的几何意义：若，如图所示，X取值不超过的概率为图中区域A的面积，而为区域B的面积．

（6）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
.
题型一 两点分布
【典例1】（24-25高二下·新疆·期末）已知随机变量服从两点分布，且，设，则＝（ ）
A．0.72B．0.28C．0.16D．0.84
【典例2】（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
【变式1】（24-25高二下·江西·期末）若随机变量服从两点分布，且，则（ ）
A．0.24B．2.4C．0.28D．2.8
【变式2】（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）已知随机变量均服从两点分布，若，则（ ）
A．B．C．D．
题型二 二项分布
【典例1】（24-25高二下·北京东城·期末）投掷一枚均匀硬币，掷出正面得1分，掷出反面得2分、投掷了3次，设总分为，那么的数学期望为（ ）
A．B．4C．D．5
【典例2】（25-26高三上·海南海口·阶段检测）甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响．
(1)求在一局比赛中，甲得10分的概率；
(2)设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望；
(3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率．
【变式1】（24-25高二下·河南周口·期末）某在线教育平台推出一个学习打卡活动，用户每天打卡成功的概率为0.8，且每天打卡结果相互独立．若小明连续参与5天的打卡活动，设他打卡成功的天数为X，则=______．（用数字作答）
【变式2】（25-26高三上·宁夏固原·开学考试）甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往的训练数据可知，甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，各次投篮互不影响．现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投2个球，每投进一个球记1分，不投进记分．
(1)求甲在一个轮次投篮结束后的得分不大于0的概率；
(2)记甲、乙每轮次投篮得分之和为X．
①求；
②若，则称该轮次为一个“成功轮次”．在连续轮次的投篮活动中，记“成功轮次”的数量为Y，当n为何值时，的值最大？
题型三 超几何分布
【典例1】（24-25高二下·广西百色·期末）一批零件共有10个，其中有2个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品的概率为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（24-25高二上·江西南昌·期末）袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球
(1)求取出的3个球中有2个白球的概率；
(2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望.
【变式1】（24-25高二下·浙江台州·期末）一个袋子中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从中一次性随机摸出个球，用表示这个球中白球的个数，则下列概率中等于的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动.现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加.
(1)记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望；
(2)若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望.
题型四 正态分布
【典例1】（24-25高二下·辽宁锦州·期末）若，则.今有一批数量庞大的零件，假设这批零件的某项质量指标为（单位：毫米），且，现从中随机抽取10000个，其中恰有个零件的该项质量指标位于区间.则的估计值为（ ）
A．6895B．8400C．9545D．9973
【典例2】（24-25高二下·山西·期末）为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50名的学生参加复赛.已知共有2000名学生参加了初赛，整理数据后，认为初赛成绩服从正态分布，其中.
(1)已知小明的初赛成绩为90分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛？
(2)决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20道决赛题，每题5分；③每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望.
附：若，则，.
【变式1】（24-25高二下·云南曲靖·期末）（多选）统计学中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则，某厂有一条零件加工的生产线，生产的零件长度服从正态分布（单位：毫米），则下列说法正确的是（ ）（参考数据：，）
A．
B．若，则
C．
D．若抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，应对生产线进行检修
【变式2】（24-25高二下·陕西西安·期末）某企业的甲、乙两条生产线都生产M型零件，一天中，甲、乙两条生产线分别生产320件和1280件M型零件，为了解该企业M型零件的生产质量，现利用比例分配的分层随机抽样，从一天中生产的M型零件中随机抽取40件，测量其尺寸（单位：mm），所得尺寸数据的统计结果如下表：
(1)求这40件M型零件尺寸的平均数和方差；
(2)假设该企业一天中生产的M型零件尺寸服从正态分布，其中用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值试估计：这一天生产的M型零件中，尺寸小于60mm的零件是否少于40件？（参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．）
期末基础通关练（测试时间：10分钟）
1．（24-25高二下·广东江门·期末）若随机变量X服从两点分布，，则为（ ）
A．0.3B．0.5C．0.7D．0.8
2．（24-25高二下·河北衡水·期末）（多选）为激发同学们的学习积极性，某高中组织进行了一系列的自然物理实验．在某个实验中，统计同学们得到的实验测量结果近似服从正态分布．若已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二下·河南商丘·阶段检测）（多选）袋中有8个大小相同的球，其中3个黑球、5个白球.现从中任取4个球，记这4个球中黑球的个数为，则（ ）
A．随机变量服从超几何分布
B．
C．
D．记这4个球中白球的个数为，则
4．（24-25高二下·四川德阳·期末）．若，则__________．
5．（24-25高二下·安徽安庆·期末）某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是，从中随机选择4粒种子进行播种，则恰有3粒种子发芽的概率是_____.
