湖南省长沙市明德中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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2025年11月
时量：120分钟 满分：150分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. “且”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】充分性: 且，则，充分性成立;必要性: 若，则且，或且，必要性不成立.故“且”是“”的充分而不必要条件.
故选:A.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解.
【详解】因为，，则，
故选：B.
3. 已知函数，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将直接代入解析式即可.
【详解】因为函数，所以，
故选：D
4. 已知，则的最小值为（ ）
A. 1B. 4C. 8D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】由基本不等式可得答案.
【详解】，当且仅当，即时取等号.
故选：C
5. 下列函数中，是奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数解析式的形式，直接判断选项.
【详解】偶函数，是奇函数，和是非奇非偶函数.
故选：B
6. 函数（，且）恒过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用即可求解.
【详解】令，则，解得，
则函数（，且）恒过点．
故选：C.
7. 函数在的图像大致为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．
【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．
【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
8. 设，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性和对数函数的单调性可得正确的选项.
【详解】，而，故，
又，故，
故.
故选：D
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，若，则（ ）
A. B. 2C. 0D. 1
【答案】BC
【解析】
【分析】分情况讨论，代入解析式可求答案.
【详解】当时，，解得，满足要求，
当时，，解得，满足要求.
故选：BC.
10. 函数与是同一个函数的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】CD
【解析】
【分析】根据函数的两要素：定义域和对应法则，逐项判断即可.
【详解】选项A：函数的定义域为，函数的定义域，定义域不同，故不是同一个函数；
选项B：函数的定义域为，函数的定义域，定义域不同，故不是同一个函数；
选项C：函数的定义域为，函数的定义域为，定义域和对应法则都相同，故是同一个函数；
选项D：函数的定义域为，函数的定义域为，定义域和对应法则都相同，故是同一个函数.
故选：CD.
11. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．则下列说法正确的是（ ）
A. 函数图象的对称中心是
B. 类比上述推论，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数
C. 已知方程有实根，则
D. 已知函数，设定义域为R函数关于中心对称，若，且与的图象共有20个交点，记为，则的值为40
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，得到，故为奇函数，得到图象的对称中心是，A正确；B选项，类比上述推论，充要条件是函数为偶函数，B错误；C选项，设，，的解中不包含，参变分离可得，由于，故，从而得到的取值范围，C正确；D选项，变形换元得到为奇函数，故关于中心对称，故20个交点也关于中心对称，分组求和得到D正确.
【详解】A选项，
，
令，定义域为R，
且，所以为奇函数，
故图象的对称中心是，A正确；
B选项，类比上述推论，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，B错误；
C选项，设，，
其中，故的解中不包含，
参变分离可得，由于，故，
所以，C正确；
D选项，，，
令，定义域为，
则，故为奇函数，
故关于中心对称，
函数关于中心对称，故与的图象的20个交点也关于中心对称，
设关于对称的两个交点分别为，，
则，故，
则，D正确.
故选：ACD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.
【详解】方程的解为或，
故不等式的解集为，
故答案为：.
13. 已知函数，若，则______
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性直接可得.
【详解】由，函数定义域为R，，
所以函数为奇函数.
又，所以.
故答案为：.
14. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】分别讨论当时，的值域和当时，的值域，根据分段函数的值域取二者的并集，结合集合的并集运算即可求解.
【详解】当时，在上单调递增，
所以时，；
当时，，
①若，则在上单调递增，在上单调递减，
则时，，即时，，
又时，，
此时，函数的值域为，不满足题意，舍去；
②当时，函数此时值域为，不满足题意，舍去；
③当时，在上单调递减，
则时，，即时，，
因为函数的值域为，
又时，；
则时，且，
不等式解得：，
不等式等价于时，，
设（），
因为在上单调递增，在上是增函数，
所以在上单调递增，又，
所以时，等价于，即，
则不等式解得：，
所以时，的解集为，
综上：实数的取值范围是，
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 计算：
（1）；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）
（2）-1
【解析】
【分析】（1）由指数幂的运算可得；
（2）先由指对互换把已知变形为，再利用对数的运算性质计算可得.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
因为，所以，
所以.
16. 已知函数，且.
（1）求的值.
（2）判断在上的单调性，并证明.
【答案】（1）.
（2）在上单调递增，证明见解析
【解析】
【分析】（1）把代入解出参数；
（2）设，证明结合单调性定义即可证明．
【小问1详解】
，；
小问2详解】
在上单调递增．
证明：设，则．
因为，所以，，所以，
因此在上单调递增．
17. 已知函数.
（1）求函数的定义域，并判断函数的单调性；（单调性不要求证明）
（2）如果，求的取值范围；
（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）定义域为在上单调递增.
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）令解出即可得其定义域，结合对数函数单调性即可得该函数单调性；
（2）结合函数定义域与单调性计算即可得；
（3）由该函数单调性可得恒成立，利用根的判别式计算即可得.
【小问1详解】
由，得，所以的定义域为，
又为增函数，故在上单调递增；
小问2详解】
因为的定义域为，且是增函数，
所以，解得，
所以的取值范围是；
【小问3详解】
因为等价于对任意恒成立，
所以，解得，所以实数的取值范围是.
18. 某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为200万元，每生产台，需另投入生产成本万元，且，当生产5台时需另投入生产成本75万元.若每台设备售价70万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完.
（1）求的值；
（2）求该企业投资生产这批新型机器的年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式（利润销售额成本）；
（3）这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1）1 （2）
（3）年产量为22台时，该企业所获利润最大，最大利润是500万元
【解析】
【分析】（1）由已知条件代入解析式待定系数可得；
（2）由题意条件，由销售额减去固定成本与另投入成本，得到函数关系式；
（3）利用二次函数的性质与基本不等式分别在各段求解最值，然后比较大小即可求出分段函数的最值.
【小问1详解】
将，代入，
得，解得.
【小问2详解】
由题意得，，.
当时，由（1）知，，
则；
当时，.
则，
所以年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式为：
.
【小问3详解】
由（2）得当时，
，
所以当时，；
当时，，，
当且仅当，即时等号成立，
所以当时，.
又，故时，利润最大，最大利润是500万元.
综上所述，年产量为22台时，该企业所获利润最大，最大利润是500万元.
19. 对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数和”生成的.
（1）若是由“基函数和”生成的，求的值；
（2）试利用“基函数和”生成一个函数，满足为偶函数，且.
①求函数的解析式；
②已知，对于上的任意值，记，求的最大值.（注：.）
【答案】（1）1 （2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据题意，由求解即可；
（2）①设，利用为偶函数得到，再由即可求出；②化简，判断在上的单调性，利用单调性，设，
则，
化简，再求出最大值即可.
【小问1详解】
由已知，可得，
则，
则，解得，
所以实数的值为1.
【小问2详解】
①设，
因为为偶函数，所以，
由，可得，
整理可得，即，所以，
所以对任意恒成立，所以，
所以，
又因为，所以，所以，
故函数的解析式为.
②由①知.
在内任取，且，
则，
因为
，
所以，所以，
所以，即，
所以，即，
所以函数在上是增函数，同理可证，函数在上是减函数.
设，
则，
所以
，
当且仅当或时，有最大值，
故的最大值为.
【点睛】“新定义”主要是指新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解，但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.