江苏南京外国语学校2024~2025学年高一下册6月期末考试数学试题[A卷][含解析]

这是一份江苏南京外国语学校2024~2025学年高一下册6月期末考试数学试题[A卷][含解析]，共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．）
1. 若的方差为3，则的方差为（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】根据方差的性质进行求解.
【详解】的方差为3，
的方差为.
故选：D
2. 若，则复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据除法运算求，再根据共轭复数的特征求.
【详解】由题意可知，，
所以.
故选：C
3. 在空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角的大小关系为（ ）
A. 相等B. 互补
C. 相等或互补D. 不确定
【答案】D
【解析】
【分析】的边DE垂直平面，所以 ，作 则.
【详解】如下图所示，确定一个平面，的边DE垂直平面，所以 ，
作，因为平面，而平面，故，
而，故平面，又平面中，则，
对于给定的，当变化时，的取值范围为，
故的大小跟无关.
故选：D
4. 已知向量，若，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由可得，由，得，代入坐标即可.
详解】由题意知，向量，所以，
因为，所以，即，所以，
故选：D.
5. 异面直线所成的角为，过空间一点P作直线l，使l与所成的角均为，这样的直线条数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】首先将直线平移至点，再根据两条直线的夹角和其补角的角平分线，判断直线的条数.
【详解】如图，过点作直线，与的夹角为，所以直线与的夹角相等的直线的射影落在或的的角平分线上，
的角平分线与的夹角为，则其他射影落在角平分线的直线与的夹角都大于，
的角平分线与的夹角为，其他射影落在角平分线的直线与的夹角都大于，
所以只有1条直线l与所成的角均为，也即只有1条直线l与所成的角均为.
故选：A
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知利用两角和与差的余弦公式化简，再将两式相减可求得结果.
【详解】由，得，
由，得，
所以，得，
故选：B
7. 三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，为P在面内的射影，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出，然后求出的面积，再利用等体积法求出，从而可求出的值.
【详解】因为三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，，
所以，，
，
所以，
因为，所以，
所以,
因为，
所以，
所以，得，
所以
，
故选：C
8. 如图，直线为异面直线，直线于于B，且在直线a上，，若直线所成的角为，则点M到直线b的距离是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，设过直线且与平行的平面为，为的公垂线段，在内过点作∥，作于，在内过作于，连接，可证得即为点M到直线b的距离，在中求解即可.
【详解】如图，设过直线且与平行的平面为，为的公垂线段，
在内过点作∥，则与直线成的角，
作于，则平面，
在内过作于，连接，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以即为点M到直线b的距离，
在中，，，
则，
所以，
故选：B

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分．）
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 在中，
B. 在中，若，则
C. 在中，若，则
D. 在中，
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据正弦定理，以及边角互化，判断ACD，根据三角函数值确定角的关系，判断B.
【详解】A.根据正弦定理可知，,
所以，故A正确；
B. 在中，若，则或，
若，则，则，若，，不一定，故B错误；
C. 在中，若，则，根据正弦定理可知，，故C正确；
D. 中，，所以，故正确.
故选：ACD
10. 已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段上的点（不含端点）．设与所成的角为与平面所成的角为，二面角的平面角为，则下列结论正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】首先判断四棱锥为正四棱锥，再根据线线角，线面角和二面角的定义，构造这些角的平面角，再计算正切值，即可判断结论.
【详解】因为四棱锥的底面是正方形，且侧棱长相等，所以四棱锥是正四棱锥，
过作，交于，，过底面中心作交于点，点是的中点，连结，则，
取中点，连结，如下图所示，，

