2025-2026学年湖南省长沙市望城区第一中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年湖南省长沙市望城区第一中学高二（下）期中数学试卷，文件包含人教版2019必修第二册高二化学同步精品讲义习题第七章有机化合物单元评价单元评价教师版docx、人教版2019必修第二册高二化学同步精品讲义习题第七章有机化合物单元评价单元评价学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|-1＜x＜a}，B={x|x≤2a-1}，且A⊆B，则a的取值范围是（ ）
A. （-1，1]B. （1，+∞）
C. [1，+∞）D. （-∞，-1]∪[1，+∞）
2.若α∈（0，π），，则sinα-csα=（ ）
A. B. C. D.
3.某AI导航机器人团队，调研5组不同避障阈值x（单位：灵敏度）与路径规划耗时y（单位：ms）得到的数据如下表：
由表中数据可知，规划耗时y与避障阈值x之间存在较强的线性相关关系，其经验回归方程是，则规划耗时数据5，6，8，n,11的第75百分位数为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 10.5
4.如图，M，P分别是四面体OABC的棱BC，BA的中点，且，记，则=（ ）
A.
B.
C.
D.
5.已知直线l1：x+（a+1）y-1-a=0，直线l2：（a+1）x-（2a-1）y+a-1=0，则“a=-4”是“l1∥l2”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.圆x2+y2=20与圆x2+y2-6x-8y+20=0的公共弦长为（ ）
A. 2B. C. D. 4
7.双曲线E：的右焦点为F，过点F且斜率为的直线与y轴交于点A，线段AF与E交于点B，若B为AF的中点，则E的离心率为（ ）
A. B. C. D. 5
8.已知函数f（x）=ex，g（x）=ax2，若对任意的x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，f（x1）-f（x2）＜g（x1）-g（x2）恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. （-∞，0]B. C. （-∞，e]D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知不重合直线a,l,不重合平面α，β，γ，则下列结论正确的有（ ）
A. 若l∥α，l⊥β，则α⊥β
B. 若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ
C. 若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l,则l⊥γ
D. 若a∥α，a∥β，则α∥β
10.已知数列{an}的首项a1=2，且满足，下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列为等差数列
C. 数列{an}是递增数列D. 数列{an}的前n项积为Tn，则Tn≤2
11.△ABC满足sinA：sinB：sinC=2：：3，且，则（ ）
A. △ABC三个内角A，B，C满足关系A+C=2B
B. △ABC的周长为
C. 若∠B的角平分线与AC交于D，则BD的长为
D. 若E为△ABC外接圆上任意一点，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知A、B为随机事件，且P（A）=0.5，P（B）=0.4，若P（B|A）=0.5，则= .
13.在（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）的展开式中，x3项的系数为 .
14.如图是一段柱体状的水沟的直观图，其横断面（平行于底面的截面）如图所示，其中的曲线段AOB是顶点为O且AO、BO相互对称的抛物线弧，沟宽AB为2米，沟深（O到直线AB距离）为1米.若要将水沟改挖（不填土）为横断面为等腰梯形的水沟，使得水沟底面与地面平行，则改挖后水沟的底部宽为 米（近似到0.01米）时，所挖土最少.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知曲线f（x）=2lnx-f′（1）x+3，g（x）=eax+b,且曲线g（x）在点（0，g（0））处的切线与直线2x+y+1=0垂直.
（1）求f′（1）的值；
（2）求a的值；
（3）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与曲线g（x）也相切，求b的值.
16.(本小题15分)
设Sn为数列{an}的前n项和，已知a2=1，2Sn=nan.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Tn.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AB=BC=1，PA=PC=.
（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）若AB⊥AD，∠APD为锐角，且平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值为，求AD.
18.(本小题17分)
冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮.某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格.若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼.
（1）已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列
（2）为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）.假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率；
（3）经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布N（μ，σ2）.已知μ=74，σ=7，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格？附：P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974.
19.(本小题17分)
已知椭圆（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的倍，且C经过点（2，-1）.
（1）求C的方程；
（2）设O为坐标原点，过圆O：x2+y2=9上一动点M作C的两条切线，切点分别为A，B.
（i）证明：∠AMB恒为定值；
（ii）求四边形OAMB的面积的最大值.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】ABD
11.【答案】ABD
12.【答案】0.3．
13.【答案】10
14.【答案】0.71
15.【答案】1 2 ln2-1
16.【答案】解：（1）a2=1，2Sn=nan，可得n=1时，2a1=2S1=a1，即a1=0，
当n≥2时，由2Sn=nan，可得2Sn-1=（n-1）an-1，两式相减可得2an=nan-（n-1）an-1，
当n=2时，上式显然成立，
当n≥3时，=，
则an=a2•••...•=1•••...•=n-1，
上式对n=1，n=2都成立，
所以an=n-1，n∈N*；
（2）=n（）n，
Tn=1•+2•（）2+3•（）3+...+n（）n，
Tn=1•（）2+2•（）3+3•（）4+...+n（）n+1，
上面两式相减可得Tn=+（）2+（）3+...+（）n-n（）n+1
=-n（）n+1，
化为Tn=2-（n+2）（）n．
17.【答案】作PO⊥AD，垂足为O，连接OC，
在Rt△PAO中，，所以PO=2，AO=1，
∵BC=1=AO，AO∥BC，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∴OC=AB=1，
∴OC2+OP2=PC2，即PO⊥OC，
又AD∩OC=O，AD，OC⊂平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
∵PO⊂平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABCD AD=3
18.【答案】分布列见解析；
；
高二年级学生体能检测合格．
19.【答案】 （i）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），

若直线BM的斜率不存在，则直线BM的方程为，
此时直线AM的方程为，此时；同理，若直线AM的斜率不存在，则．
若直线AM，BM的斜率都存在，设直线AM的斜率为k1，
则直线AM的方程为y-y1=k1（x-x1），
由，得，
因为直线AM与椭圆C相切，
则，
化简得，
又，所以，代入上式得，
所以，即，
所以，解得（y1≠0），
所以直线AM的方程为，整理得，
设直线BM的斜率为k2，直线BM的方程为y-y2=k2（x-x2），
同理可得直线BM的方程为，
设M（x0，y0），其中，
则有，，所以直线AB的方程为，
若y0=0，则x0=±3，直线AB的方程为x=±2，可得y=±1，
不妨设M（3，0），A（2，1），B（2，-1），此时，
故AM⊥BM即．
若y0≠0，由整理得，
所以，，
故
=，
整理得，又，
所以，则AM⊥BM，即．
综上可知，∠AMB恒为定值．
（ii）6 避障阈值x
9
9.5
10
10.5
11
规划耗时y
11
n
8
6
5