2025--2026学年湖北荆州中学高一下册期中训练数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年湖北荆州中学高一下册期中训练数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则AB=（ ）
A. [－2,3][4,＋）B. （－,3][4,＋）
C. （－,4）D. （4,＋）
2. 已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，为非零向量，命题和命题，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知向量，的夹角为，且，则的最小值是（ ）
A. B. 3C. D.
7. 已知函数的图象与的图象在上有个不同的交点，则（ ）
A. 0B. 10C. 21D.
8. 已知函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 下列结论错误的是（ ）
A. 方向相反的两个非零向量一定共线
B. 已知非零向量，，，若，则．
C. 若，则，，为一个三角形的三个顶点．
D. 在中，是为钝角三角形的充要条件．
10. 已知中，内角，，所对的边为，，，且，，则下列四个选项中正确的是（ ）
A. 若，则有两解B. 的最大值为2
C. 周长的取值范围为D. 的取值范围为
11. 已知边长为的个全等的菱形如图所示进行排列（其中，当时，与重合），其中，下面说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设p：|x﹣1|≤1，q：x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）（m+2）≤0．若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是_____．
13. 已知锐角满足，，则_____.
14. 已知，其中，若函数的最小值为0，则的取值范围为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知，
（1）若，求的取值集合；
（2），，求的值域．
16. 已知，，分别为三个内角，，的对边，
（1）求角；
（2）已知，，延长到点，使得，求．
17. 已知菱形的边长为2，，为边中点，且，为线段的中点．
（1）若，求的值；
（2）求的最小值．
18. 已知函数
（1）当时，解不等式；
（2）设，若对，函数在的最大值和最小值之差不超过，求的取值范围；
（3）已知函数只有一个零点，求的取值范围．
19. 若函数的定义域为，对任意，，恒有，则称函数是上的上凸函数，若恒有，则称函数是上的下凸函数，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意个点，即若是上（下）凸函数，则对任意，，…，，恒有．应用以上知识解决下列问题：
（1）判断函数的凹凸性，并用定义证明；
（2）已知函数，若对任意，恒有成立，求实数的取值范围；
（3）证明，为上凸函数，并求，的值域．
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则AB=（ ）
A. [－2,3][4,＋）B. （－,3][4,＋）
C. （－,4）D. （4,＋）
答案：D
解析：
思路：分别求集合，再求交集.
解答过程：，得或，即，
的定义域为，即，
所以
2. 已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：利用复数模的概念及共轭复数概念即可解决.
解答过程：由可知的共轭复数，所以，.
3. 已知，为非零向量，命题和命题，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：B
解析：
思路：利用数量积的定义公式，分别判断命题的充分性和必要性是否成立，进而作出判断.
解答过程：若成立，则（两向量同向）或（两向量反向），
当时，，此时，即不成立，
因此推不出，充分性不成立；
若成立，因为是非零向量，，则，
结合得，即两向量同向，因此，成立，
即能推出，必要性成立；
综上，是的必要不充分条件.
4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：因为在上单调递增，
所以，，
，所以.
故.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：
利用诱导公式进行化简即可得答案.
解答过程：由题意可得所以.
故选：B.
6. 已知向量，的夹角为，且，则的最小值是（ ）
A. B. 3C. D.
答案：C
解析：
解答过程：因为向量，的夹角为，且，则，
可得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值是.
7. 已知函数的图象与的图象在上有个不同的交点，则（ ）
A. 0B. 10C. 21D.
答案：D
解析：
思路：根据两函数的对称性可求出它们的对称中心为，结合图象求出它们在上交点的总个数，结合对称性即可求得结果.
解答过程：易知函数的图象关于点对称，最小正周期，值域为，
又，
所以函数的图象也关于点中心对称，
函数在R上单调递减，当时，，当时，，
所以的值域为，
画出两函数在同一坐标系下的图象如下图：
根据图象可知两函数在上除了之外，共有四个交点，
且这四个交点的横坐标之和为0，纵坐标之和满足，
再由周期性可知两函数在上除了之外共有个交点，
结合对称性可知.
