湖北省荆州市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份湖北省荆州市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在复平面内，复数对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知向量，，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．（0，2）B．（1，0）C．（2，0）D．（0，1）
3．已知非零向量，满足，且，则与的夹角大小为（ ）
A．B．C．D．
4．设，为复数，是虚数单位，下列命题中正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若满足，则D．
5．已知，，是互不重合的三条直线，，，是互不重合的三个平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，，则
C．若与是异面直线，，，则
D．若，，，，则
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．设的内角所对应的边分别为，，，其面积，若的周长为1，则（ ）
A．1B．C．2D．
8．已知，，三点不共线，，其中，为实数且不同时为0，则下列结论不正确的是（ ）
A．若，则，，三点共线
B．若，则点为的重心
C．若，则平分
D．若，则
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．数据0，1，1，2，2，2，3，4的极差与众数之和为6
B．数据11，13，5，6，8，1，3，9的下四分位数是3
C．若数据的标准差为1，则数据，，，的标准差为2
D．若样本数据的频率分布直方图的形状为单峰不对称，且在右边“拖尾”（如图所示），则样本数据的平均数大于中位数
10．若函数的图象与直线的相邻交点的距离为，则以下说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．点是函数图象的一个对称中心
C．
D．的解集为
11．已知正方体的棱长为，，，分别为棱，，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．过点，，的平面截正方体所得截面多边形为正五边形
B．若三棱锥的顶点都在球的表面上，则球的表面积为
C．从顶点出发沿正方体的表面运动到点的最短路线长为
D．若用一张正方形的纸把正方体完全包住，不考虑纸的厚度，不将纸撕开，则所需正方形纸的面积的最小值为8
三、填空题
12．已知圆锥的母线长为，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为 .
13．为了解某高中学校学生每周阅读课外书籍的数量，按年级分层，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取学生进行统计.现抽取高一学生25人，其每周阅读课外书籍数量的均值为3本，方差为3.2；抽取高二学生25人，其每周阅读课外书籍数量的均值为2本，方差为2.3.则该校高一、高二学生每周阅读课外书籍数量的总样本的方差是 .
14．如图，正方形的边长为，，分别为边，上的点，且，则的取值范围为 .
四、解答题
15．某中学举办学生数学素养知识竞赛.现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)试估计全校答卷成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
16．已知分别为三个内角的对边，且.
(1)求；
(2)在中，若边的中线，求面积的最大值.
17．如图所示，在四棱锥中，已知，，底面，平面平面.
(1)求点到平面的距离；
(2)证明：平面；
(3)若，求二面角的余弦值.
18．已知函数（其中），将的图象向右平移个单位长度后得到的函数为偶函数.
(1)求的解析式；
(2)当时，求函数的单调增区间；
(3)记方程在上有五个实根，，，，，其中，求的取值范围及的值.
19．已知函数的部分图象如图1所示， 分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于点，点为该部分图象与轴的交点.
(1)求的解析式；
(2)将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成的二面角，如图2所示.
（i）求直线与平面所成的角的正弦值；
（ii）求以线段的中点为球心，半径为的球与二面角所围成的几何体的体积.
注：球缺的定义：如图3，一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫球缺的底面，垂直于底面的直径被截下的线段长叫球缺的高.设球的半径为，球缺的高为，则球缺的体积公式为.
1．B
先计算复数，根据复数的几何意义即可求解.
【详解】由，复数对应的点为位于第二象限，
故选：B.
2．C
向量在方向上的投影向量为.
【详解】向量在方向上的投影向量为.
故选：C
3．B
本题可根据向量垂直的性质得到向量，的数量积以及模长的关系，再利用向量夹角公式求解夹角.
【详解】因为，所以①，
因为，所以②，
联立①②可得，又向量，为非零向量，所以，
设向量，的夹角为，，
则，所以.
故选：B
4．C
选项A，利用虚数单位的周期性幂运算判断；
选项B，通过反例说明模长相等的复数平方不一定相等；
选项C，结合复数的几何意义，分析单位圆上的点到定点的距离范围；
选项D，利用复数与共轭复数的乘积公式与平方的关系对比.
【详解】对于A，结合虚数单位的幂运算，，故A错误；
对于B，令，，则，但，，则，故B错误；
对于C，因为满足，所以表示复平面上对应单位圆上的点，则表示在复平面内，对应的点到点的距离，又点在单位圆上，所以，故C正确；
对于D，令，则，所以，
，所以，故D错误.
故选：C.
5．D
根据空间中点线面的位置关系即可判断ABC，利用线面平行的性质定理即可判断D.
【详解】对于A：若，，则或，故A错误；
对于B：若，，，，则或与相交，或，故B错误；
对于C：若与是异面直线，，，则或与相交，故C错误；
对于D：若，，，，所以，，所以，故D正确.
故选：D.