期末重难突破练（测试时间：30分钟）
6．（2025·山东泰安·模拟预测）随机变量，相互独立，且，，则________.
7．（24-25高二下·福建福州·期末）已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则函数的图象（ ）
A．关于直线对称B．关于直线对称
C．关于点成中心对称D．关于点成中心对称
8．（24-25高二下·福建泉州·期末）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则______．

9．（24-25高二下·河南南阳·期末）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量服从两点分布，且，则
B．某实验室有6只小白鼠，其中有3只已经测量过某项指标，若从这6只小白鼠中随机取出3只，则恰好有2只测量过该指标的概率为
C．若随机变量服从二项分布，则
D．若随机变量服从二项分布，且，则，
10．（24-25高二下·山东聊城·期末）某游戏规则如下：参与者一开始在坐标原点处，通过掷一枚质地均匀的骰子决定如何移动，每掷一次骰子，参与者移动一次，一次移动一个单位长度，若得到的点数不大于2，则向右移动一次，并得2分；若点数大于2，则向上移动一次，并得1分．将每次得分的结果相加作为最终得分．已知甲同学参与了游戏，其移动n次后到达点，且最终得分为．
(1)求的概率分布列；
(2)若，游戏结束时甲同学到达哪个点的概率最大？
(3)求的数学期望和方差．
期末综合拓展练（测试时间：30分钟）
11．（24-25高二下·河北邢台·阶段检测）（多选）某计算机程序运行次，每次运行都等可能地产生或中的一个数．记出现的次数为，出现的次数多于出现的次数的概率为，则（ ）
A．B．
C．D．
12．（24-25高二下·江西抚州·期末）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数．例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等．因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中e为自然对数的底数.
(1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为.若，求的值（保留三位小数）；
(2)某公司制造微型芯片，次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数.
（i）若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率；
（ii）若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率.通过比较计算结果，你发现了什么规律？
(3)若，且，求的最大值（保留一位小数）.
参考数据：若，则有，.
专题11 两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布
4大题型（期末复习讲义）
内 容 导 航
明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径
记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区
破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲
题型01 两点分布
题型02 二项分布
题型03 超几何分布
题型04 正态分布
过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效
核心考点
复习目标
考情规律
两点分布
能识别只有两个结果的随机试验，掌握分布列、期望 EX=p、方差 DX=p1−p
基础特例，常作为二项分布的基础，易错点：混淆成功概率 p 与试验次数
二项分布 X∼Bn,p
能识别独立重复试验（n次，每次成功概率p），熟练运用概率公式 PX=k=Cnkpk1−pn−k，掌握期望 np、方差 np1−p
高频核心考点，常以实际背景（投篮、抽检、比赛）出现，解答题必考，易错点：未判断独立性或固定次数
超几何分布
能识别不放回抽样模型（总数N，特殊品M，抽取n个），掌握概率公式 PX=k=CMkCN−Mn−kCNn，期望 EX=n⋅MN
中档考点，常与二项分布对比（放回vs不放回），易错点：组合数上下标对应关系，当N很大时可近似二项分布
正态分布 X∼Nμ,σ2
理解参数 μ（均值、对称轴）和 σ（标准差）的意义，会用 3σ 原则求概率，能进行标准化 Z=X−μσ
小题高频，常考对称性及区间概率，易错点：标准化时符号错误或 3σ 区间端点混淆
0
1
…
…
…
________
…
________
解｜题｜技｜巧
两点分布即伯努利分布，随机变量 X 只取 0 或 1，PX=1=p，PX=0=1−p。期望 EX=p，方差 DX=p1−p。解题关键：判断试验结果是否只有两种对立结果（成功/失败），且概率固定。若问题涉及“成功次数”且只进行一次试验，直接套用两点分布。
解｜题｜技｜巧
二项分布 X∼Bn,p 描述 n 次独立重复伯努利试验中成功次数。概率公式 PX=k=Cnkpk1−pn−k，期望 EX=np，方差 DX=np1−p。适用条件：① 各次试验独立；② 每次试验结果只有两种；③ 成功概率 p 恒定。解题时先确认独立性，再确定 n 和 p，最后根据问题求概率、期望或方差。
解｜题｜技｜巧
超几何分布描述从有限总体中不放回抽样，成功次数的分布。设总体含 N 件，其中 M 件为成功品，抽取 n 件，则成功次数 X 服从超几何分布，PX=k=CMkCN−Mn−kCNn，期望 EX=n⋅MN，方差 DX=n⋅MN⋅1−MN⋅N−nN−1。适用条件：不放回抽样，总体有限。当 N 很大时，可近似为二项分布。
解｜题｜技｜巧
正态分布 X∼Nμ,σ2，概率密度曲线关于 x=μ 对称。解题核心：利用 3σ 原则（Pμ−σ