8. 已知函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：先求得为偶函数，然后化简函数并画出图象，记方程的两根分别为，数形结合得，，进而利用二次函数根的分布即可求解.
解答过程：由题意得，的定义域为关于原点对称，
且，所以为偶函数，
，作出函数的图象如下：
由题意关于的方程恰有6个不同的解，
令，由的图象得当时，方程有四个根；
当时，方程有两个根；
当时，方程无解．
设方程的两根分别为，则，，
令，则，解得，即，
因此实数的取值范围是．
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 下列结论错误的是（ ）
A. 方向相反的两个非零向量一定共线
B. 已知非零向量，，，若，则．
C. 若，则，，为一个三角形的三个顶点．
D. 在中，是为钝角三角形的充要条件．
答案：BCD
解析：
思路：根据共线向量，向量的运算依次分析即可求解.
解答过程：对于A项，方向相反的两个非零向量是共线向量（平行向量），故A 正确；
对于B项，如，有，但是，故B错误；
对于C项，若三点共线，依然也可以成立，故不一定构成三角形，故C 错误
对于D项，，则为钝角三角形，但是为钝角三角形不一定，故D错误.
10. 已知中，内角，，所对的边为，，，且，，则下列四个选项中正确的是（ ）
A. 若，则有两解B. 的最大值为2
C. 周长的取值范围为D. 的取值范围为
答案：BCD
解析：
思路：对于A，利用正弦定理即可判断；对于B，可以利用向量的数量积计算出数量积的表达式结合余弦定理即可判断；对于C，用余弦定理把周长表示出来，用基本不等式判断；对于D，转化为关于A的三角函数求解.
解答过程：对于A，由于即，又，
故为锐角，所以，有一解；
对于B，，根据余弦定理可知
即（当且仅当时取等号），，故B正确；
对于C，根据余弦定理可知
即，，
解得，（当且仅当时取等号），
所以，即，故周长的取值范围为，
所以，选项C正确;
对于D,
由于，所以，，
故的取值范围为，所以选项D正确.
11. 已知边长为的个全等的菱形如图所示进行排列（其中，当时，与重合），其中，下面说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：ACD
解析：
思路：对于A，由题意可得，，由向量数量积定义，求出结果即可判断；对于B，举反例，当时，等式不成立，即可判断；对于C，因为，可得,由向量的加法法则，求出的结果，即可判断；对于D，求得,以，由向量的数量积定义，求出的结果，即可判断.
解答过程：对于A，因为，且是边长为的菱形，
所以，，
所以，故A正确；
对于B，当时，，
而，
此时不满足，故B错误；
对于C，因为（只有），
所以，
所以，,
所以，故C正确；
对于D，因为,
由C可知，
所以，
所以
，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设p：|x﹣1|≤1，q：x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）（m+2）≤0．若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是_____．
答案：[0，1]
解析：
思路：分别求出的范围，再根据是的充分不必要条件，列出不等式组，解不等式组
解答过程：由得，得.
由，得，
得，
若p是q的充分不必要条件，
则，得，得，
即实数的取值范围是.
故
方法提示：本题主要考查绝对值不等式和二次不等式的解法，同时考查了充分不必要条件，属于中档题.
13. 已知锐角满足，，则_____.
答案：
解析：
思路：根据正切的和角公式，结合已知条件，求得；根据根与系数的关系，求得，结合角度范围，求得即可.
解答过程：由可得：，则，
解得，又，
故为一元二次方程的两个实数根，
又，解得；
若，又为锐角，也为锐角，故可得，则，不满足为锐角，舍去；
若，则，故，
又，为锐角，故可得，则.
故答案为.
14. 已知，其中，若函数的最小值为0，则的取值范围为________．
答案：
解析：
思路：令，则，可以把函数最小值为转化为计算即可求解.
