2025-2026学年江苏省南通市如东县高二（上）期中数学试卷（有答案和解析）

这是一份2025-2026学年江苏省南通市如东县高二（上）期中数学试卷（有答案和解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.经过点P(−1,2)和点Q(−2,1)的直线的倾斜角是( )
A. π6B. π3C. π4D. 3π4
2.椭圆4x2+9y2=36的长轴长为( )
A. 3B. 4C. 6D. 2
3.已知方程x22−k+y2k−1=1的图象是双曲线，那么k∈( )
A. (1,2)B. (−∞,1)∪(2,+∞)
C. (−∞,1)D. (2,+∞)
4.若实数x，y满足x2+y2=4，则x+y的最大值是( )
A. 2B. 2 2C. 4D. 4 2
5.若直线y−1=k(x− 3)不经过第四象限，则实数k的取值范围是( )
A. (0, 33)B. [0, 33]C. (−∞, 33)D. ( 33,+∞)
6.地球运行的轨道是长半轴长为1.50×108km，离心率为0.02的椭圆，太阳在这椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最近距离是( )
A. 1.47×108kmB. 1.50×108kmC. 1.53×108kmD. 2.94×108km
7.已知圆F：(x+3)2+y2=1，直线l：x=2，则与直线l相切且与圆F外切的圆的圆心M的轨迹方程是( )
A. y2=−6xB. y2=−12xC. y2=4xD. y2=8x
8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A，直线y=2b与双曲线C交于点M，N，若直线AM与AN的斜率之积是−4，则双曲线C的离心率是( )
A. 2B. 52C. 2 55D. 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.设m∈R，已知两条直线l1：(3+m)x+4y=5−3m和l2：2x+(5+m)y=8，则( )
A. 直线l1过定点(−3,72)
B. 当l1//l2时，m=−1或m=−7
C. 当m=−133时，l1⊥l2
D. 当m=1时，l1，l2的交点坐标为(−54,74)
10.设O为坐标原点，过抛物线C：y2=4x的焦点F作斜率为43的直线与C交于M，N两点，l为C的准线，M，N在直线l上的射影分别为M1，N1，则( )
A. |MN|=174B. △OMN的面积是52
C. 直线l与以MN为直径的圆相切D. △FM1N1是直角三角形
11.已知点P在曲线C：(x+1)3+(y−2)3=1上，点Q在直线l：x+y=0上，则( )
A. 曲线C关于原点对称B. 点P不在第三象限
C. 曲线C关于直线m：x−y+3=0对称D. PQ> 22
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过两点A(−2,4)，B(4,−1)的直线l在y轴上的截距为 .
13.已知过点P(−1,2)的直线l与圆O：x2+y2=8交于M，N两点，且|PM|=3|PN|，则△OMN的面积是 .
14.早在一千多年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击.现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔的轮廓线均为抛物线的一部分，且4个溢流孔的轮廓线相同.结合如图，根据图上尺寸，建立平面直角坐标系，则桥拱的轮廓线所在的抛物线方程为 ，B，C两点的横坐标之差为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,4)，直线l：x−2y+1=0，且点M在直线l上，AM⊥l.
(1)求直线AM的方程；
(2)若点A(2,4)与点B关于直线l对称，求证：点B在x轴上.
16.(本小题15分)
若圆C过两点A(0,4)，B(4,6)，且圆心C在直线l：x−2y−2=0上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)求点P(1,4)的直线与圆C的交于M，N两点，且MN=8，求直线MN的方程.
17.(本小题15分)
若椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为2 55，左、右焦点分别为F1(−6,0)，F2(6,0).
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C上的点M满足F1M⊥F2M，求△F1F2M的面积；
(3)已知点P(5,2)，延长PF2交椭圆C于点A，求点A的坐标.
18.(本小题17分)
在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在坐标轴上，且过点A(4,2 2)和B(3,1).过点P(5,0)的直线与C的交于M，N两点.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若OA//MN，求|MN|；
(3)证明：MO2NO2=MF1⋅MF2NF1⋅NF2.
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C1：y2=4x的焦点为F1，过点F1的直线l与抛物线C1交于A1，B1.连接OA1，OB1并延长，分别交抛物线C2：y2=2px(p>0)于点A2，B2，且|OA2|=2|OA1|.
(1)求p的值；
(2)求△OA2B1面积的最小值；
(3)求证：直线A2B2过定点.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：经过点P(−1,2)和点Q(−2,1)的直线的斜率为：
k=2−1−1+2=1.
∴经过点P(−1,2)和点Q(−2,1)的直线的倾斜角是π4.
故选：C.
