2025--2026学年湖南省长沙市长郡中学等校高二下册5月期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年湖南省长沙市长郡中学等校高二下册5月期中考试数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知i是虚数单位，复数满足，则（ ）
A．1B．C．D．2
3．抛物线C：的焦点为F，C上的点到F的距离等于到直线的距离，则（ ）
A．8B．4C．2D．1
4．设，，且，则的最小值为（ ）
A．8B．C．10D．
5．已知函数为奇函数，则（ ）
A．-2B．0C．-3D．-1
6．若事件A，B满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，，若，使得有解，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则有两组解
B．若，则
C．若，则为等腰三角形
D．（为外接圆的半径）
10．首项为正数的等差数列的前n项和为，且，当取到最大值时，n的取值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
11．已知正方体的棱长为2，球为其内切球，球为其外接球，点P是的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．球与球的体积之比为
B．点P到球表面的距离的最小值为
C．若在正方体内部放置两个相互外切的球，两球球心同在正方体的一条体对角线上且两球都与正方体的三个切，则这两个球的体积之和的最小值为
D．分别以正方体的四个顶点A，C，，为球心，为半径作四个球，记这四个球的公共部分为几何体Ω，几何体Ω内能容纳的最大球的表面积为
三、填空题
12．的展开式中的系数是________．（用数字作答）
13．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为______.
14．已知向量，满足，，，若，，且，分别是在，上的投影向量，则的最小值为_____.
四、解答题
15．已知函数.
(1)求函数的最小正周期与单调增区间；
(2)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，求面积的最大值.
16．已知等差数列及其前项和满足，.数列满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
17．如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，，是正三角形，，为上一点.
(1)证明：平面；
(2)若∥平面，求二面角的余弦值.
18．已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若有两个极值点.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明.
19．已知过点的椭圆：的离心率为，直线过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于A，B两点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线的斜率存在，点A关于x轴的对称点是，求证：直线过x轴上的定点M，并求其坐标；
(3)在（2）的条件下，过点M作x轴的垂线与交于点Q，记线段的中点为，的面积为，的面积为，求的取值范围.
答案
1．D
【详解】集合，所以.
2．A
【详解】法一：，所以；
法二：两边同时取模，
即，所以.
3．B
【详解】根据抛物线的定义，是其准线，
因为的准线方程为，
所以，解得.
4．D
【详解】两边同时除以，得到，
，
当且仅当，即，时等号成立.
5．C
【详解】若，则，
所以，
所以，，.
6．A
【详解】，代入，得到，
又因为，
所以.
7．A
【详解】当时，，所以只需要，使得，
即，，，
即关于的方程，，在上有解，
首先，，其次要使得最小，则需最小，最大，即当，时，最小，
故所求最小值为.
8．C
【详解】对求导得，再对求导得，
令，得，可以得到的对称中心的横坐标为，
又，的对称中心为，
表示将的图象向右平移a个单位长度，
向上平移b个单位长度，因为为偶函数，只需要将对称中心移至原点即可，
所以，，故.
9．ABD
【详解】对A，由正弦定理得，
所以或，故有两组解，故A正确；
对B，三角形中大边对大角，因为，则，再由正弦定理可知，故B正确；
对C，若，则或者，即或者，
所以为等腰三角形或者直角三角形，故C错误；
对D，由正弦定理和面积公式，
可知，故D正确.
10．BC
【详解】因为，所以，所以.
故，又，所以，
所以，
而，所以n取值是6或7时，取最大.
11．ACD
【详解】因为正方体棱长为2，所以其内切球半径为1，外接球半径为，
根据球的体积公式可知球与球的体积之比为，故A正确；
P为球内一点，则P到球表面上的最小距离是半径，故B错误；
设这两个与正方体三个切的球半径分别是r，R，
它们的球心在正方体的体对角线上，且球心距离为，
球心到对应正方体顶点的距离分别是和，
则，解得，
两球的体积之和
，
利用基本不等式可知当时，体积之和最小，故C正确；
如图，三棱锥是正四面体，四个球公共部分几何体Ω的中心是正四面体的中心，也就是正方体的中心O，
最大的球是内切球，也就是中心O到四个球面的距离，则最大球的半径，
故最大球的表面积，故D正确.
12．15
【详解】的展开式通项公式为，
令，则，
所以的展开式中的系数是．
13．
【详解】由题可知函数在上单调递增，则，
参变分离得到，令，.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
当时取最大值，所以.
即实数a的取值范围为.
14．
【详解】，，类似可得，
，
当且仅当时等号成立.
15．(1)，，.
(2).
【详解】（1）
，
所以函数的最小正周期，
令，，解得，.
故函数的单调递增区间为，
（2）由，，
又因为，所以，所以，即.
因为，根据基本不等式，当且仅当时等号成立，
所以，所以面积的最大值为.
16．(1)，.
(2).
【详解】（1）数列是等差数列，设公差为，
因为，所以，
又，，解得，，
所以.
当时，，因为
所以，
当时，由题设得，满足上式，所以.
（2）由（1）可知，，所以，
所以，①
所以，②
①-②可得，
所以.
17．(1)证明见解析
(2).
【详解】（1）法一：如图所示，取的中点，的中点，连接，，，，
因为是正三角形，，则，
又为的中点，所以，
又底面四边形为菱形，，
所以是等边三角形，所以，
因为，平面，平面，所以平面.
又平面，进而，
同理可得，
因为，平面，平面，所以平面
法二：设，连接，则，在点相互平分，
又在菱形中，，
是正三角形，则，
而，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
作交于点M，则平面，
因为底面四边形为菱形，，，所以，
因为是正三角形，，所以，
在中，，
又因为在中，，
所以，
所以点M与点A重合，即平面.
（2）因为∥平面，平面，且平面平面，则∥，
由于O为的中点，所以E为的中点，
如图，分别以，所在直线为x，y轴，过O且平行于的直线为z轴建立空间直角坐标系，
由（1）可知，
所以，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，得.
设平面的法向量为，
则，即
令，得，
.
由图可知，二面角是钝角，所以二面角的余弦值为.
18．(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析
【详解】（1）当时，，则，
又，所以.
所以曲线在处的切线方程为.
（2）（i），求导得，
因为有两个极值点，所以在上有两个不相等的根，
又，则只需要解得，
所以实数的取值范围为.
（ii）因为，且是方程的根，
所以且，
则，
令，，则，
令，则，令，解得，
因为在上单调递增，且，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以使得函数在上单调递增，在上单调递减，且.
故函数的最大值为
，即得证.
19．(1)
(2)证明见解析，
(3).
【详解】（1）依题意可知
解得，，，
所以椭圆的标准方程是.
（2）设，，，
当直线与轴不重合时，设直线的方程为，
联立化简得，
且，，①
又，直线的方程为，
令，解得，
将①代入可得，所以定点为，
当直线与轴重合时，即直线为轴，也过点，
所以直线过轴上的定点.
（3）当直线的斜率为时， ，比值无意义，故以下讨论直线斜率不为的情况.
两直线交于，，
因为，，
所以，
所以，
.
所以.
又因为，所以 .