江苏省南京外国语学校2022-2023学年高一下学期期中数学试题

南京外国语学校2022-2023学年度第二学期期中

高一数学

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案直接填写在答题卡相应位置上

1.复数在复平面内对应的点在（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.在平行四边形中，对角线与交于点，，则（    ）

A. B. C. D.

3.复数的三角形式是（    ）

A.  B. 

C. D.

4.已知，，且，则（    ）

A. B. C. D.

5.古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus，大约公元前417年-公元前369年）通过下图来构造无理数，，，…，记，，则（    ）

A. B. C. D.

6.已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，，则面积的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

7.设，，，则有（    ）

A. B. C. D.

8.的三个内角，，的对边分别为，，，若三角形中，，且，则（    ）

A.3 B. C.2 D.4

二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分）

9，若，为复数，则下列四个结论中正确的是（    ）

A. B.是纯虚数或零

C.恒成立 D.存在复数，，使得

10.的内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（    ）

A.若，则

B.若，则此三角形为等腰三角形

C.若，，，则此三角形必有两解

D.若是锐角三角形，则

11.已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A.的最小正周期是

B.若为奇函数，则的一个可取值是

C.的一条对称轴可以是直线

D.在上的最大值是1

12.已知，，是单位圆上的三点，满足，，且，其中为非零常数，则下列结论一定正确的有（    ）

A.若，则 B.若，则

C.  D.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上

13.设复数满足，则的模为______.

14.已知是第二象限角，且，则______.

15.已知向量，，若与共线且方向相反，则______.

16.在中，，，，为的外心，若，，，则______.

三、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上

17.（本小题满分10分）

（1）已知，求的值；

（2）求的值.

18.（本小题满分10分）

已知向量，.

（1）若，求的值；

（2）若与的夹角为钝角，求的取值范围.

19.（本小题满分10分）

已知是复数，和都是实数.

（1）求复数；

（2）设关于的方程有实根，求纯虚数.

20.（本小题满分10分）

已知复数，，i为虚数单位，.

（1）若为实数，求的值；

（2）若复数，对应的向量分别是，，存在使等式成立，求实数的取值范围.

21.（本小题满分15分）

如图，某镇有一块空地，其中，，.当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，都在边，上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在的一周安装防护网.

（1）当时，求防护网的总长度；

（2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地面积的倍，试确定的大小；

（3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？

22.（本小题满分15分）

如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中线，已知且

，.

（1）求边的长度；

（2）求的面积；

（3）设点，分别为边，上的动点（含端点），线段交于，且的面积为面积的，求的取值范围.

1.【答案】D；

【解析】，对应点在第四象限，故选D.

2.【答案】A；

【解析】，故选A.

3.【答案】C；

【解析】，，故选C.

4.【答案】D；

【解析】由可得，

由，可得，则，由，可得，故选D.

5.【答案】A；

【解析】由题意，，，则，

，则，故选A.

6.【答案】A；

【解析】由余弦定理，则，

法一：由正弦定理，

，

由三角形为锐角三角形，则，，则，故选A.

法二：点轨迹为弧，圆心角，结合图形可得答案.

7.【答案】A；

【解析】，，

，故，故选A.

8.【答案】D；

【解析】三角形中，则，

由，可得，则，

则，，则，

由正弦定理，由，可得，即，则，，故选D.

9.【答案】BC；

【解析】A选项，，显然不一定等于，A错误；

B选项，设，则，B正确；

C选项，设，在复平面内对应点为，，则，，，

则，C正确；

D选项，由复数模的运算性质，D错误；故选BC.

10.【答案】AD；

【解析】A选项，由正弦定理，可得，即，则，A正确；

B选项，或，B错误；

C选项，由正弦定理，，则，仅有一解，C错误；

D选项，法一：由三角形为锐角三角形，则，，，

即，则，同理，

则，D正确；

法二：，，

锐角三角形中，，，

则，，则，D正确；故选AD.

11.【答案】AC；

【解析】，

A选项显然正确；B选项，不是奇函数，B错误；

C选项，对称轴满足，即，，C正确；

D选项，时，，则最大值为，D错误；故选AC.

12.【答案】ABC；

【解析】由，可得，

A选项，时，，，，可得，A正确；

B选项，时，，则，由，可得，B正确；

C选项，由，可得，

，

由，可得，则，

则，，则，C正确；

D选项，，D显然错误；故选ABC.

13.【答案】；

【解析】，则.

14.【答案】；

【解析】由是第二象限角，可得是第二或三象限角，，，

则.

15.【答案】；

【解析】由共线可得，则，时，同向，时，反向，

此时，.

16.【答案】；

【解析】由数量积的几何意义，，，

则，，

则，，则，，则，则.

17.【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由可得，

则；

（2）原式.

18.【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由，可得，解得；

（2）与的夹角为钝角时且，不共线，即且，则且，实数的取值范围是.

19.【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设，，，则，，

由和都是实数，可得，即，，则；

（2）设方程实根为，，，，

则，即，

由，可得，则，，则.

20.【答案】（1）；（2）.

【解析】（1），

由为实数，可得，即，由可得，

则，即；

（2），，由，可得，

即，

即，时，

由存在使等式成立可得，可得，，

解得实数的取值范围是.

21.【答案】（1）9km；（2）；（3），.

【解析】（1）由，，，可得，

三角形中，由余弦定理，

则，则，则，则，

则三角形为等边三角形，防护网总长；

（2）设，由，则，

则，三角形中，，，则，

由正弦定理，则，则，

由可得，则，则；

（3）设，则，，

三角形中，由正弦定理，，则，

三角形中，由正弦定理，，则，

则，

则时，最小，最小值为；

答：应设计使，可使的面积最小，最小面积是.

22.【答案】（1）4；（2）；（3）.

【解析】（1）由，

由正弦定理，可得，

由余弦定理，可得，则，

（2）由为边上中线，可得，则，

由，可得，

则，则，

则，则；

（3）由，可得，，

设，，，，

由的面积为面积的，可得，

则，则，，设，由为中线，可得，

则，由，，共线可得，

，

由可得，

由，可得，则.