湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题 含解析

这是一份湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题 含解析，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120 分钟 满分：150 分
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将分式不等式转化为整式不等式组求解，确定 后求交集得 .
【详解】∵ ，∴ ， ，解得 ，
∴ ，又 ，
∴ .
故选：B.
2. 已知复数 满足 ，则 的虚部是（ ）.
A. 2. B. -2. C. 2i. D. -2i.
【答案】B
【解析】
【分析】根据共轭复数的概念，可得出结果.
【详解】由 ，可得 ，所以 的虚部是-2，
故选：B.
3. 已知平面向量 ， ，若 ，则实数 （ ）
A. 1 B. -1 C. -4 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量平行得到方程，求出答案.
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【详解】因为 ， ，且 ，所以 ，解得 .
故选：A.
4. 已知 ， ，则 的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】由同角的三角函数的关系可得 ，再由两角和的余弦可求 的值.
详解】由于 ， ，故 ，
，
故选：C.
5. 已知某羽毛球小组共有 40 名运动员，其中一级运动员 8 人，二级运动员 12 人，三级运动员 20 人.现举
行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为 0.9，0.6，0.3，则这 40 名运动员
中任选一名运动员能够晋级的概率为（ ）
A. 0.42 B. 0.46 C. 0.51 D. 0.62
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意确定全概率公式中各量，再由全概率公式计算可得.
【详解】设事件 B 为“选出的运动员能晋级”， 为“选出的运动员是一级运动员”， 为“选出的运动员是二
级运动员”， 为“选出的运动员是三级运动员”，
则 ， ， ，
又根据题意可得 ， ， ，
∴由全概率公式可得：
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，
∴任选一名运动员能够晋级的概率为 0.51.
故选：C.
6. 已知双曲线 ： 的焦距为 10，左、右焦点分别为 ， ，过点 作斜率不为
0 的直线 与双曲线 的左、右支分别交于 ， 两点.若 的内切圆与直线 相切于点 H，且
，则双曲线 的渐近线方程为（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设 的内切圆分别切 ， 于点 ， ，然后结合三角形内切圆的性质以及双曲线的
定义可求得 ，再结合 可求出 ，从而可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】设 的内切圆分别切 ， 于点 ， ，
则 ， ， ，
因为 ，所以 ，
得 ，
所以 ，即 ，①
因为 ，所以 ，
即 ，②，
所以①+②，得 ，得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以双曲线 ： 的渐近线方程为 ，
即 .
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故选：D.
7. 已知正方体 的棱长为 4，点 为 的中点，若点 ，A，C， 都在球 O 的表面
上，则球 O 的表面积为（ ）
A. 11π B. 12π C. 36π D. 44π
【答案】D
【解析】
【分析】结合图形，题目条件可得 平面 ，从而可得球心在 在 上，设 ，结合
可得 ，进而可得球体半径，即可判断选项正误.
【详解】由正方体的性质可知 ， 平面 ，又 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，同理可证 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
设 ，则 为 的中点，设 ，
由正方体的对称性易知 为等边 的中心，
则如图所示，球心 在 上，
设 ， ， ，
所以 ，
所以 ， ，
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所以 ，
因为球 的半径 ，即 ，
解得 ，所以 ，则球 O 表面积为 .
故选：D.
8. 对 ，设 是关于 x 的方程 的实数根，数列 满足
其中符号 表示不超过 的最大整数，则 （ ）
A. 1013 B. 1015 C. 2025 D. 2027
【答案】C
【解析】
【分析】先利用导数判断函数的单调性，再根据零点存在定理判断 ，从而可求 ，故可
求 .
【详解】设函数 ，则 ，
当 是正整数时，可得 ，则 为增函数，
因为当 时， ，
且 ，
所以当 时，方程 有唯一的实数根 且 ，
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所以 ， ， ，
又 ，
因此 .
故选：C
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若回归方程为 ，则变量 x 与 y 负相关
B. 运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本点的中心
C. 若散点图中所有点都在直线 上，则相关系数
D. 若决定系数 的值越接近于 1，表示回归模型的拟合效果越好
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据回归方程及相关概念判断 AB，由散点图及相关系数概念判断 C，利用决定系数概念判断 D.
【详解】对于 A，回归方程为 的斜率为负，则变量 x 与 y 负相关，A 正确；
对于 B，回归直线方程一定经过样本点的中心 ，B 正确；
对于 C，散点图中所有点都在直线 上，则相关系数 ，C 错误；
对于 D，决定系数 的值越接近于 1，表示回归模型的拟合效果越好，D 正确.
故选：ABD.
10. 已知 是抛物线 ： 的焦点，过点 且倾斜角为 135°的直线 与 交于
， 两点，则（ ）
A. B.
C. D. 以 为直径的圆与抛物线 C 的准线只有 1 个公
共点
【答案】BCD
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【解析】
【分析】对于 A，由焦点坐标可确定抛物线方程；对于 B，将直线与抛物线方程联立，由韦达定理可判断选
项正误；对于 C，由 B 选项分析结合抛物线定义可得答案；对于 D，由抛物线定义及梯形中位线定理可得
，据此可判断选项正误.
