湖南省岳阳市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省岳阳市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数图象关于点成中心对称
C．函数的最小值为
D．若幂函数在上为减函数，则的值为
3．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
4．某班数学建模小组由4名男生和2名女生组成，现在从中任选2名学生参加活动，则选中的2名学生性别相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．已知集合，，则的必要不充分条件可能是（ ）
A．B．C．D．
6．已知数列是公差为的等差数列，若，，依次构成公比为的等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则（ ）
A．B．C．D．
8．设，分别是椭圆（）的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．若构成空间的一个基底，则下列不能构成空间的一个基底的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知双曲线：，则（ ）
A．双曲线的实轴长为3
B．双曲线的焦点到渐近线的距离为1
C．若直线与的右支有两个公共点，则
D．存在过点的直线与相交于，，且点为的中点
11．设，，（）是函数的三个零点，则（ ）
A．
B．
C．设命题：，，成等差数列，命题：，，成等比数列，则是的充要条件
D．若，，成等差数列，则
三、填空题
12．用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图，得到一个平行四边形，若该平行四边形的较长的一边长为，则原正方形的面积为____________．
13．的展开式中，各项的系数和为____________．
14．若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是____________．
四、解答题
15．记为等比数列的前项和，已知，，且．
(1)求的通项公式；
(2)若的各项呈现正负相间的变化规律，求，判断，，是否成等差数列，并说明理由．
16．某新能源汽车公司近年的年销量（单位：万辆）与投入的年研发经费（单位：千万元）如下表所示：
(1)根据散点图可以认为与之间存在线性相关关系，请用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
(2)已知该新能源汽车公司从配件到汽车实现了一体化生产，设为单个零件的加工成本（单位：元），该公司的某配件加工线加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差，且；引进该公司最新研发的某技术后，加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差，且．试计算引进技术后，单个零件的加工成本下降了多少元．
附：
①参考公式：，；
②若随机变量服从正态分布，则，．
17．如图，四棱柱中，平面，平面平面．过，，三点的平面记为，与的交点为，．

(1)求的值；
(2)若，，二面角的大小为，求四棱柱的体积．
18．已知函数（）．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)试讨论函数的极值点个数；
(3)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围．
19．已知抛物线：（）的焦点为，设点，，其中，点是抛物线在第一象限的部分曲线上的一个动点，当直线的倾斜角为时，．
(1)求的方程；
(2)若线段与相交于点（不与点重合），过点作轴的垂线，交于点（位于第四象限），求证：，，三点共线；
(3)在条件（2）下，已知，直线交轴于点，若以点为圆心，点到轴的距离为半径的圆与一条经过点的直线交于，两点，求的最小值．
参考答案
1．C
解析：由，可得,
则，其虚部为2.
2．B
解析：函数的定义域为，即，选项A错误；
当时，，又因为函数图象关于点中心对称，
所以函数图象关于点成中心对称，选项B正确；
当时，函数，选项C错误；
因为函数是幂函数，所以，解得或，
当时，幂函数在上为增函数；
当时，幂函数在上为减函数，
所以，选项D错误.
3．D
解析：，
则
.
4．C
解析：由题意可知，选中的2名学生的性别相同的概率．
5．B
解析：因为或.
若，则，解得，即A非空；
若，由，此时.
所以的充要条件为：.
对于A，为充要条件，不符合题意；
对于B，成立推不出，但成立，必有，故B符合题意；
对于C，是的充分不必要条件，不符合题意；
对于D，推不出，也推不出，不符合题意.
6．C
解析：由题得，，，
所以，
整理得，
所以，则，
所以．
7．A
解析：因对于任意实数，，都有，
令，可得，
再令，则，从而为奇函数.
注意到，
结合为R上奇函数，为R上偶函数，
可得为R上奇函数，
由题可得存在，且为，存在，且为.
又由奇函数性质可得，
从而.
8．D
解析：由题意，，即，
由于，，则，
设，则，
在中，，，，
由余弦定理得，
则，
解得，即.

