2025--2026学年吉林东北师范大学附属中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年吉林东北师范大学附属中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 复数（其中i为虚数单位）是实数，则实数a的值为（ ）
A. 1或B. 1C. D. 0或
2. 化简（ ）
A. B. C. D.
3. 函数的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象( )
A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度
4. 已知点，，则与向量方向相反的单位向量是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数是奇函数，函数的最小正周期为，且，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
6. 已知点C是单位圆劣弧上一点，，以O为原点，OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设，则，如图所示.若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 在△ABC中，若，且满足，则△ABC的面积等于（ ）
A. B. 2C. D. 1
8. 函数f（x）＝的部分图象如图所示，其中A，B两点为图象与x轴的交点，C为图象的最高点，且△ABC是等腰直角三角形，且.已知函数，若存在实数，且，使得，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.
9. 复数z满足（其中i是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A. z的虚部为B. z在复平面内对应的点位于第四象限
C. D. |z|＝
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期是B. 直线是函数图象的一条对称轴
C. 函数的值域是 D. 函数的单调递减区间是
11. 下列有关平面向量的说法中，正确的是（ ）
A. 若平面向量满足，则的最小值是
B. 若平面向量满足，则的最大值是
C. 若平面向量，，则在上的投影向量是
D. 在中，若对任意，均有，则为锐角三角形
三、填空题：本题共3个小题，每小题4分，共12分.
12. 在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2＋i，若点A关于虚轴的对称点为点B，则点B对应的复数是______.
13. 在中，，，，平分交于点，则的面积为______．
14. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，，，三点满足，且函数的最小值为，则实数的值为______.
四、解答题：本题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设向量，，.
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值.
16. 已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为.
（1）求的值；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若函数在区间上存在零点，求实数k的取值范围.
17. 某环保监督组织为了监控和保护查干湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点进行测量，在点测得，在点测得，在点测得，并测得，（单位：千米）．
（1）求的距离；
（2）求的距离．
18. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点．
（1）若，求的值；
（2）若，，求的最小值．
19. 已知函数，其中，.
（1）若，求函数的单调递增区间和最小值；
（2）在中，、、分别是角、、的对边，且.
（i）求的值；
（ii）若是边上的一点，且，，当取最大值时，求的面积.
数学
一、单项选择题：本题共8道小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数（其中i为虚数单位）是实数，则实数a的值为（ ）
A. 1或B. 1C. D. 0或
答案：C
解析：
解答过程：由题可知，所以
2. 化简（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：利用向量的加减法运算法则可得答案.
解答过程：，
故选.
方法提示：本题考查向量的加减法运算法则的应用，属于简单题.
3. 函数的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象( )
A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度
答案：B
解析：
思路：由条件利用函数的图像变换规律，可得结论
解答过程：函数
要得到的图像，可以将的图像向右平移个单位长度
故选
方法提示：本题主要考查了函数的图像变换规律，熟练掌握三角函数图像左加右减的平移原则是解题的关键，属于基础题．
4. 已知点，，则与向量方向相反的单位向量是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：与非零向量方向相反的单位向量为，进而可求得结果.
解答过程：，，，则，
因此，与向量方向相反的单位向量是.
故选：D.
方法提示：本题考查单位向量的求解，利用结论：与非零向量方向相反的单位向量为是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
5. 已知函数是奇函数，函数的最小正周期为，且，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
答案：B
解析：
思路：由最小正周期求得，由奇函数及得出，再由列出方程求解即可．
解答过程：因为函数的最小正周期为，所以，
又是奇函数，所以，
又，所以，
由．
6. 已知点C是单位圆劣弧上一点，，以O为原点，OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设，则，如图所示.若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示列式，再利用辅助角公式及正弦函数的性质求解.
解答过程：依题意，，而，
由，得，则，
由，得，因此，
所以的取值范围是.
7. 在△ABC中，若，且满足，则△ABC的面积等于（ ）
A. B. 2C. D. 1
答案：C
解析：
思路：先根据正弦定理及余弦定理求出，从而得到，再根据数量积的定义得到，进而根据三角形的面积公式即可求解．
解答过程：由，
则由正弦定理有，即
则由余弦定理有，
又在△ABC中，，则，
又，即，
所以△ABC的面积为．
8. 函数f（x）＝的部分图象如图所示，其中A，B两点为图象与x轴的交点，C为图象的最高点，且△ABC是等腰直角三角形，且.已知函数，若存在实数，且，使得，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：先利用向量关系与等腰直角三角形的几何特征，求出正弦函数的周期、相位，确定解析式；再分析分段函数的图像特征，结合三角函数的对称性，将目标式化简为关于函数值的二次函数，最后根据的取值范围，利用二次函数的单调性求出最大值.
解答过程：设 ，，由 ，得：，
∵ 为等腰直角三角形， 为最高点（高为1），
∴ 斜边 ，即：，
联立解得：，
∵ 为半个周期，∴ ，即 ，故：，
将 代入 ：，
得 ，故：，
已知：，
设 ，：
当 时：，即，
当 时：方程 有两个不同解；
对 ，令：，
解得对称轴为：，
在区间 内，唯一对称轴为 ，由对称性，两根关于 对称，
所以：，即，
所以 ，
求 的取值范围：
当 时，，，
要使方程有两个不同解，则：，即 ，
函数 开口向下，对称轴为 ，
在 上单调递减，故当 时， 取最大值：
.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.
9. 复数z满足（其中i是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A. z的虚部为B. z在复平面内对应的点位于第四象限
C. D. |z|＝
答案：AB
解析：
解答过程：，所以z的虚部为，A正确；
z在复平面内对应的点为，位于第四象限，B正确；
，C错误；
，D错误.
