2025--2026学年吉林长春外国语学校高一下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年吉林长春外国语学校高一下册期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的．
1. 已知平面向量，满足，，与的夹角为120°，则（ ）
A. B. C. 1D.
2. 已知复数，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知圆锥的底面半径为3，高为4，则它的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，是线段上的靠近的三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知平面，，直线，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点，，若平面ADE，则实数的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
7. 在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 在三角形中，，，点P满足，则的最大值为（ ）
A. 11B. 16C. 18D. 25
二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的．选对得6分，部分选对得部分分，多选或错选得0分．
9. 下列叙述错误的是（ ）
A. 已知直线和平面，若有两个不同点，满足点，点且，则
B. 若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面
C. 如果直线，则平行于经过的任何平面
D. 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合
10. 设复数，（x，），在复平面内，，对应的向量分别为，，O为坐标原点，则（ ）
A. B.
C. 若，则D. 若，则的最大值为
11. 如图是函数的部分图象，则（ ）
A.
B. 的最小正周期为
C. 是函数的一条对称轴
D. 将函数的图象向右平移个单位后，得到函数，则函数的解析式为
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，的夹角为，，，则___________．
13. 一梯形的直观图是如下图的等腰梯形O′A′B′C′，且上底为1，下底为3，高为1，则原梯形的面积为________.
14. 中国的古建筑榫卯咬合、斗拱层叠，不用一钉一铆，却撑起千年不倒的殿宇廊檐．攒尖是中国古建筑中屋顶常见的一种结构形式，它可以看作是正三棱柱和不含下底面的正四棱台的组合体，如图．已知图中正四棱台上底、下底的长度分别为米，米，侧棱长为5米，正三棱柱各棱长均相等，则该结构的体积为______立方米．
四、解答题：本题共有5小题，共77分．
15. 已知向量．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求与的夹角的值．
16. 如图，在三棱锥中，、分别是、的中点，平面平面.
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）若三棱锥的各棱长均为，求它的表面积．
17. 已知复数
（1）若，求实数的值；
（2）若复数对应的点在第四象限，求的取值范围.
18. 如图，一个圆锥的底面半径为1，高为4，在圆锥中有一个内接圆柱.
（1）求圆锥的表面积与体积；
（2）设圆柱的底面半径为，当为何值时，圆柱的表面积最大，最大表面积为多少.
19. 已知向量a=2csx, csx，b=3sinx, −2csx，设函数．
（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；
（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围．
数学
第Ⅰ卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的．
1. 已知平面向量，满足，，与的夹角为120°，则（ ）
A. B. C. 1D.
答案：B
解析：
解答过程.
2. 已知复数，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：因为，所以复数的虚部为.
3. 已知圆锥的底面半径为3，高为4，则它的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据圆锥侧面积公式求解即可.
解答过程：圆锥的母线长，则它的侧面积．
4. 在中，是线段上的靠近的三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：根据向量的加法计算即可.
解答过程：
由题意可知.
5. 已知平面，，直线，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：A
解析：
思路：结合充分条件与必要条件定义判断即可得.
解答过程：若，由，则，
故“”是“”的充分条件；
若，平面，可能相交也可能平行，
故“”不是“”的必要条件；
综上可得：“”是“”的充分不必要条件.
6. 在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点，，若平面ADE，则实数的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：B
解析：
思路：连接，利用线面平行的性质及平行线分线段成比例定理列式求解.
解答过程：在三棱柱中，E是棱的中点，连接，连接，
由平面，平面平面，平面，
得，所以.
7. 在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：设长方体外接球的半径为．
因为，所以，该长方体外接球的体积．
8. 在三角形中，，，点P满足，则的最大值为（ ）
A. 11B. 16C. 18D. 25
答案：B
解析：
思路：将转化为，判断点P在以C为圆心半径为2的圆上，结合圆的几何性质以及数量积的运算律，即可求得答案.
解答过程：如图，把三角形ABC补成矩形，由，知,
由，知，
则
，
，知点P在以C为圆心半径为2的圆上，
延长与圆交于点E，
当P点与E点重合时最大，
此时.
二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的．选对得6分，部分选对得部分分，多选或错选得0分．
9. 下列叙述错误的是（ ）
A. 已知直线和平面，若有两个不同点，满足点，点且，则
B. 若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面
C. 如果直线，则平行于经过的任何平面
D. 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合
答案：BCD
解析：
解答过程：选项A：根据平面的基本事实，若一条直线上的两个不同点都在某平面内，则直线上所有点都在该平面内，故选项A的表述正确，故不选择选项A.
选项B：三条直线两两相交时，不一定确定一个平面，例如三条直线两两相交且交于同一点时，三条直线可能不共面（比如空间直角坐标系中交于原点的轴），此时可确定3个平面，无法确定一个平面，表述错误，故选择选项B.
选项C：因为直线，所以存在某平面同时经过直线和，则在该平面内，并非平行于该平面，表述错误，故选择选项C.
选项D：若两个平面的三个公共点共线，则两个平面可能相交，交线就是三个点所在的直线，不一定重合，表述错误，故选择选项D.
