江苏苏州市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题（含解析）

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1. 设为虚数单位，已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】.
2. 已知向量，且，则的值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，利用，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，向量，
因为，可得，解得.
故选：A.
3. 已知圆锥的底面半径为4，高为3，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由圆锥的底面半径为4，高为3，得该圆锥的母线，
所以该圆锥的侧面积为.
4. 在平面直角坐标系中，已知等腰的底边在轴上，，，按斜二测画法所得的直观图为，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先计算原等腰三角形的面积，再利用斜二测画法下直观图与原图形的面积比例关系求解.
【详解】由题意得等腰的底边，腰，
从而等腰底边的高，
所以等腰的面积是，
因为斜二测画法中，
所以的面积为.
5. 若平面平面，，，，，，则直线与不可能（ ）
A. 相交B. 垂直C. 平行D. 异面
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面基本性质推导两直线平行时会与已知条件矛盾，进而判断不可能的位置关系.
【详解】选项A：若直线与交线交于点，此时与相交，故相交是可能的，A不符合要求；
选项B：如图直线，则，B不符合要求；

选项C：假设，根据平行直线共面的性质，与确定唯一平面，
由于，，平面内过点有且仅有一条直线与平行，因此，可得，
又，故，与题设矛盾，因此与不可能平行，C符合要求；
选项D：令，且直线与相交，此时与既不平行也不相交，为异面直线，故异面是可能的，D不符合要求.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据诱导公式结合二倍角公式即可求解.
【详解】由题意得：.
7. 如图，在正方体中，已知，分别为棱，的中点，过，，三点的平面交棱于点，设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】延长交的延长线于点，连接交于点，利用相似三角形的性质求解线段长度比.
【详解】
延长交的延长线于点，连接，如图所示.
因为为的中点，且在正方体中， 所以， 所以.
设正方体的棱长为1，则.
因为为平面与棱的交点，且均在平面与平面的交线上，
所以三点共线.
在平面中，过点作于点， 因为为的中点，所以为的中点，
且，.
因为，所以， 所以， 所以，
所以.
又，所以.
因为，所以，解得.
8. 已知梯形中，，，动点在边上（不含端点，），交于点，过作于点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的加法转化，从而得到，再利用共线向量转化为，最后利用数量积公式转化求解.
【详解】,
因为, 所以，所以，
所以，因为，所以，
所以，
因为, 所以.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设为虚数单位，已知复数，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】先求，进而求得，即可判断A，计算即可判断B，计算即可判断C，计算即可判断D.
【详解】由题意得：，所以，解得，所以，故A错误，所以，
所以，故B正确，
由，故C错误，
由，所以，故D正确.
10. 设是所在平面内一点，记（，），则（ ）
A. 当，时，
B. 当，时，是线段的中点
C. 当，时，是的重心
D. 当时，的面积是面积的
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据平面向量基本定理的应用，结合向量线性运算、三角形重心性质、共线向量等知识点，逐一验证各选项即可求解.
【详解】选项A，当时，可得，
则，
，得到，故A正确；
选项B，当时，，
则，
即是线段的中点，不是是中点，故B错误；
选项C，若是的重心，则，
设的中点为，则，重心分中线为，
因此,
所以当时，是的重心，故C正确;
选项D，由题意得与具有同底，则面积比等于对应高的比值，
如图，作出符合题意的图形，以为原点建立平面直角坐标系，