解答过程：因为，，
所以
令，
，，
函数，当时，，只要即可，
，综上的取值范围是．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知，
（1）若，求的取值集合；
（2），，求的值域．
答案：（1）或或
（2）解析：
思路：（1）由可得或，结合三角函数性质求解；
（2）根据向量数量积的坐标运算结合平方关系化简表达式，换元令，转化为二次函数求值域.
（1）因为，所以，即或，
所以或或，，
故的取值集合为或或.
（2），
令，因为，则，
则，，
所以在上单调递增，，，
故的值域为.
16. 已知，，分别为三个内角，，的对边，
（1）求角；
（2）已知，，延长到点，使得，求．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用正弦定理将边化为角，结合三角形内角和与三角恒等变换化简等式，求得的值，进而确定角；
（2）先用余弦定理求边，再由补角关系得到，最后在中应用余弦定理计算的长度.
（1）因为，
由正弦定理得：
又
所以
因为，所以，所以
又，所以
（2）在中，所以
所以
所以
在中，依题意可知
由余弦定理得：

故
17. 已知菱形的边长为2，，为边中点，且，为线段的中点．
（1）若，求的值；
（2）求的最小值．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）由向量基本定理，再用向量数量积求解；
（2）由向量基本定理和向量的线性运算得到， ，再由向量的数量积运算得到，最后利用二次函数求解即可.
（1）依题意，；
由，
则，
所以.
（2）因为，所以
又因为，所以，
因为为的中点，
所以
因为，在上单调递减，
所以的最小值为.
18. 已知函数
（1）当时，解不等式；
（2）设，若对，函数在的最大值和最小值之差不超过，求的取值范围；
（3）已知函数只有一个零点，求的取值范围．
答案：（1）；
（2）；
（3）或或.
解析：
（1）当时，，由，得，即，即，即，所以，解得或，
所以不等式的解集是；
（2）因为在定义域上单调递减且，
所以在区间上的最大值是，最小值是，
依题意得，即对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
令，则，
当，;当，，
所以，故，所以的取值范围是；
（3）因为只有一个零点，
所以方程只有一个根，
所以只有一个根，
整理得，，
即，即，
①若，此时，代入真数知真数大于0，符合题意；
②若，此时，代入真数知真数大于0，符合题意；
③若使得真数大于0，使得真数小于等于0，即时符合题意，此时；
④若使得真数小于等于0，使得真数大于0，即时符合题意，此时无解．
综上所述，的取值范围为.
19. 若函数的定义域为，对任意，，恒有，则称函数是上的上凸函数，若恒有，则称函数是上的下凸函数，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意个点，即若是上（下）凸函数，则对任意，，…，，恒有．应用以上知识解决下列问题：
（1）判断函数的凹凸性，并用定义证明；
（2）已知函数，若对任意，恒有成立，求实数的取值范围；
（3）证明，为上凸函数，并求，的值域．
答案：（1）下凸函数，证明见解析
（2） （3）证明见解析，
解析：
思路：（1）函数为下凸函数，利用下凸函数的定义证明即可；
（2）由题意可得，结合（1）可得，满足题意，可求得实数的取值范围；
（3）利用两角和与差的正弦公式可证明是上凸函数，进而结合函数周期性与函数的凹凸性的推广可求得函数的值域.
（1）依题意，为下凸函数，证明如下，对任意，，
所以，即为下凸函数．
（2）依题意，
由（1）知，当时，为下凸函数，不满足，
当时，，为上凸函数，符合题意，
即，所以，实数的取值范围为
（3）设，，
，
因为，，所以，，．
，所以是上的上凸函数．
因为，所以函数的周期为，又因为，
所以为奇函数，所以在一个周期上求值域，当时，由于为上凸函数，
当，时可以取到最大，由推广的定义知
那么当时，取到最小为，所以函数的值域为.