2025--2026学年黑龙江省佳木斯市第八中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年黑龙江省佳木斯市第八中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在等差数列 中， ， ，则 的公差为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
2. 已知数列1，，，，3，…，，…，则9是该数列的（ ）
A. 第42项B. 第41项C. 第9项D. 第8项
3. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
4. 5与的等比中项为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数的图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知函数在处可导，且，则（ ）
A. B. 6C. 3D.
7. 已知等差数列的公差为，且，则（ ）
A. 36B. 48C. 51D. 57
8. 若函数，则（ ）
A. 0B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列叙述不正确的有（ ）
A. 数列，，，与，，，是同一数列
B. 数列，，，，的通项公式是
C. ，，，，是常数列
D. ，，，，是递增数列，也是无穷数列
10. 如图是的导数的图象，则下面判断错误的是（ ）
A. 在内是增函数
B. 在内是减函数
C. 在时取得极大值
D. 当时取得极小值
11. 已知数列的通项公式为，前项和为，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知等差数列的前项和为，若，则______．
13. 已知函数满足，则____________.
14. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为33尺，前九个节气日影长之和为108尺，则谷雨日影长为____________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 求下列函数导数
（1）；
（2）；
16. 求下列数列的通项公式及前项和.
（1）若等差数列满足，；
（2）若等比数列满足，.
17. 若，求：
（1）的单调递减区间；
（2）在上的最小值和最大值．
18. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的极值．
19. 已知数列的前n项和为，且满足
（1）证明数列为等比数列，并求它的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和
数学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.
1. 在等差数列 中， ， ，则 的公差为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：B
解析：
思路：通过列方程组的方法来求得公差.
解答过程：设公差为，
依题意，，解得.
故选：B
2. 已知数列1，，，，3，…，，…，则9是该数列的（ ）
A. 第42项B. 第41项C. 第9项D. 第8项
答案：B
解析：
思路：由递推得到通项公式，然后计算即可.
解答过程：由已知数列1，，，，3，…，，…，即，，
，，，…，，…，则数列的第项为，
令，解得，所以9是该数列的第41项.
故选：B.
3. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：，当且仅当时等号成立，
所以函数的单调递增区间是.
4. 5与的等比中项为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：设5与的等比中项为，
，解得．
5. 已知函数的图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
解答过程：因为函数在某点处的导数即过该点处的切线的斜率，
由图知，.
6. 已知函数在处可导，且，则（ ）
A. B. 6C. 3D.
答案：B
解析：
解答过程：根据导数的定义：
.
7. 已知等差数列的公差为，且，则（ ）
A. 36B. 48C. 51D. 57
答案：C
解析：
解答过程：已知等差数列的公差为，且，
，
.
8. 若函数，则（ ）
A. 0B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：由，得，所以.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列叙述不正确的有（ ）
A. 数列，，，与，，，是同一数列
B. 数列，，，，的通项公式是
C. ，，，，是常数列
D. ，，，，是递增数列，也是无穷数列
答案：ABC
解析：
思路：利用数列的定义可判断A选项；利用观察法求出数列通项公式可判断B选项；利用常数列的定义可判断C选项；利用数列的单调性和无穷数列的定义可判断D选项.
解答过程：对于A选项，数列是按一定顺序排成的一列数，即数列，，，与，，，是两个数列，故A错误；
对于B选项，数列，，，，的通项公式是，故B错误；
对于C选项，，，，，是摆动数列，故C错误；
对于D选项，，，，，是递增数列，也是无穷数列，故D正确.
故选：ABC.
10. 如图是的导数的图象，则下面判断错误的是（ ）
A. 在内是增函数
B. 在内是减函数
C. 在时取得极大值
D. 当时取得极小值
答案：AC
解析：
思路：由的图象，可得函数的单调性，从而即可求解.
解答过程：解：对A，由的图象，可知时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，故选项A错误；
对B，由的图象，可知时，，所以在上单调递减，故选项B正确；
对C，由的图象，可知时，，
所以在上单调递增，因为左右两边的单调性相同，所以取不到极大值，故选项C错误；
对D，由的图象，可知时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在时取得极小值，故选项D正确.
故选：AC.
11. 已知数列的通项公式为，前项和为，则（ ）
A. B. C. D.
答案：ABD
解析：
思路：根据数列的通项公式直接计算.
解答过程：A选项：，A选项正确；
B选项：，，则，B选项正确；
C选项：，C选项错误；
D选项：，，所以，D选项正确；
故选：ABD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知等差数列的前项和为，若，则______．
答案：27
解析：
解答过程：依题意，.
13. 已知函数满足，则____________.
答案：
解析：
思路：求解导数，代入数值可得答案.
解答过程：因为，所以，
.
故
14. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为33尺，前九个节气日影长之和为108尺，则谷雨日影长为____________．
答案：16
解析：
思路：根据题意得出，，然后结合等差数列的性质求出公差，即可得出答案.
解答过程：设这十二个节气日影长为数列，则等差，
由题可知，，
由等差数列下标和性质得，
，
所以公差，则，
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 求下列函数导数
（1）；
（2）；
答案：（1）
（2）解析：
（1）因为，
所以；
（2）函数可以看作函数和的复合函数，
由复合函数的求导法则可得：
。
所以.
16. 求下列数列的通项公式及前项和.
（1）若等差数列满足，；
（2）若等比数列满足，.
答案：（1），
（2），
解析：
思路：（1）利用等差数列的定义求出公差和首项，再利用公式求出通项公式与前项和；
（2）利用等比数列的定义求出公比，再利用公式求出通项公式与前项和.
（1）设等差数列的公差为，
因为，，
所以，.
（2）设等比数列的公比为，
因为，所以，所以，
则.
17. 若，求：
（1）的单调递减区间；
（2）在上的最小值和最大值．
答案：（1）的增区间为，减区间为
（2），.
解析：
思路：（1）求出函数的导数并判断其符号后可得函数的单调区间；
（2）根据（1）中的单调性可得函数的最值.
（1），
当或时，；当时，，
故的增区间为，减区间为.
（2）由（1）可得在为减函数，在上为增函数，
故，.
18. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的极值．
答案：（1）
（2）极大值为，无极小值.
解析：
思路：（1）对函数求导，可得到切线的斜率，然后根据点的坐标即可求出切线方程.
（2）对函数求导，根据定义域确定函数的单调性，从而确定极值点和极值.
（1）因为，所以.
所以切线斜率为，而，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）令，则，求得.
因为，当时，；当时，；
所以函数在单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取得极大值为.
所以函数的极大值为，无极小值.
19. 已知数列的前n项和为，且满足
（1）证明数列为等比数列，并求它的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和
答案：（1）证明见解析，；
（2）.
解析：
思路：（1）根据递推式可得，结合等比数列的定义判定证明，进而写出通项公式；
（2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求
（1）由题设，则，整理得，
又，
所以是首项为1，公比为3的等比数列，则.
（2）由，则，
所以，
所以，
所以.