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期是B. 直线是函数图象的一条对称轴
C. 函数的值域是 D. 函数的单调递减区间是
答案：BD
解析：
思路：根据正切函数的性质，结合绝对值的特点，分别对函数的周期、值域、对称轴和单调区间进行分析.
解答过程：选项A：因为函数，其周期与相同，为，
因为题中，则周期，故A错误；
选项B：因为 的对称轴为 ，
令 ，则对称轴为 ，
当 时，，符合条件，故B正确；
选项C：因为，当 时，，
故值域为 ，不是 ，故C错误；
选项D：因为 的单调递减区间为 ，
则令 ，解得：，
所以与选项D的区间一致，故D正确；
11. 下列有关平面向量的说法中，正确的是（ ）
A. 若平面向量满足，则的最小值是
B. 若平面向量满足，则的最大值是
C. 若平面向量，，则在上的投影向量是
D. 在中，若对任意，均有，则为锐角三角形
答案：AB
解析：
思路：利用向量的数量积定义和运算可求得，由此可得AB正确；利用投影向量的求法可知C正确；作，根据，令，可化简求得，由此可知为直角三角形，知D错误.
解答过程：对于AB，由于，
设平面向量的夹角为，，因此，
则，因此，即
所以的最小值是，的最大值是，故AB正确；
对于C，若平面向量，，
则在上的投影向量是，故C错误；
对于D，如图所示，令，过点作，垂足为，
，令，
则
，
由于，所以，所以，
即为直角三角形，故D错误.
三、填空题：本题共3个小题，每小题4分，共12分.
12. 在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2＋i，若点A关于虚轴的对称点为点B，则点B对应的复数是______.
答案：－2＋i
解析：
思路：由题设可得点B对应坐标，据此可得B对应复数.
解答过程：由题设可得对应坐标为，则，从而对应复数为.
13. 在中，，，，平分交于点，则的面积为______．
答案：
解析：
思路：根据三角形的面积公式及角平分线即可求解.
解答过程：由题意得，
则，
所以．
故答案为.
14. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，，，三点满足，且函数的最小值为，则实数的值为______.
答案：
解析：
思路：化简得，再分情况讨论关于的复合二次函数的定义域与对称轴的位置关系，进而分析最值的情况即可.
解答过程：由题意，，
因此，而且，则，
因此函数，
由于，所以，
当时，在上单调递增，此时函数在上没有最小值，不符合题意；
当时，当时，取最小值，令，解得；
当时，在上单调递减，此时函数在上没有最小值，不符合题意；
综上所述，实数的值为.
四、解答题：本题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设向量，，.
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值.
答案：（1）
（2）解析：
（1），，，
已知，代入可得，
所以，解得，所以.
（2），，
因为，所以，
解得.
16. 已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为.
（1）求的值；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若函数在区间上存在零点，求实数k的取值范围.
答案：（1）2 （2）
解析：
思路：（1）由函数图象上两条相邻对称轴之间的距离为，可得周期，据此可得；
（2）由图象变换知识可得，然后由余弦函数单调性可得值域，最后由方程在上有解可得答案.
（1）因为函数图象上两条相邻对称轴之间的距离为，
所以函数的最小正周期，所以，解得；
（2）由（1）得，将函数的图象向左平移个单位长度后，
得到的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，故，
因为在上单调递增，在上单调递减，
则；，故.
因为函数在区间上存在零点，所以方程有解，所以实数k的取值范围为.
17. 某环保监督组织为了监控和保护查干湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点进行测量，在点测得，在点测得，在点测得，并测得，（单位：千米）．
（1）求的距离；
（2）求的距离．
答案：（1）千米
（2）3千米
解析：
思路：（1）在中，由正弦定理即可求解；
（2）由已知得出，在中，由余弦定理即可求解．
（1）由已知，在中，，，，
则，
由正弦定理，有，
所以，，
所以的距离为千米．
（2）由已知，在中，，
则，则，
在中，，，，
再由余弦定理，得，即，
所以的距离为3千米．
18. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点．
（1）若，求的值；
（2）若，，求的最小值．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）由题意根据向量的线性运算法则得到，，再根据三点共线，求得即可求解.
（2）根据题意得到，，结合三点共线得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求解.
（1）因为，
所以，
因为是线段的中点，所以，
又因为，设，则有，
因为三点共线，所以，解得，即，
所以．
（2）因为， ，
由（1）可知，，所以，
因为三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．
19. 已知函数，其中，.
（1）若，求函数的单调递增区间和最小值；
（2）在中，、、分别是角、、的对边，且.
（i）求的值；
（ii）若是边上的一点，且，，当取最大值时，求的面积.
答案：（1），
（2）（i）2（ii）
解析：
思路：（1）通过向量的数量积和三角函数辅助角对方程进行化简，再根据正弦函数的单调性来求得单调区间和最小值；
（2）（i）通过正弦定理进行边角转化，然后利用三角函数的和差化积公式进行计算；
（ii）通过余弦定理进行化简，构建辅助函数，根据二次函数根的判别式进行求解，从而得到相应边的长度，最后求出三角形的面积.
（1），
由解得，
因为，因此函数f（x）的单调递增区间为，
其最小值为.
（2）（i），即，化简可得，
因为，所以，
解得，即，
由正弦定理可得.
（ii）由题意可知，，，在与中，由余弦定理可得，，
因为，
所以，化简可得，
在中，由余弦定理可得，
代入可得，即，
设，即，代入可得，
化简可得，
因为，所以关于的方程有正根，
因此，即，
所以，即的最大值为，
代入方程，可得，解得，
所以，
因此.