专题09 条件概率、全概率、贝叶斯公式等概率应用7大题型（期末复习讲义）高二年级数学下学期人教A版

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（1）条件概率
①定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P（A）>0，我们称P（B|A）＝________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称___条件概率_____.
②概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P（A）>0，则____ P（AB）＝P（A）P（B|A）____.
（2）条件概率的性质：设P（A）>0，则
①P（Ω|A）＝1；
②如果B和C是两个互斥事件，则P（（B∪C）|A）＝____ P（B|A）＋P（C|A）____；
③设和B互为对立事件，则P（|A）＝___ 1－P（B|A）_____.
（3）全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）＝________，我们称这个公式为全概率公式.
（4）贝叶斯公式
设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意事件， ，有_________＝_________，．
题型一 条件概率基础计算
【典例1】（24-25高二下·甘肃白银·期末）一枚骰子连续抛掷两次，在第一次抛出的点数是6的情况下，第二次抛出的点数是奇数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由条件概率公式可得结果.
【详解】设事件为“第一次抛出的是点数6”，事件为“第二次抛出的是奇数点”．
则．
故选：A.
【典例2】（24-25高二下·河北石家庄·期末）已知随机事件、满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件概率公式，结合和事件概率公式进行求解即可.
【详解】因为，
所以有，
因此，
故选：A
【变式1】（24-25高二下·天津西青·期末）经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.7，此运动员两次均击中9环的概率为0.56，则在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率，（ ）
A．0.392B．0.56C．0.8D．0.9
【答案】C
【分析】由条件概率计算公式可得答案.
【详解】设第一次击中9环为事件A，第2次击中9环为事件B，
由题可得，
则在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为.
故选：C
【变式2】（24-25高二下·山东淄博·期末）从装有3个白球、4个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，表示事件“两次取出的球颜色相同”，表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据条件概率公式，即可求得答案.
【详解】由题意可得，
表示事件“两次取出的球均是红球”，则，
故，
故选：D
【变式3】（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知事件，满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】计算出，根据概率的基本性质得到，从而求出，，利用条件概率求出答案.
【详解】由题意得，故，
，
又，故，解得，
所以，
故，
由条件概率公式得.
故选：B
题型二 独立事件与条件概率辨析计算
【典例1】（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知事件满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若互斥，则
B．若，则
C．若与相互独立，则
D．若，则与相互独立
【答案】D
【分析】由互斥事件、独立事件定义和性质以及互斥概率加法公式、独立概率乘法公式、条件概率公式即可逐一计算判断各选项.
【详解】对于A，若互斥，则，故A错误；
对于B，若，则，故B错误；
对于C，若与相互独立，则与相互独立，所以，故C错误；
对于D，若，则，所以与相互独立，故D正确.
故选：D
【典例2】（24-25高二下·江苏常州·阶段检测）（多选）一个袋中有大小、形状完全相同的3个球，颜色分别为红、黄、蓝.从袋中无放回地依次取出2个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到黄球”为事件，则（ ）
A．B．
C．，相互独立D．
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，利用条件概率公式及古典概型公式计算可判断ABD；利用相互独立事件的意义判断C.
【详解】对于A，由题，，故A正确；
对于B，因为，，所以，故B正确；
对于C，因为，，，所以不互相独立，故C错误；
对于D，因为，所以，故D正确.
故选：ABD.
【典例3】（24-25高二下·湖北武汉·期末）（多选）小宁连续抛掷一枚骰子2次，记事件A表示“2次结果中正面向上的点数之和为奇数”，事件B表示“2次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，则（ ）
A．事件A与事件B互斥B．事件A与事件B不相互独立
C．D．
【答案】BD
【分析】根据互斥事件的定义可判断A；根据相互独立事件的定义可判断B；求出可判断C；根据条件概率公式可判断D.
【详解】连续抛掷一枚骰子2次，，共有36种样本点，
，共有18样本点，
，
共有27个样本点，
所以，且事件与事件包含的样本点一样，
对于A，事件A与事件B不互斥，故错误；
对于B，，所以，
所以事件A与事件B不相互独立，故正确；
对于C，，故错误；
对于D，，故正确.