9．AB
解析：空间基底判定：三个向量不共面才能构成空间基底；
若存在不全为 0 实数使，则三向量共面，不能作为基底，
A：因为，系数不全为 0，所以三向量共面，不能构成基底；
B：因为，系数全为 1 不全为 0，所以三向量共面，不能构成基底；
C：设，整理：，
不共面，解得唯一解，所以三向量不共面，可以构成基底；
D：设，整理：，
不共面，解得唯一解，所以三向量不共面，可以构成基底.
10．BC
解析：对于A，由题意可知，，，，
则实轴长，故A错误；
对于B，渐近线方程为，即，焦点为，
则焦点到渐近线距离为，故B正确；
对于C，联立得，
由于直线与的右支有两个公共点，设两交点的横坐标分别为，
则，，
，，
解得，故C正确；
对于D，若存在过点的直线与相交于，且为的中点，
则该直线的斜率必然存在，设直线方程为，
设的横坐标分别为，则，
联立，得，
故，此方程无解，
故不存在过点的直线与相交于，且点为的中点，故D错误．
11．ACD
解析：当时，，显然不满足题意；
当时，，只有1个零点，不满足题意；
当时，由，得，
设，则函数与有3个交点，
而，
令，得或；令，得，
则函数在和上单调递减，在上单调递增，
而，，时，，如下图：

由图可知，，，则，故A正确，B错误；
对于C，由题意得，则，
由于，，成等差数列，则，故，而，
所以，故，，成等比数列，
同理，若，，成等比数列，可得，即，
可得，即可得到，，成等差数列，
所以是的充要条件，故C正确；
对于D，由C知，若，，成等差数列，则，且，
所以，化简得，则，
解得或，
又，则，
即，故，即，
又，故舍去，
所以，则，故D正确.
12．16
解析：如图，由直观图的斜二测画法知，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度减半.

已知得到的平行四边形较长的一边为4，所以4即为原正方形的边长.
所以面积为.
13．1
解析：在的展开式中，令,代入即得各项的系数和为.
14．
解析：由题意可知,由，变形得，
即等价于，即；
令，因为，所以在上单调递增，
由，可得，
所以，等价于，
令，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以，因此，即得，
即实数的最大值为.
15．(1)或
(2)，，成等差数列，理由如下：
由（1）知，且的各项呈现正负相间的变化规律，
则，即，所以.
因为，
即，所以，，成等差数列．
解析：（1）设数列的首项为，公比为，
因为，则，可得，
且，则，可知，，
可得，解得，
所以或.
（2）略
16．(1)
(2)8元
解析：（1）由表格数据可得，，
，
，
所以，所以
所以，y关于x的线性回归方程为；
（2）未使用新技术前，记单个零件的加工成本为，，
所以，，又，即，
所以，所以（元）
使用新技术后，记单个零件的加工成本为，，
所以，，，
即，
所以，所以（元），
（元），所以单个零件加工的成本下降了8元
17．(1)3
(2)
解析：（1）因为平面平面，
平面平面，
平面平面
所以，同理可证，
在四棱柱中，
所以，，
所以，所以；

（2）法一：因为，，，四点共面，平面即平面，
二面角大小为，即二面角大小为，
作于，连接，
因为平面，平面，所以，
又，，，平面，所以平面，
又平面，所以，
所以二面角的平面角为，
即，所以，
所以．
所以，，所以，
所以四棱柱的体积．
法二：由向作垂线，垂足为，过作，交于．
所以直线，，两两垂直，以为原点，分别以直线，，为，，轴，建立空间坐标系，如图所示：

设，，，，，
所以四棱柱的体积，
，
，，，，
，，
设平面和平面的法向量分别为，，
易得，
，
取，可得，
设二面角的平面角为
，
解得；
所以，即四棱柱的体积为.
18．(1)
(2)当时，有两个极值点；当时，无极值点．
(3)
解析：（1）若，，，则，，
所以在处的切线方程为：，即．
（2）（）
令，．
1）当，即时，
，在单调递增，无极值．
2）当，即①时，对称轴，又因为，
所以当时，，，在单调递增，无极值．
②时，对称轴，解得，
所以当，时，，单调递增；
当时，，单调递减；
此时在处取得极大值，在处取得极小值，两个极值点．
综上，当时，有两个极值点，分别在处取得极大值，在处取得极小值；当时，无极值点．
（3），分离参数恒成立，
令，则，
又，
，（为的导函数），
故在单调递增，又因为，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增．
所以，
所以，所以实数的取值范围为
19．(1)
(2)设（），则直线的方程为，
又，消元后，得，
由韦达定理，，解得，则
依题意，点与点关于轴对称，则可得，
于是可得，而,
即，故A，D，B三点共线；
(3)
解析：（1）过点作轴的垂线，垂足为，

由，,得，
所以
又由，
，解得，
所以C的方程为；
（2）略
（3）由（2）可得，
所以，，
，
，
设点到直线的距离为，则，
又，
当直线与垂直时，取得最小值
此时，则
，
所以