【详解】对于 A，由 是抛物线 ： 的焦点，知 ，解得 ，所以选项 A
错误；
对于 B，由 可得抛物线方程为 .过点 且倾斜角为 135°的直线 的斜率
，根据点斜式可得直线 的方程为 ，即 .
将 代入 ，可得 ，即 .
因为 ， 是直线 与抛物线 C 的交点，根据韦达定理， ，所以选项 B 正确；
对于 C，由抛物线的焦点弦长公式 .
因为 ， ，所以 ， ，则
.
又因为 ，所以 ，所以选项 C 正确；
对于 D，设 的中点为 P，分别过 M，N，P 作抛物线 C 的准线的垂线，
垂足分别为 ， ， ，
根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
则 ， .
所以 .
这说明以 为直径的圆的圆心 P 到准线的距离等于圆的半径，
所以 为直径的圆与抛物线 C 的准线只有 1 个公共点，所以选项 D 正确.
故选：BCD.
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11. 我们把 称为双曲余弦函数，其函数表达式为 ，相应地双曲正弦函数的函数表达
式为 .若直线 与双曲余弦函数曲线 和双曲正弦函数曲线 分别相交于点 A，B，曲
线 在点 A 处的切线与曲线 在点 B 处的切线相交于点 P，则（ ）
A. 是奇函数
B.
C. 在区间 上随 m 的增大而减小，在区间 上随 m 的增大而增大
D. 的面积为定值
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定的函数，利用奇偶函数的定义判断 A；利用指数运算计算判断 B；利用导数的几何意义，
结合导数确定单调性判断 C；求出三角形面积的函数关系判断 D.
【详解】对于 A， ，
是奇函数，A 正确；
对于 B， ，
，
因此 ，B 错误；
对于 C，设 ，则 ，
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而 ，则 ，
曲线 在点 A 处的切线方程 ，即 ，
曲线 在点 B 处的切线方程 ，即 ，
则 ， ，
令 ，则 ，由 ，得 ；由 ，得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，C 正确；
对于 D， 的面积为 ，
因此 的面积随 的增大而减小，D 错误.
故选：AC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若随机变量 服从二项分布 ， ，则 ______.
【答案】7
【解析】
【分析】根据二项分布期望公式以及性质，求解即可.
【详解】由于 X 服从二项分布 ，所以 ，故 .
故答案为：7
13. 在五一小长假期间，要从 6 人中选若干人在 3 天假期值班（每天只需 1 人值班），不出现同一人连续值
班 2 天，则可能的安排方法有______种.
【答案】150
【解析】
【分析】分值班人数为 2 人或 3 人，结合分类计数原理可得答案.
【详解】根据题意可知，值班的人数为 2 人或者 3 人，若人数为 2，则需要一个人值班首尾两天，一个人值
中间的那一天，故方法数为： ；若人数为 3，则每人值一天班，故方法数为 ；故总的
方法有 30+120=150 种.
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故答案为：
14. 已知圆 的方程为 ，直线 的方程为 ，直线 被
圆 截得的弦中长度为整数的共有______条.
【答案】9
【解析】
【分析】确定直线过定点 ，进而求得弦长最大、最小值，即可求解.
【详解】直线 ： 可化为 ，由
可得 ，即直线 过定点 ，
因为 ，所以点 在圆 C 内，
当点 为直线 被圆 C 截得的弦的中点时，弦长最短，点 到圆心 的距离
，
所以直线 被圆 C 截得的最短弦长为 ，
最长的弦为直径，长度为 10，
所以弦长的取值范围是 .又 弦长为 6，7，8，9 的直线各两条，弦长为 10 的直线有一
条，
又直线 被圆 C 截得弦长为 ，不是整数，
所以截得的弦中长度为整数的直线共有 9 条.
故答案为：9
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记 内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 .
（1）求 B；
（2）设 D 为边 的中点，若 ， ，求 的面积.
【答案】（1）
（2）
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【解析】
【分析】（1）利用正弦定理和两角和 正弦公式即可求解；
（ 2） 由 余 弦 定 理 有 ， 由 结 合 平 面 向 量 数 量 积 运 算 律 可 得
，进而求得 ，再利用三角形的面积公式即可求解.
【小问 1 详解】
由正弦定理得， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
又 ，∴ .
【小问 2 详解】
由余弦定理得， ，即 ，①
因为 D 为 的中点，
所以 ，则 ，
又 ，∴ ，②
联立①②有 ，解得 ，
∴ 的面积为 .
16. 某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了 100 个，将其质量指标值（单位：
分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图.
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（1）求 的值；
（2）求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）当配件的质量指标值不小于 80 分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中有放回地随机
抽取 3 件产品，随机变量 表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求 的分布列及数学期望.