10. 设复数，（x，），在复平面内，，对应的向量分别为，，O为坐标原点，则（ ）
A. B.
C. 若，则D. 若，则的最大值为
答案：ABD
解析：
思路：利用共轭复数及复数模的意义求解判断A；利用复数乘法及模的意义求解判断B；利用向量共线的坐标表示判断C；确定点的轨迹并求出最大值判断D.
解答过程：对于A，，则，A正确；
对于B，，，
而，因此，B正确；
对于C，，由，得，C错误；
对于D，由，即，
得点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
表示点与点的距离，该距离最大值为，D正确.
11. 如图是函数的部分图象，则（ ）
A.
B. 的最小正周期为
C. 是函数的一条对称轴
D. 将函数的图象向右平移个单位后，得到函数，则函数的解析式为
答案：ABD
解析：
思路：根据图象得到的解析式，利用正弦函数的性质和图象变换一一判断即可.
解答过程：对于A，由的图象可得，故A正确；
对于B，设的最小正周期为，则，得，故B正确；
对于C，因为，所以，又，得，
得，又，所以，所以，
又，所以不是的一条对称轴，故C错误；
对于D，将函数的图象向右平移个单位后，
得到，故D正确.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，的夹角为，，，则___________．
答案：
解析：
思路：利用垂直关系的向量表示求出，根据向量数量积的定义求得，结合数量积的运算律求解即可.
解答过程：由，得，即a2−a⋅b=0 ，所以a⋅b=a2=32=9 .
又a⋅b=a⋅bcsa,b=3b×32=332b，所以332b=9 ，即.
所以2a⃗−b⃗=2a⃗−b⃗2=4a⃗2−4a⃗⋅b⃗+b⃗2=4×32−4×9+232=23.
13. 一梯形的直观图是如下图的等腰梯形O′A′B′C′，且上底为1，下底为3，高为1，则原梯形的面积为________.
答案：
解析：
思路：根据已知确定原梯形的边长且是直角梯形，进而求出其面积.
解答过程：由题意，且，，则，，，
所以原梯形是上下底分别为1，3，高为的直角梯形，则其面积为.
14. 中国的古建筑榫卯咬合、斗拱层叠，不用一钉一铆，却撑起千年不倒的殿宇廊檐．攒尖是中国古建筑中屋顶常见的一种结构形式，它可以看作是正三棱柱和不含下底面的正四棱台的组合体，如图．已知图中正四棱台上底、下底的长度分别为米，米，侧棱长为5米，正三棱柱各棱长均相等，则该结构的体积为______立方米．
答案：70
解析：
解答过程：图中正四棱台如下图，的中点为,的中点为，连接，过作于，
则,，
故图中正四棱台的体积为：立方米，
图中正三棱柱的体积为： 立方米，
所以该结构的体积为：立方米
四、解答题：本题共有5小题，共77分．
15. 已知向量．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求与的夹角的值．
答案：（1）
（2）解析：
（1）由，得，
因为，所以，解得.
（2）由，，
则，因为，
所以，解得，则，
所以，
因为，所以.
16. 如图，在三棱锥中，、分别是、的中点，平面平面.
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）若三棱锥的各棱长均为，求它的表面积．
答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
解析：
思路：（1）利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）利用面面平行的性质定理可证得结论成立；
（3）分析可知该三棱锥为正四面体，利用三角形的面积公式求解即可.
（1）因为、分别是、的中点，
所以是的中位线，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）由（1）可知平面
因为平面，平面平面，所以.
（3）若三棱锥的各棱长均为，
则该三棱锥为正四面体，四个面是全等的等边三角形，
一个等边三角形的面积为，故该几何体的表面积为.
17. 已知复数
（1）若，求实数的值；
（2）若复数对应的点在第四象限，求的取值范围.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用复数的乘法运算与复数相等的条件可得的条件，计算即可.
（2）利用复数的除法运算化简，根据象限内实部虚部的符号建立不等式组求解.
（1）由题意得，，
，；
（2）由题意得，
复数对应的点在第四象限，，所以，
故的取值范围为.
18. 如图，一个圆锥的底面半径为1，高为4，在圆锥中有一个内接圆柱.
（1）求圆锥的表面积与体积；
（2）设圆柱的底面半径为，当为何值时，圆柱的表面积最大，最大表面积为多少.
答案：（1），
（2）解析：
思路：（1）根据圆锥的表面积及体积公式计算即可；
（2）根据相似计算出圆柱的高，再写出表面积公式再结合二次函数得出最大值.
（1）如图：圆锥的母线；
；
（2）记圆柱的表面积为，圆柱高为，则.
，即，
解得，其中；
所以，
当时，.
19. 已知向量，，设函数．
（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；
（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围．
答案：（1）最小正周期为，单调递减区间为，
（2）解析：
思路：（1）根据向量的数量积、二倍角公式及辅助角公式求出，结合正弦型三角函数的性质进一步求解即可.
（2）根据伸缩变换求出，求出在区间的值域，结合题意即可求出的范围.
（1）.
所以，的最小正周期为.
令，，解得，，
所以的单调递减区间为，.
（2）由函数图象的伸缩变换可知，gx=2sinx−π6−1 .
当时，，此时sinx−π6∈−12,32，所以gx∈−2,3−1.
若方程在区间上有实数解，即k=gx在区间上有解，
所以实数的取值范围为.