2025--2026学年江苏灌南县高二下册期中调研考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年江苏灌南县高二下册期中调研考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．
1. 设离散型随机变量服从两点分布，其分布列如下表，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知点，若向量，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
3. 杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详解九章算法》一书中，画的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．下面是，当时展开式的二项式系数表示形式．
借助上面的表示形式，判断与的值分别是（ ）
A. B.
C. D.
4. 某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P（X＝3）＝（ ）
A. B. C. D.
5. 可以表示为( )．
A. B. C. D.
6. 的展开式中的系数为（ ）
A. 100B. 60C. 40D. 20
7. 在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（ ）
A. 异面B. 平行C. 垂直D. 相交但不垂直
8. 用代表红球，代表蓝球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“”表示取出一个红球，而“”则表示把红球和蓝球都取出来，依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的红球都取出或都不取出的所有取法的是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列关于空间向量的说法中正确的有（ ）
A. 若向量、共线，则向量、所在的直线平行
B. 若向量、所在的直线是异面直线，则向量、一定不共线
C. 若三个向量、、两两共面，则三个向量、、一定共面
D. 若、、是空间中三个不共面的向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使．
10. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个四位二进制数（每一位上数字只能是0或1，例如出现“1010”），其中的各位数字中aii=1, 2, 3, 4出现0的概率为，出现1的概率为，各个位数之间互相独立．记随机变量，则当程序运行一次时，下列说法正确的有（ ）
A. PX=0=481B.
C. 的数学期望D. 随机变量的方差D3X+1=8
11. 已知，则下列说法正确的有（ ）
A. 展开式的各二项式系数的和为0B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量，且，则__________．
13. 在的展开式中，有理项的个数共有__________个．
14. 如图，在体积为1的三棱锥的侧棱上分别取点，使．记为平面、平面、平面的交点，则三棱锥的体积等于__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 如图，以正四棱锥的底面中心O为坐标原点建立直角坐标系，其中，，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为，高为h．
（1）求；
（2）当是二面角的平面角时，求．
16. 甲、乙、丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务．
（1）进行合影留念时，6名同学站成一排.甲、乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种？
（2）6名同学分成三组（每组至少有一人），进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种？
17. 现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，
（1）在第一次抽到3号球的条件下，求第二次抽到1号球的概率；
（2）求第二次取到2号球的概率；
18. 如图，等边三角形的边长为8，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角．
（1）求线段的长度；
（2）求直线与平面所成角的余弦值；
（3）棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．
19. 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现分别以表示第一次排序时被排在1，2，…，的种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述．
（1）当时，若等可能地为1，2，3的各种排列，求的所有可能的取值集合；
（2）取，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，等可能地为1，2，3，4的各种排列，且各轮测试相互独立．
①求的分布列与数学期望；
②若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，计算出现这种现象的概率：出现这种现象，能否认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能？请说明理由．
数学
考试时间120分钟，试卷总分150分．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．
1. 设离散型随机变量服从两点分布，其分布列如下表，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据分布列的性质计算可得.
解答过程：依题意可得，解得.
故选：B
2. 已知点，若向量，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据题意，设，再由向量的坐标，列出方程，即可得到结果.
解答过程：设，因为，且，
则，所以，即.
故选：A
3. 杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详解九章算法》一书中，画的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．下面是，当时展开式的二项式系数表示形式．
借助上面的表示形式，判断与的值分别是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：利用“杨辉三角”中的数的特点求解即可.
解答过程：观察分析出“杨辉三角”中的数的特点：
1.每一行有个数字，每一行两端的数字均为1，
2.从第二行起，每一行中间的数字等于它上一行对应（即两肩上）的两个数字的和，
所以.
故选：D.
4. 某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P（X＝3）＝（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：表示出抽取的4人中有3个团员，分别求出从这10人中任选4人参加某种活动方法总数，以及抽取的4人中有3个团员的方法总数，由古典概率的公式即可得出答案
解答过程：表示出抽取的4人中有3个团员，
所以.
故选：D.