【答案】（1）
（2）
（3）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图可得 ；
（2）由（1）结合频率分布直方图可求平均数；
（3）设 p 表示在这批产品中随机抽取一件产品，所抽取的产品为优秀品的概率，由题可得 ，则随
机变量 ，X 的所有可能取值为 0，1，2，3，据此可得答案.
【小问 1 详解】
由题知， ，解得 .
【小问 2 详解】
设 为样本数据的平均数，
则 ，
故这组样本数据的平均数为 76.5.
【小问 3 详解】
设 p 表示在这批产品中随机抽取一件产品，
所抽取的产品为优秀品的概率，由题知 ，
随机变量 ，X 的所有可能取值为 0，1，2，3，
则 ，
，
，
，
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∴X 的分布列为
0 1 2 3
0.216 0.432 0.288 0.064
随机变量 X 的数学期望 .
17. 已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，设 ，讨论函数 的单调性；
（3）若函数 在 上有且仅有 2 个零点，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2） 在 上单调递增，在 上单调递减；
（3）
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数几何意义求出切线方程；
（2）当 时， ， ，求导，解不等式，得到函数单调性；
（3）当 时，由 ，得 ，令 ， ，求导，得到其单调性，从
而画出 在 上 图象，数形结合得到当 时，直线 与函数 在
上的图象有两个交点，得到答案.
【小问 1 详解】
当 时， ，所以 ，
则 ，而 ，
所以所求切线方程为 ，即 .
【小问 2 详解】
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当 时， ， ，所以 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减；
【小问 3 详解】
当 时，由 ，得 ，令 ， ，
依题意，直线 与函数 在 上的图象有两个交点，
，当 时， ，当 时， ，
故函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 的最大值为 ，且 ， ，
画出 在 上的大致图象如图，
当 时，直线 与函数 在 上的图象有两个交点，
所以实数 的取值范围是 .
18. 如图，在矩形纸片 中， ， ，沿 将 折起，使点 D 到达点 P 的位置，点
P 在平面 的射影 H 落在边 上.
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（1）求三棱锥 的体积；
（2）若 M 是棱 上的一个动点，是否存在点 M，使得平面 与平面 的夹角正切值为 ，若
存在，求点 M 到平面 的距离；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）先由点 射影得 平面 进而 ，结合 证 平面 推出
，利用矩形得三角形相似，根据已知边长求相关线段长，最后在直角三角形求 并算出三棱
锥 体积；
（2）先建立空间直角坐标系确定各点坐标，设 得出 坐标，分别求平面 与平面 的
法向量，根据两平面夹角正切值求出余弦值，利用向量夹角公式列方程求解 ，进而得到点 到平面
的距离.
【小问 1 详解】
作 ，垂足为 E，连接 ，如图所示.
由点 在平面 的射影 落在边 上，可得 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 .
因为四边形 为矩形，所以 ，可得 ，
由 ， ，可得 ， ， .
所以 ， .
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由 ，可得 ，即 ，
则 .
在 中， .
所以 .
【小问 2 详解】
根据题意，以点 H 为坐标原点，以过点 H 且平行于 的直线为 y 轴，分别以 ， 所在直线为 x，z
轴建立空间直角坐标系，如图所示.
则 ， ， ， ， .
设 ， ，
可得 ，
所以 .
易知 ， ， ， .
设平面 的法向量为 ，
所以
解得 ，取 ，则 ，即 ，
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设平面 的法向量为 ，
所以
解得 ，取 ，则 ，即 ，
因为平面 与平面 的夹角正切值为 ，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，
即 ，
整理可得 ，解得 （舍去）或 .
因此当 时，平面 与平面 的夹角的正切值为 ，
此时点 到平面 的距离为 .
19. 已知椭圆 ： 的左焦点为 ，椭圆上任意一点到 的距离最大值为 6.
（1）求椭圆 的方程；
（2）过原点且斜率为 的直线与椭圆 交于 M，N 两点.
（i）当 时，设直线 ， 的斜率分别是 ， ，求证： 为定值；
（ⅱ）过点 作垂直于 的直线交 于 ，交圆 ： 于 P，Q 两点，记 ，
的面积分别为 ，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
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【解析】
【分析】（1）根据焦点及椭圆的性质得 ， ，进而可得 ，即可得方程；
（2）（i）不妨设 ， ，联立直线与椭圆方程，应用韦达定理、斜率两点式整理化简即
可证得；
（ⅱ）根据已知及圆、椭圆的对称性得 ，讨论 、 求右侧范围，即可得.
【小问 1 详解】
由题知 ，又 ，可得 ， ，
则椭圆方程为 .
【小问 2 详解】
（i）不妨设 ， ，
由 ，化简为 ，
显然 ，则 ， ，
又
，即证.
（ii）由于 ， 均为直角三角形， ， ，
由圆的性质知 ，故 ，
由于 ， ，
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当 时， ，则 ，
当 时，直线 方程为 ，则 ，
又 ，
所以 ，令 ，那么 ，
即 ，则 ，
综上可得， .
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