故选：BD.
【变式1】（24-25高二下·浙江杭州·期末）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件独立
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题可根据条件概率公式以及，再结合独立事件的判定条件来逐一分析选项.
【详解】对于选项A，因为，所以根据对立事件概率公式可得.又，所以.因此事件与事件不独立，选项A错误.
对于选项B，根据条件概率公式，已知，，将其代入公式可得，，选项B错误.
对于选项C，因为，且与互斥，所以.由选项B可知，又，则，选项C正确.
对于选项D，已知，根据对立事件概率公式可得.由选项B可知，所以，选项D错误.
故选：C.
【变式2】（24-25高二下·广东肇庆·期末）（多选）记随机事件的对立事件分别为，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则事件相互独立
C．
D．若，，，则
【答案】ABD
【分析】对于A，根据条件概率公式可验证；对于B，利用条件概率公式及独立性检验即可判断；对于C，利用条件概率公式可证即可判断；对于D，由条件概率即全概率公式即可求解.
【详解】，，， A正确；
，，，B正确；
，C错误；
，，又，，
.D正确.
故选：ABD.
【变式3】（24-25高二下·福建福州·期末（多选））一口袋中有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则下列说法中正确的是（ ）
A．事件，为对立事件B．
C．事件B，C为独立事件D．
【答案】ABD
【分析】根据独立事件和互斥、对立事件的概念，判断事件之间的关系，通过古典概型概率公式和条件概率公式求事件概率.
【详解】对A，事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球，因为一次只取一个球，事件，，不可能同时发生且必有一个发生，所以为对立事件，A正确.
对B，取出的两球同色分为都是红色和都是白色，则，所以B正确.
对C，已知事件C：取出的两球中至少有一个红球，则对立事件为两个球没有红色，则概率，积事件为两个红色球，则,可知，所以C错误
对D，由题意知，积事件为第一次取白球，第二次取红球，则，根据条件概率公式可知，所以D正确.
故选：ABD.
题型三 条件概率性质应用及相关概率证明
【典例1】假设A，B是两个事件，且，，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据概率的性质以及条件概率公式即可判断ABC；举例判断D.
【详解】对于A，由于，则，A正确；
对于B，由于，，而，不一定相等，故不一定成立，B错误；
对于C，当相互独立时，，而，则，C错误；
对于D，不妨举例抛掷一枚质地均匀的骰子，设A：向上点数为偶数，B：向上点数不小于4，
则，，则，D错误，
故选：A
【典例2】（24-25高二上·江西·期末）对于样本空间中的随机事件A和随机事件B，定义：表示在事件A发生的条件下事件B的发生强度，表示在事件发生的条件下事件B的发生强度．某著名生物科研所为研究上班族患有肥胖症与经常喝“肥宅快乐水”的关系，随机调查了某地区100位上班族，统计数据如下表所示．
(1)完善上述列联表并判断是否有99.5%的把握认为该地区上班族患有肥胖症与经常喝“肥宅快乐水”之间有关联；
(2)证明；
(3)从该地区的上班族中任取一位，记事件A为“此人患有肥胖症”，B为“此人经常喝肥宅快乐水”，利用调查的样本数据，估计的值．
附：，其中．
【答案】(1)列联表见解析，有的把握
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求出与临界值比较即可判断；
（2）由条件概率计算公式即可求证；
（3）由样本数据得到，再由条件概率公式代入计算即可；
【详解】（1）解：完善列联表如下．
根据列联表数据可得
所以有的把握认为该地区上班族患有肥胖症与经常喝＂肥宅快乐水＂有关联．
（2）证明：由，
，
左，右两边展开相同，故得证．
（3）由样本数据可得，又，
故．
【变式1】一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．
(1)求第2次摸到红球的概率；
(2)设第1，2，3次都摸到红球的概率为，第1次摸到红球的概率为，在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为，在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为，求，，，；
(3)对于事件，试根据（2）写出，，，的等量关系式，并加以证明．
【答案】(1)
(2)，，，
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据全概率公式求解即可；
（2）根据相互独立事件乘法公式、条件概率公式及排列数公式求解；
（3）根据（2）猜想，由条件概率公式证明即可.