5. 可以表示为( )．
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据排列数的计算公式即可判断﹒
解答过程：＝，
故选：C﹒
6. 的展开式中的系数为（ ）
A. 100B. 60C. 40D. 20
答案：B
解析：
解答过程：因为，
其中展开式的通项为，
所以的展开式中含有的项为，
所以展开式中的系数为60.
7. 在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（ ）
A. 异面B. 平行C. 垂直D. 相交但不垂直
答案：B
解析：
思路：利用给定的坐标，求出向量的坐标，再借助共线向量判断得解.
解答过程：由，，，，
得，，则，即，
而，显然向量不共线，即点不在直线上，
所以直线与平行．
故选：B
8. 用代表红球，代表蓝球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“”表示取出一个红球，而“”则表示把红球和蓝球都取出来，依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的红球都取出或都不取出的所有取法的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：根据给定信息，利用分步乘法计数原理列式即得.
解答过程：从5个无区别的红球中都取出或都不取出，有种取法；
从5个无区别的蓝球中取出若干个球，有种取法；
从5个有区别的黑球中取出若干个球，有种取法，
所以所有取法为.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列关于空间向量的说法中正确的有（ ）
A. 若向量、共线，则向量、所在的直线平行
B. 若向量、所在的直线是异面直线，则向量、一定不共线
C. 若三个向量、、两两共面，则三个向量、、一定共面
D. 若、、是空间中三个不共面的向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使．
答案：BD
解析：
思路：根据共线向量的定义，可判定A错误，B正确；根据任意的两个向量共面，但三个向量不一定共面，可判定C错误；根据空间向量的基本定理，可判定D正确.
解答过程：对于A， 若向量、共线，则向量，所在的直线平行或重合，所以A错误；
对于B，若向量，所在的直线是异面直线，则向量，的方向既不相同也不相反，
所以向量，一定不共线，所以B正确；
对于C，若三个向量，，两两共面，因为任意两个向量一定共面，如图所示，
但三个向量，，不一定共面，所以C错误；
对于D，若，，是空间中三个不共面的向量，
根据空间向量的基本定理，可得对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，
使，所以D正确.
10. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个四位二进制数（每一位上数字只能是0或1，例如出现“1010”），其中的各位数字中出现0的概率为，出现1的概率为，各个位数之间互相独立．记随机变量，则当程序运行一次时，下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. 的数学期望D. 随机变量的方差
答案：BCD
解析：
思路：根据题意，得到的可能取值为，结合独立重复试验的概率计算公式，分别求得相应的概率，再由二项分布的期望与方差的计算公式，分别求得，结合选项，即可求解.
解答过程：由二进制数的特点知：每一位上的数字只能是0或1，
且各位数字出现0的概率为，出现1的概率为，各个位数字之间互相独立，
对于A，若，即各位数字都是，所以PX=0=(13)4=181，所以A不正确；
对于B，若，即各位数字中三个，一个1，所以PX=1=C41⋅23⋅(13)3=881，所以B正确；
对于C，由随机变量，可得的可能取值为，
则PX=0=181，，PX=2=C42⋅(23)2⋅(13)2=2481，
PX=3=C43⋅(23)3⋅13=3281，PX=4=C44⋅(23)4=1681，
可得随机变量服从二项分布，所以，所以C正确；
对于D，由随机变量服从二项分布，可得DX=4×23×(1−23)=89，
设，可得D(Y)=32×DX=9×89=8 ，即，所以D正确.
11. 已知，则下列说法正确的有（ ）
A. 展开式的各二项式系数的和为0B.
C. D.
答案：BCD
解析：
解答过程：对于A，各项的二项式系数和为：，A错误；
对于B，令，则，令，则，
所以，B正确；
对于C，a2027=C20272027−12027=−1 ，C正确；
对于D，令，则122027=a0+a112+a2122+⋯+a2027122027，
两边同乘得：，
所以正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量，且，则__________．
答案：
解析：
解答过程：依题意得Pξ>2=Pξ2−P2