2026长沙一中高二下学期5月期中数学试题含解析

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设复数，为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知集合则（ ）
A. B.
C. D.
3. 某新能源车型的续航里程（单位：公里）服从正态分布．若该车型中的车续航里程介于360公里与440公里之间，则续航里程超过420公里的车在该车型中的占比约为（ ）（参考公式：，，
A. B. C. D.
4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 若，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 双曲线 的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且则C的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
8. 定义在上的三个函数，若，则的大小关系不可能是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知，下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，且，则
D. 若，则
10. 定义在上的函数满足为偶函数，且，则下列说法中正确的有（ ）
A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的图象关于成中心对称
D.
11. 数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体．关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（ ）
A. 三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为
B. “等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形
C. 三组对棱长度分别为a，b，c的“等腰四面体”的外接球直径为
D. “等腰四面体”的外接球与内切球的球心重合
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若的展开式的二项式系数和为32，且的系数为__________．
13. 已知变量x，y的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现y与x之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归直线方程为且当x=9时，残差为-0.1．则当x=11时，y的预测值为___________．
14. 现有一盒子里装有序号分别为的六个大小、质地完全相同的小球，甲、乙、丙三人依次不放回地从盒子里各随机抽取一次（每个球被抽取的可能性相同），记录被抽取的球的序号分别为，则满足的情况有______种．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与平行.
（1）求；
（2）若，，求△ABC的面积.
16. 已知函数
（1）当时，求的单调区间；
（2）求在区间上的最小值．
17. 已知是等差数列，其前n项和为是等比数列，已知是和的等比中项．
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和
18. 在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常运行的概率称为系统的可靠度.某系统有四个核心部件，其中甲型两个，乙型两个，四个部件至少有三个正常工作时，系统才能正常运行，且各部件是否正常工作相互独立，一个甲型部件的可靠度为，一个乙型部件的可靠度为，且，系统能正常运行称为试验成功.
（1）在一批产品中随机抽取六盒甲型部件，每盒9件，经逐个检测部件指标可以整理成下表，已知指标在内甲型部件可以正常工作.
（i）请根据抽样结果估计甲型部件的可靠度；
（ii）若取（i）中的估计值，在一个系统试验成功的条件下，求这个系统中两个甲型部件同时正常工作的概率；
（2）研发人员计划按照下图结构优化系统，①②位置上的部件中至少有一个能正常工作并且③④位置上的部件中至少有一个能正常工作，系统就能正常运行.优化后系统比优化前可靠度是否有提高？按照这个优化方案怎么安排原有的四个部件使新系统可靠度最大，请说明理由.
19. 已知是椭圆上的左、右焦点，P，Q，R是椭圆上三点．
（1）设点R处的切线l的斜率为请用R的坐标表示
（2）（i）求的面积的最大值；
（ii）当的面积取最大值时，求的重心的坐标．
x
5
6
7
8
9
y
3.5
4
5
6
6.5
盒一
31
45
28
55
58
66
57
39
42
盒二
48
67
42
46
56
35
29
53
34
盒三
31
53
48
37
29
34
45
58
64
盒四
55
28
44
36
61
47
56
61
57
盒五
30
49
54
43
35
62
32
56
59
盒六
54
52
29
37
56
47
60
38
44