6．A
根据两角和的正切公式计算，利用二倍角的正弦公式和同角三角函数商的关系计算，进而求解.
【详解】因为，，
所以，
故选：A.
7．C
利用正弦定理得，代入即可求得，再利用正弦定理将边转化为角即可求解.
【详解】由正弦定理有，为的外接圆半径，
所以，
所以，
所以，即，又的周长为1，所以，
所以，
故选：C.
8．D
根据向量共线、三角形重心、角平分线以及向量垂直的相关性质逐一分析选项.
【详解】对于选项A：
因为，所以，
所以.
所以.
所以点三点共线，所以A正确；
对于选项B：
，设的中点，
根据向量加法的平行四边形法则得，所以.
根据三角形重心的定义，三角形的重心是三条中线的交点，且重心分得所在线段长度为，
可知点为的重心，B正确；
对于选项C：
设，则，
分别是与同向的单位向量，以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，
菱形的对角线平分内角，所以平分，所以C正确；
对于选项D：
.
因为，所以，
因为不一定为0，所以与不一定垂直，所以D错误.
故选：D.
9．ACD
对于A利用极差和众数的定义即可判断，对于B利用百分位数的定义即可判断，对于C利用方差的性质即可判断，对于D利用中位数和平均数的性质，结合图形分析即可判断.
【详解】对于A：数据0，1，1，2，2，2，3，4的极差为：，众数为：2，所以极差与众数之和为,故A正确；
对于B：由，所以数据11，13，5，6，8，1，3，9按从小到大排列为，
下四分位数是，故B错误；
对于C：若数据的标准差为1，则数据，，，的标准差为，故C正确；
对于D：右拖尾特征：分布右侧有少数极端大值，左侧数据较集中.
平均数 vs 中位数：
平均数受极端值影响显著，向右偏移.
中位数仅取决于数据中间位置，对极端值不敏感.
结论：右拖尾时，平均数通常大于中位数，故D正确.
故选：ACD.
10．ABC
根据题意求的最小正周期即可判断A，进而得，将代入即可验证，进而判断B，利用周期先将，再由单调性即可判断C，由解出即可判断D.
【详解】由题意有的最小正周期为，故A正确；所以，所以，
由，所以是函数图象的一个对称中心，故B正确；
，，又，在上单调递增，所以，即，故C正确；
由，所以，
即，故D错误.
故选：ABC.
11．BCD
对于A作出过点，，的平面截正方体所得截面计算截面边长即可判断，对于B：取棱、的中点，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，求半径即可判断，对于C正方体部分展开分别求出即可判断，对于D由正方体的侧面展开图.结合图④可以看出五个边长为2的正方形及上下左右四个等腰直角三角形组成一个正方形，可知要想把正方体完全包住，正方形 即为所求最小正方形，计算其面积即可判断.
【详解】对于A：如图①，延长交的延长线于点，易得，所以，连接交于点，由，得，所以是上靠近的三等分点，在棱上取点，使得，连接，则，在棱上取点，使得，连接，则，得，取的中点，连接，则，得，则是上靠近的三等分点，连接，则五边形即为所求截面.
，，
，，
，故五边形不是正五边形，故A错误；
对于B：如图②，取棱、的中点，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，直径长为，则球的表面积为，故B正确
对于C：正方体部分展开图如图③所示，按不同的展开方式，分三种情况：，
，，则的最小值为，故C正确.
对于D：由正方体的侧面展开图.结合图④可以看出五个边长为2的正方形及上下左右四个等腰直角三角形组成一个正方形，可知要想把正方体完全包住，正方形 即为所求最小正方形，其对角线长为，所以面积为，故D正确.
12．
设母线长为，底面半径为，由轴截面为等腰直角三角形，即可求，根据圆锥的表面积公式即可求解.
【详解】设母线长为，底面半径为，由题意有：，
因为轴截面为等腰直角三角形，所以，
所以圆锥的表面积为，
故答案为：.
13．3
根据分层随机抽样中总样本方差的计算公式来求解.
【详解】因为高一抽取学生25人，样本均值为3；高二抽取学生25人，样本均值为2，
根据分层随机抽样总样本均值公式.
根据分层随机抽样总样本方差公式可得：
.
故答案为：3.
14．
设，，则，则，利用数量积的定义得，利用三角恒等变换和三角函数即可求解.
【详解】设，，则，所以，
所以，
令，由有，所以，
所以，所以，
所以的取值范围为.
故答案为：.
15．(1)
(2)40百分位数为72.9，平均数为76.2
（1）由频率之和为1列方程求解；
（2）根据累计频率判断第40百分位数所在区间，然后代入百分位数求解公式计算，区间中点值与对应区间频率的乘积之和即为平均数.
【详解】（1）由频率分布直方图，可知，则.
（2）前三个小矩形的面积和为，
前四个小矩形的面积和为，则第40百分位数位于内，
由，得第40百分位数为72.9，
平均数为
.