设，，，，得到，
，，
因为，所以，解得，
而的高为，的高为，
则与的面积比为，
当时，面积比为,
即的面积是面积的，故D正确.
11. 如图，在正四棱柱中，已知，，点在棱上，，动点在线段上（不含端点），平面与平面交于直线，则（ ）
A.
B. 不存在点，使得
C. 的最大值为
D. 与平面所成角的最大值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】由线面平行的判定定理及性质定理可判断A；假设存在点，使得，由线面垂直的判定定理及性质推得矛盾可判断B正确；利用两角差的正切公式求出的最大值，从而得到的最大值，判断C；根据线面角的定义，利用等体积法，结合二次函数最值求法，求得与平面所成角的最大值，判断D.
【详解】对于A，由正四棱柱的性质得∥，∥，
因为平面，平面，所以∥平面.
又平面，平面与平面交于直线，
所以∥.所以∥.所以A正确.
对于B，假设存在点，使得.
过作∥，且分别交于点，
则∥，.
正四棱柱中，
平面，
所以平面，
因为平面，所以.
平面，
所以平面，所以.
矩形中，，所以，
所以，所以，
与假设矛盾，所以假设不成立，故B正确.
对于C，正四棱柱中，平面，
所以.所以，
，
.
因为，当且仅当时，等号成立,
所以，
所以当时，取得最大值.故C正确.
对于D，因为∥，所以与平面所成角等于与平面所成角，记为.
设点到平面的距离为，点到平面的距离为，则.
过作∥，且分别交于点，则，
.
所以，
，
，
所以，
所以.
所以的面积为.
又，
由，
得.
因为，所以，
所以，所以.
所以.
因为，所以与平面所成角的最大值小于.
故D错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在复数范围内写出符合方程的一个解______．
【答案】
（答案不唯一，也可填）
【解析】
【详解】依题意，，解得.
13. 已知向量，满足在方向上的投影向量为，若，，则______．
【答案】
【解析】
【详解】因为.
又，所以，所以，
所以，所以.
14. 记的内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】先通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角恒等变换得到与的关系，再将面积公式结合正弦定理变形后代入计算即可.
【详解】若，根据正弦定理，则，
化简得，进而.
又中，故，因此得
三角形面积公式为，由正弦定理得，，
所以.
已知，，所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 记的内角、、的对边分别为、、，已知．
（1）求；
（2）若，，求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理可得出的值，再结合角的取值范围可得出角的值；
（2）由化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值，可判断出是等腰直角三角形，再结合已知条件可得出、的值，由此可得出的周长.
【小问1详解】
由余弦定理可得，
因为，故.
【小问2详解】
因为，
整理可得，可得，
因为，故.
因为，所以，故是等腰直角三角形，
因为，所以，，
故的周长为.
16. 已知向量与的夹角为，，．
（1）求和的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据数量积的定义求，根据数量积的运算律求的值.
（2）根据，且向量与不共线，列式求的取值范围.
【小问1详解】
由题意，
因为，所以.
【小问2详解】
由，
所以，解得.
由.
综上，当时，向量与的夹角为锐角.
17. 如图，已知四棱台的底面是平行四边形，，为的中点，为钝角三角形．
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，，求证：平面．
【答案】（1）由四棱台的结构可知，
因为为的中点，，
则，
又四边形是平行四边形，，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）作，垂足为，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，
由棱台的性质可知，侧棱相交于一点，即共面，
因为棱台的底面底面，
底面平面，底面平面，
所以，所以，
又，所以，
又平面，
所以平面．
【解析】
【分析】（1）通过判断四边形为平行四边形，得到，即可求证；
（2）作，垂足为，通过面面垂直的性质定理得到，再结合，即可求证.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
18. 记的内角的对边分别为，已知．
（1）当点D满足时．
①若，，求；
②若，求．
（2）当时，判断的形状并证明．
【答案】（1）①；②
（2）直角三角形，
由，可得，
由余弦定理可得：，
又，由余弦定理得：，
两式联立可得：，
平方得：，又，
得，
即，
即，
即，
又，
所以，即，
所以，
所以，
故是直角三角形.
【解析】
【分析】（1）①通过，得到，再通过平方即可求解；②
【小问1详解】
①因为，即，
即，
两边平方得：，
即，又，
得，解得；
②由，
得，又，
所以，可得：
，
在中，分别由正弦定理得：
，
两式相比得：，
即，
即，
即，，
又，所以；
【小问2详解】
略
19. 如图，已知菱形的边长为2，，将沿翻折至．

（1）若二面角的余弦值等于，求三棱锥的体积；
（2）若二面角的正切值的取值范围是，，B，C，D在同一个球面上，求该球的表面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）外接球表面积的取值范围为
【解析】
【分析】（1）已知二面角余弦值，可直接求出到底面的高，结合的面积，代入体积公式即可得到结果.
（2）找到二面角的平面角，结合给定的正切范围推出的范围；再利用四点共球的性质，推导出外接球半径和的关系，代入角的范围即可得到球表面积的取值范围.
【小问1详解】
菱形边长为，，故，

记交于，得，，翻折后，
因此就是二面角的平面角，即，且.
已知，得.
过作交延长线于，由面得面，
高，所以 的面积，
因此体积：
【小问2详解】
设二面角平面角为，过作于，得面，；
过作于，，故.
是二面角的平面角，因此： .
由，代入得，即，
结合得，故，即.
和都是边长为2的正三角形，设外心分别为，，
球心是过分别垂直两个面的直线交点，由面得，
结合几何关系推导得： ,
代入，得，外接球表面积，因此： .