【详解】（1）记事件“第次摸到红球”为，则第2次摸到红球的事件为，
，，，，
由全概率公式，得．
（2）由已知得，，
，，
．
（3）由（2）可得，即，
可猜想：
证明如下：由条件概率及，，
得，，
所以．
【变式2】（2026·陕西咸阳·三模）某新华书店为庆祝“六一”儿童节，推出购图书参与抽奖的活动，抽奖的奖券分为10元和5元两种“现金抵用券”.规则如下：顾客每购买一本图书可获得1次抽奖机会，且每次抽到10元券的概率为p（）.已知某顾客购买了n本图书，用X表示该顾客在n次抽奖中获得的奖券金额总和，每次抽奖相互独立.
(1)若，，求该顾客抽得的奖券金额总和为30元的概率；
(2)求X的分布列与数学期望；
(3)若，设事件A表示“该顾客前两次抽奖都抽到5元券”，事件B表示“该顾客抽到10元券的总次数不少于2”，证明：PA|B0。计算时先明确事件 A 与 B，再求 PAB 和 PA。常用方法：① 列举法（古典概型）；② 缩小样本空间法：已知 A 发生，则样本空间缩为 A，再计算 B 在其中的比例。注意条件概率与普通概率的区别，避免混淆。
解｜题｜技｜巧
若 A,B 独立，则 PAB=PAPB，且 PB|A=PB。解题时先判断独立性：根据题意（如放回抽样、无关联事件）或利用定义验证。常见错误：把互斥当成独立，注意互斥且非空的事件一定不独立。独立条件下条件概率简化为无条件概率；非独立时需用条件概率公式。
解｜题｜技｜巧
条件概率满足概率公理：① PB|A≥0；② PΩ|A=1；③ 可列可加性。常用性质：PBc|A=1−PB|A；PB∪C|A=PB|A+PC|A−PBC|A。证明题往往利用条件概率定义转化为普通概率，再运用集合运算法则推导。注意反向验证：要证明 PB|A=PB 即证 PAB=PAPB。
患有肥胖症
不患有肥胖症
合计
经常喝
16
不经常喝
18
52
合计
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
患有肥胖症
不患有肥胖症
合计
经常喝
16
32
48
不经常喝
34
18
52
合计
50
50
100
解｜题｜技｜巧
设 {Ai} 为完备事件组（互斥且并集为 Ω），则 PB=∑PAiPB|Ai。解题步骤：① 找出导致事件 B 发生的所有互斥原因 Ai；② 分别计算每个原因的概率 PAi 及该原因下 B 发生的概率 PB|Ai；③ 求和。常用于分步试验、多阶段抽样问题。
解｜题｜技｜巧
题型特点：事件分组不直接给出，需构造或递推；或涉及多次使用全概率（如马尔可夫链）。技巧：① 利用数列关系建立递推公式，如 Pn=p⋅Pn−1+q⋅Pn−2；② 对动态过程，以当前状态为条件，写出下一步的全概率方程；③ 结合对称性、无记忆性简化计算。注意画树状图或状态转移图辅助分析。
解｜题｜技｜巧
贝叶斯公式：PAi|B=PAiPB|Ai∑PAjPB|Aj。用于“已知结果，求原因的概率”。步骤：先利用全概率计算分母 PB，再分别计算分子项。常见陷阱：要先确认 B 已发生；注意先验概率与后验概率的区分。实际应用中，可先列树状图，标注各分支概率，再求逆分支概率。
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1
2
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解｜题｜技｜巧
综合题往往包含多个阶段、多个事件，需灵活运用上述公式。解题策略：① 仔细阅读题目，明确所有事件及关系；② 识别“因→果”结构，确定何时用全概率（由因求果），何时用贝叶斯（执果溯因）；③ 多步问题可分解为若干层，每层用条件概率或全概率；④ 必要时用随机变量表示，将问题转化为期望或分布列问题。典型模型：疾病检测、信号传输等。
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5
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