利用直线的斜率、倾斜角定义求解．
本题考查直线的斜率、倾斜角定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：椭圆4x2+9y2=36的标准方程为x29+y24=1，
则a2=9，则a=3，
则长轴长为2a=6.
故选：C.
根据题意可得椭圆的标准方程，从而可得a，即可求出长轴长．
本题考查椭圆的结构特征，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵x22−k+y2k−1=1的图象是双曲线，
∴当双曲线焦点在x轴上时，2−k>0k−10,b>0)的左顶点为A，直线y=2b与双曲线C交于点M，N，
可得A(−a,0)，B(a,0)，M(− 5a,2b)，N( 5a,2b)，
直线AM与AN的斜率之积是−4，
可得2b− 5a+a⋅2b 5a+a=−4，可得b2a2=4，
所以e=ca= 1+4= 5.
故选：D.
求解M、N的坐标，利用斜率之积是−4，转化求解离心率即可．
本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，离心率的求法，是中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：对于选项A：直线l1：(3+m)x+4y=5−3m的方程可化为m(x+3)+(3x+4y−5)=0，则x+3=0,3x+4y−5=0.，
解得x=−3，y=72，故l1过定点(−3,72)，A正确；
对于选项B：对于l1：(3+m)x+4y−(5−3m)=0，l2：2x+(5+m)y−8=0，
有(3+m)(5+m)=2×4=8，展开得m2+8m+7=0，解得m=−1或m=−7，
当m=−1时，l1与l2的方程均为2x+4y=8，即重合，不满足平行；
当m=−7时，l1为−4x+4y=26，l2为2x−2y=8，斜率均为1，平行且不重合，故l1//l2时仅m=−7，B错误；
对于选项C：由两直线垂直可得(3+m)×2+4×(5+m)=0，解得m=−133，C正确；
对于选项D：当m=1时，l1为4x+4y=2(化简为2x+2y=1)，l2为2x+6y=8(化简为x+3y=4)，
解方程组：2x+2y=1,x+3y=4.
解得y=74，进而x=−54，交点为(−54,74)，D正确．
故选：ACD.
直线l1：(3+m)x+4y=5−3m的方程可化为m(x+3)+(3x+4y−5)=0，则x+3=0,3x+4y−5=0.，求解即可判断A，利用两直线平行、垂直与方程系数的关系可判断B，C，联立两直线的方程求解即可判断D.
本题考查了两直线的位置关系，直线恒过定点问题，是中档题．
10.【答案】BCD
【解析】解：由题，抛物线C：y2=4x的焦点F(1,0)，准线l：x=−1，
过F且斜率为43的直线方程为y=43(x−1)，即4x−3y−4=0，
联立4x−3y−4=0y2=4x，消去y化简得4x2−17x+1=0，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
则x1+x2=174，x1x2=1，
对于选项A，过焦点的弦长|MN|=x1+x2+p=174+2=254≠174，故A错误；
对于选项B，易得原点到直线MN的距离d=45，
所以面积S=12⋅|MN|⋅d=12×254×45=52，故B正确；
对于选项C，MN中点(圆心)坐标为(x1+x22,y1+y22)=(178,32)，半径r=|MN|2=258，
所以圆心到准线x=−1的距离为|178+1|=258=r，所以直线l与圆相切，故C正确；
对于选项D，M1(−1,y1)，N1(−1,y2)，F(1,0)，
所以向量FM1=(−2,y1)，FN1=(−2,y2)，
所以FM1⋅FN1=4+y1y2=4+43(x1−1)⋅43(x2−1)
=4+169[x1x2−(x1+x2)+1]
=4+169(1−174+1)=0，
所以FM1⊥FN1，即△FM1N1为直角三角形，故D正确．
故选：BCD.
由题可得过F且斜率为43的直线方程为4x−3y−4=0，联立4x−3y−4=0y2=4x，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，可得x1+x2=174，x1x2=1，
对于A，利用抛物线焦点弦的性质求出|MN|即可判断；
对于B，先求得原点到直线MN的距离d=45，再由面积S=12⋅|MN|⋅d即可判断；
对于C，求出圆心坐标(178,32)，半径r=258，及圆心到准线x=−1的距离即可判断；
对于D，由题可得M1(−1,y1)，N1(−1,y2)，F(1,0)，进一步可得FM1⋅FN1=4+y1y2=4+169[x1x2−(x1+x2)+1]，代入韦达定理即可判断．
本题考查了抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解；对于A：曲线关于原点对称需满足：若(x,y)在曲线上，则(−x,−y)也在曲线上，
取曲线上点(0,2)，其关于原点的对称点为(0,−2)，
代入曲线方程得(0+1)3+(−2−2)3=1−64=−63≠1，故A错误；
对于B：第三象限点满足x1，
故距离|x+y| 2>1 2= 22，
即PQ> 22，故D正确．
故选：BCD.