16．(1)
(2)
（1）利用正弦定理和余弦定理即可求解；
（2）法一：由是中点，得，利用向量的数量积运算得，最后利用均值不等式和三角形面积公式即可求解；法二：由是中点，得，在和中利用余弦定理得，最后利用均值不等式和三角形面积公式即可求解；法三：由是中点，得，，上面两式平方做差得，进而得，最后利用均值不等式和三角形面积公式即可求解；法四：在中，，，即，最后利用均值不等式和三角形面积公式即可求解；法五：延长至，使，因为是的中点，即证，进而得，又，即，即，最后利用均值不等式和三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）由正弦定理，得，即，
由余弦定理，得，又，所以；
（2）法一：因为是中点，所以，即
即，，
，
因为，所以，即，
，即（当且仅当）
所以
所以当时，最大值为.
法二：
因为是中点，所以，
因为，所以，所以①
由，且，得，即②
把①代入②上式得：
下同方法1.
法三：因为是中点，所以，，
上面两式平方作差得：，所以，
因为，所以，即①
由，且，得，即②
把①代入②上式得：
下同方法1.
法四：在中，；在中，，
所以，即
下同方法2.
法五：如上图，延长至，使，因为是的中点，
所以，又，所以，则，且，
所以，，因为，所以，又，
所以，即，
下同方法1
17．(1)
(2)证明见解析
(3).
（1）过点作于，垂足为点，即证平面，则线段即为点到平面的距离，在中，计算即可；
（2）由（1）可知平面，得，由底面，得，利用线面垂直的判定定理即可得证；
（3）作于，连接，即证，则即为二面角的平面角，在计算即可.
【详解】（1）过点作于，垂足为点，
由平面平面，平面，平面平面，，得平面，则线段即为点到平面的距离，
由底面，平面，得，即为直角三角形，
在中，，，，，
故点到平面的距离为；
（2）由（1）可知平面，又平面，得，
由底面，平面，得，
由，，、平面，，得平面；
（3）作于，连接，
由底面，、平面，得，，
由，，、平面，，得平面，又平面，得，
则即为二面角的平面角.
由，，得，，
在Rt中，，.
故二面角的余弦值为.
18．(1)
(2)
(3)，
（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，然后写出平移后函数的解析式，最后根据函数为偶函数则求解，即可求得的解析式；
（2）根据正弦函数的单调性列不等式求解的单调增区间，再与区间取交集即可；
（3）令，作出在上的图象，数形结合可求出m的范围，根据对称性求出、、、，求和即可.
【详解】（1），
由的图象向右平移个单位长度，得，
此函数是偶函数，则，
因为，所以当时，，.
（2）法一
由，得
因为，所以当时，
所以的单调增区间为
法二
由，得
由，得
所以的单调增区间为
（3）由，可得
令，作出函数在上的图象，如图所示，
由方程在上有五个实数根，可得函数与直线在上有五个交点.
当时，；当时，，
则由图象可得当时，函数与直线在上有五个交点，设为，不妨设，
，，，，
所以，，
，，
解得，，，，
故，.
19．(1)
(2)（i）（ii）
【详解】（1）由图可得，，周期，所以，
由，得，所以，
所以，因为，所以当时，，
所以；
（2）（i）法一
如图①，设在平面上的射影为，连接、，则，，.
在平面上过作轴的平行线，过点作交于，交轴于，则，，，，
因为在平面上的射影为，所以在平面上的射影为，故和平面所成角为，
，所以和平面所成角的正弦值为.
法二
如图，以的方向为轴的正方向，在平面内过且垂直轴的直线为轴，过且垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图②，
设在平面上的射影为，则，，，，，，
平面的法向量为
设直线和平面所成角为，则
（ii）法一
由图①，设与轴相交于点，如图③所示，由，得，，则，即与重合，即，，三点共线
取线段的中点，则，得，，即，则，且，又轴，故轴
设线段的中点为，连，则，且.又平面，则平面
，则点在球上，且球被平面所截的图形是以点为圆心、为半径的圆.同理可得，
球被平面所截的图形也是半径为的圆.
所以球与二面角所围成的几何体如图④所示.不妨设其体积为，则
因为，得球缺的高，故，，故.
法二
如图，以的方向为轴的正方向，在平面内过且垂直轴的直线为轴，过且垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图⑤所示
设线段的中点为，在平面上的射影为，则，，，，，，，到平面的距离为
以为球心，半径为的球被半平面所截的图形为圆，不妨设其半径为，圆心为，则，则，
即，所以所截的圆恰与轴相切，同理可得，球被平面所截的图形也是半径为的圆.
所以球与二面角所围成的几何体如图④所示.不妨设体积为，则
因为，得球缺的高，故
，故.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
C
D
A
C
D
ACD
ABC
题号
11









答案
BCD