连结，平面，所以，
连结，点是的中点，所以，，
所以是二面角的平面角为，所以，

因为，,所以
均为锐角，所以.
故选：ABC
11. 如图，斜三棱柱的底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2，是的中点，则下列结论正确的有（ ）
A. B. 与底面所成角的正弦值为
C. 斜三棱柱的侧面积D. 侧棱到平面的距离为
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先证明平面，即可证明，即可判断A，根据平面平面，求解与底面所成角，即可判断B，根据几何关系，求侧面积，判断C，根据线面平行，转化为点到直线的距离，即可判断D.
【详解】A.如图，连结，，，，，
所以，所以，且，点是的中点，
所以，，且平面，，
所以平面，平面，所以，故A正确；
B.由A可知，平面，平面，所以平面平面，所以与底面所成角为，
,同理，且,
，且，，
中，，，
所以与底面所成角的正弦值为，故B错误；
C. 由B可知，，即，四边形与全等，
所以四边形的面积为，
由A可知，，，所以，所以四边形的面积是，
所以三棱柱的侧面积的侧面积是，故C正确；
D.取的中点，连结，由以上证明可知，平面，平面，所以平面平面，平面平面，
所以点到平面的距离为点到直线的距离，
如图，四边形是平行四边形，且,
，所以，
所以侧棱到平面的距离为，故D正确.
故选：ACD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 若M是内一点，且满足，则与的面积之比为_______．
【答案】##
【解析】
【分析】设为的中点，连接，则由题意可得为的中点，从而可求得结果.
【详解】设为的中点，连接，则
，
因为，所以，
所以为中点，
所以，
所以,
故答案为：
13. 将半径为R的四个球两两相切的放在桌面上，则上面一个球的球心到桌面的距离为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据几何关系，转化为求正四面体的高，即可求解.
【详解】四个球的球心间的线段长度都是，所以球心构成正四面体，如图
点在平面的射影为底面三角形的中心，，，
所以上面一个球的球心到桌面的距离为.
故答案为：
14. 在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，P是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是_______；与平面所成角的正切值为_______．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】分别取的中点，连接，易证平面平面，由题意知点必在线段上，由此可判断点在或处时最长，位于线段中点处最短，通过解直角三角形即可求得线段长度的取值范围，建立空间直角坐标系，利用空间向量可求出与平面所成角的正切值.
【详解】分别取的中点，连接，，
因为分别为，的中点，
所以∥，∥，所以∥，
因为平面，平面，所以∥平面，
因为∥，，所以四边形为平行四边形，
所以∥，
因为平面，平面，所以∥平面，
因为，平面，
所以平面∥平面，
因为P侧面内一点，且平面，
所以点必在线段上，
在中，，
在中，，
所以为等腰三角形，
当点为的中点时，，此时最短，
当点在或处时最长，
因为，所以，
因为，，
所以线段长度的取值范围是，
以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则
，
所以，
设平面的法向量为，则
，令，则，
设与平面所成角为，则
，
因为为锐角，所以，
所以，
故答案为：，
【点睛】关键点点睛：此题考查线面角的求法，考查线面平行的性质，解题的关键是面面平行的判断和线面平行的关系得到点必在线段上，考查空间想象能力，属于较难题.
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 如图是一个方形迷宫，甲、乙两人分别位于迷宫的、两处，两人同时以每一分钟一格的速度向东、西、南、北四个方向行走，已知甲向东、西行走的概率都为，向南、北行走的概率为和，乙向东、西、南、北四个方向行走的概率均为.
（1）求和的值；
（2）问最少几分钟，甲、乙二人相遇？并求出最短时间内可以相遇的概率.
【答案】（1）；
（2）分钟；.
【解析】
【分析】（1）根据概率和为，解方程即可得到的值，由乙向东、南、西、北四个方向行走的概率均为，得到关于的方程，解方程即可；
（2）当时甲、乙二人可以相遇，设在三处相遇的概率分别为、、，写出三个概率的值，最后相加即可得到结果.
【小问1详解】
；
又.
【小问2详解】
根据方形迷宫，以及甲、乙两人所处位置可知，
最少需要分钟，甲乙二人可以相遇（如图、、三处相遇）；
设在、、三处相遇的概率分别为、、，
则
即所求的概率为.
16. 如图，棱长为a的正方体中，分别是上的点，．
（1）求B点到平面的距离；
（2）求与平面所成角的余弦值．（请不用空间向量法，用空间向量法不得分）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先证明平面，再根据点到平面的距离定义求解；
（2）首先利用平行关系转化，在根据（1）的垂直关系，求线面角，即可求解.
【小问1详解】
连结，，交于点，
因为平面，平面，所以，
，，且平面
所以平面，
所以点到平面的距离为；
【小问2详解】
在上取点，连结，使，且，
所以，且，又，且,
所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以与平面所成角为与平面所成角,
由（1）知，平面，所以为所求角，
，，
所以，，
所以与平面所成角的余弦值为.
17. 中，内角所对的边为，．
（1）若，试确定的形状；
（2）若，是的平分线，求长．
【答案】（1）等边三角形，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求出，，得到为等边三角形；
（2）在（1）基础上，由余弦定理得到，由勾股定理逆定理得到，由角平分线得到，求出答案.
【小问1详解】
，
因为，所以，
又，
又，故，
化简得，
又，故为等边三角形；
【小问2详解】
由（1）知，，
又，
在中，由余弦定理得，
故，
由于，故为直角三角形，其中，
又是的平分线，故，
故，即，

故的长为
18. 如图，四棱锥中，平面．
（1）若为中点，证明：平面；
（2）若，且二面角的大小为，求．
（请不用空间向量法，用空间向量法不得分）
【答案】（1）证明详见分析.
（2）.
【解析】
【分析】（1）取中点为，由题意得，且，可得四边形为平行四边形，所以，再由线面平行的判定定理证明即可.
（2）将二面角转化为平面角，如图，再由线面关系可得为直角三角形，设，用等面积法将所需边长用表示出来，结合，用锐角三角函数即可求出.
【小问1详解】
取中点为，连接，
分别为的中点，
，且，又，
由平行传递性可得，且，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面
【小问2详解】
过点作，垂足为，
面，，面，，
过点作，垂足为，连接，
面，，
二面角的平面角为.
面，，又面，面，
面，，
设，则，由已知得，
在和中，由等面积法得：
，得，
，得，
，，面，又面，，
在中，，
，解得，.
19. 设是虚数，，且．
（1）求的值及的实部的取值范围；
（2）求证：是纯虚数；
（3）求的最小值．
【答案】（1）1；
（2）证明见解析. （3）
【解析】
【分析】（1）设出复数，写出的表示式，进行复数的运算，把整理成最简形式，根据所给的的范围，得到的虚部为，实部属于这个范围，得到的实部的范围．
（2）根据设出，整理的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问求出的、的范围，得到是一个纯虚数．
（3），再利用基本不等式即可求的最小值．
【小问1详解】
因为是虚数，设，则，
，，，，，此时，
，，即的实部的取值范围.
【小问2详解】
，，
，，，是纯虚数.
【小问3详解】
，可得，
当且仅当，即时取得最小值为.