对于A：利用特殊点即可判断A；
对于B：根据第三象限点满足x0)，
因为双曲线C过点(4,2 2)和(3,1)，所以8a2−16b2=1，1a2−9b2=1，
解得a2=b2=−8，所以舍去．
综上可得：双曲线C的标准方程C：x28−y28=1.
(2)因为A(4,2 2)，所以k=2 24= 22，
所以MN:y= 22(x−5)，
由x28−y28=1,y= 22(x−5),得x2+10x−41=0，
Δ=102−4×(−41)=264>0，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1+x2=10，x1x2=−41，
所以|x1−x2|= (x1+x2)2−4x1x2= 264，
所以△OMN的面积是|MN|= 12+( 22)2× 264=6 11.
(3)证明：设M(x,y)，则OM2=x2+y2=2x2−8(x2≥8)，
MF1= (x+4)2+y2= 2x2+8x+8= 2(x+2)2= 2|x+2|，
MF2= (x−4)2+y2= 2x2−8x+8= 2(x−2)2= 2|x−2|，
所以MF1×MF2=2 (x2−4)2=2(x2−4)=OM2，
所以OM2MF1×MF2=1，
同理可得ON2NF1×NF2=1，
因为OM2MF1×MF2=ON2NF1×NF2，
所以MO2NO2=MF1×MF2NF1×NF2.
(1)分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况分别求解即可；
(2)求出直线MN的方程，与双曲线方程联立，利用弦长公式结合韦达定理求解即可；
(3)利用M，N都在曲线C上及两点间的距离公式可得OM2MF1×MF2=ON2NF1×NF2，交叉变形即可得证．
本题主要考查双曲线的标准方程，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题．
19.【答案】(1)4 (2)4 (3)证明：由(1)知A1(4k12,4k1)，A2(2pk12,2pk1)，阿
所以y3=2y1，
同理得y4=2y2，
所以y3y4=4y1y2=−16，
设直线A2B2的方程为x=ny+t，
联立y2=8xx=my+t，消去x并整理得y2−8ny−8t=0，
由韦达定理得y3y4=−8t，
所以y3y4=−8t=−16，
解得t=2，
则直线A2B2的方程为x=ny+2.
故直线A2B2过定点(2,0)
【解析】解：(1)设直线OA1的方程为y=k1x，
联立y2=4xy=k1x，
解得A1(4k12,4k1)，
所以OA1=|4k1| 1k12+1，
联立y2=2pxy=k1x，
解得A2(2pk12,2pk1)，
所以OA2=|2pk1| 1k12+1，
因为|OA2|=2|OA1|，
所以|2pk1| 1k12+1=2×|4k1| 1k12+1，
因为p>0，
所以p=4；
(2)设直线l的方程为x=ny+1，A1(x1,y1)，B1(x2,y2)，A2(x3,y3)，B2(x4,y4)，
联立y2=4xx=my+1，消去x并整理得y2−4my−4=0，
由韦达定理得y1y2=−4，
因为|OA2|=2|OA1|，
所以△OA2B1的面积是△OA1B1的面积的2倍，
因为S△OA1B1=S△OA1F1+S△OF1B1=12×1×|y1|+12×1×|y2|，
又y1y2=−4，
所以S△OA1B1=12|y1−y2|=12|y1+4y2|≥ y1×4y1=2，
当且仅当|y1|=2时，等号成立，
则△OA1B1的面积的最小值是2，
故△OA2B1的面积的最小值是4；
(3)证明：由(1)知A1(4k12,4k1)，A2(2pk12,2pk1)，阿
所以y3=2y1，
同理得y4=2y2，
所以y3y4=4y1y2=−16，
设直线A2B2的方程为x=ny+t，
联立y2=8xx=my+t，消去x并整理得y2−8ny−8t=0，
由韦达定理得y3y4=−8t，
所以y3y4=−8t=−16，
解得t=2，
则直线A2B2的方程为x=ny+2.
故直线A2B2过定点(2,0).
(1)由题意，设出直线OA1，OA2的方程，将直线方程与抛物线方程联立，结合|OA2|=2|OA1|，列出等式求解即可；
(2)设出直线l的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，三角形面积公式和弦长公式求解即可；
(3)结合(1)中信息得到y3y4=4y1y2=−16，设出直线A2B2的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求出t的值，进而即可得证．
本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．