2025--2026学年黑龙江省佳木斯市第八中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年黑龙江省佳木斯市第八中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数满足（其中i为虚数单位），则的虚部是（ ）
A. B. C. D.
2. 向量与共线，则的值为（ ）
A. -4B. 4C. 9D. -9
3. 若正三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的表面积为（ ）
A. 4B. C. D.
4. 在，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（ ）
A. 2B. 3C. D.
5. 如图，在矩形中，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
7. 在空间中，若直线平面，直线平面，则与（ ）
A. 相交
B. 平行
C. 是异面直线
D. 可能平行，也可能是异面直线
8. 如图，在正三棱台中，为棱的中点，且，则四棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 关于复数（为虚数单位），下列说法正确的有（ ）
A. 当时，是实数
B. 当且时，是纯虚数
C. 复数的模
D. 虚数单位满足
10. 已知不重合的直线，，和平面，，则（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，，则
D. 若，，则
11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c则（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则
C. 在锐角中，不等式恒成立
D. 若，，且有两解，则b的取值范围是
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 是虚数单位，则的值为__________.
13. 已知的内角的对边分别为，且，则 ________.
14. 如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，则原四边形的面积为_________．

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在中，已知，，，解三角形．
16. 已知复数．
（1）若为纯虚数，求的值；
（2）若为实数，求的值；
（3）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．
17. （1）一平面截一球得到直径为6 cm的圆，球心到这个圆的距离是4 cm，求该球的体积和表面积.
（2）在正四棱台中，，求棱台的体积.
18. 由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.
19. 在中，
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长．
数学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足（其中i为虚数单位），则的虚部是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：由题意可得复数的虚部为.
2. 向量与共线，则的值为（ ）
A. -4B. 4C. 9D. -9
答案：A
解析：
解答过程：由向量与共线，得，
所以.
3. 若正三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的表面积为（ ）
A. 4B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：正三棱锥的所有棱长均为，
则正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形，
等边三角形的高为，
则该三棱锥的表面积为.
4. 在，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（ ）
A. 2B. 3C. D.
答案：A
解析：
解答过程：在，，，，
则，
所以.
5. 如图，在矩形中，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
解答过程：因为为矩形，为的中点，
所以.
6. 已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：由，得，而，则，
因此，又，所以与的夹角为．
7. 在空间中，若直线平面，直线平面，则与（ ）
A. 相交
B. 平行
C. 是异面直线
D. 可能平行，也可能是异面直线
答案：D
解析：
解答过程：由题意，在空间中，直线与没有公共点，即与不相交，
则与可能平行，也可能是异面直线.
8. 如图，在正三棱台中，为棱的中点，且，则四棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：将正三棱台中补成正三棱锥，如图所示．
因为为棱的中点，所以，又，
所以四边形是平行四边形.所以.
由，且，得是的中位线，所以分别为的中点，
故，与的面积比为.
所以三棱锥是正四面体.
取底面的中心为，连接，易知底面，又平面，所以．
因为为正三角形，，．
在中，．
所以正四面体的体积为.
所以．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 关于复数（为虚数单位），下列说法正确的有（ ）
A. 当时，是实数
B. 当且时，是纯虚数
C. 复数的模
D. 虚数单位满足
答案：AB
解析：
解答过程：A. 当时，复数简化为，其中为实数，故是实数，正确.
B. 当且时，复数，其中为非零实数，符合纯虚数定义，正确.
C. 复数的模定义为，选项中为立方根，错误.
D. 虚数单位满足，选项中为，错误.
10. 已知不重合的直线，，和平面，，则（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，，则
D. 若，，则
答案：AD
解析：
思路：根据直线和平面的相关性质逐一判断即可.
解答过程：对于A，根据平行传递性可知，若，，则，故A正确；
对于B，若，，则可能出现，或，或相交但不垂直，或异面但不垂直，故B错误；
对于C，若，，，，则或相交，故C错误；
对于D，根据面面垂直判定定理可知，若，，则，故D正确.
故选：AD
11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c则（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则
C. 在锐角中，不等式恒成立
D. 若，，且有两解，则b的取值范围是
答案：ACD
解析：
思路：A项，用余弦定理统一成边形式化简判断；B项， 由大边对大角与余弦函数的单调性可得；在锐角中，得到与正弦定理即可判断C的正误；根据题意，可得，求出b的范围，可判断D的正误；
解答过程：选项A，因为，即，
所以有整理可得，所以，
故为等腰三角形，故A正确；
选项B，由大边对大角，，由余弦函数在上单调递减，
故，故B错误；
选项C：若为锐角三角形，所以，所以，
由正弦函数在单调递增，则，故C正确；
选项D：因为，，如图，因为有两解，所以，
，解得，故D正确；
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 是虚数单位，则的值为__________.
答案：
解析：
思路：先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．
解答过程：．
方法提示：本题考查了复数模的运算，是基础题.
13. 已知的内角的对边分别为，且，则 ________.
答案：
解析：
解答过程：由正弦定理，可得.
14. 如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，则原四边形的面积为_________．

答案：
解析：
思路：利用斜二测画法的规则即可画出原四边形，即可求解．
解答过程：由题可知，
如图，建立平面直角坐标系，

在轴上截取，，，
在过点的轴的平行线上截取，
在过点的轴的平行线上截取，
连接，即可得到原四边形．
原四边形是直角梯形，
故四边形的面积为．
选5
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在中，已知，，，解三角形．
答案：，，.
解析：
思路：由三角形内角和定理求出，正弦定理求得边，勾股定理可得边.
解答过程：由，，得.由正弦定理，可得,
在中，．
16. 已知复数．
（1）若为纯虚数，求的值；
（2）若为实数，求的值；
（3）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．
答案：（1）
（2）或
（3）解析：
思路：（1）（2）（3）利用复数的定义，以及复数的几何意义，列出相应的关系式，即可求解.
（1）由复数，因为复数为纯虚数，可得，解得．
（2）由复数为实数，可得，
解得或．
（3）由复数在复平面内对应的点位于第二象限，则满足，
解得，即的取值范围为．
17. （1）一平面截一球得到直径为6 cm的圆，球心到这个圆的距离是4 cm，求该球的体积和表面积.
（2）在正四棱台中，，求棱台的体积.
答案：（1）体积，表面积为；（2）.
解析：
思路：（1）由勾股定理求出球的半径，再利用球的体积公式和表面积公式求球的体积和表面积；
（2）根据题意求出、，则计算出、，根据棱台体积公式计算即可.
解答过程：（1）设球心为，截面圆心为，连结，则截面圆，，
在中，， ，
∴球的半径，
因此球的体积，球的表面积为；
（2）如图，过作，垂足为，
易知为四棱台的高，因为，
则，，
故，则，
所以所求体积为.
18. 由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.
答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析
解析：
思路：（1）要证明线面平行，需证明线线平行即可，即证明.
（2）要证明面面平行，需通过证明一平面内的两条相交直线与另一平面平行即可.
（1）取的中点，连接.
则.
所以四边形为平行四边形，所以.
因为平面，不在平面内，
所以平面.
（2）因为，平面，不在平面内，
所以平面.
由（1）知，平面.
因为平面，
所以平面平面.
19. 在中，
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）由正弦定理进行边角互化，再结合诱导公式即可求解；
（2）由三角形面积公式结合余弦定理，即可解得各边长，进而求得的周长.
（1）由正弦定理得，
因为，则，
则，
因为，所以，
则有，解得，则.
（2）由题意得，其中，
则，解得，
由余弦定理得，
因为，则，
则的周长为.