河北省唐山市开滦第二中学2023~2024学年高二下学期期末考试数学试卷[附解析]

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第Ⅰ卷（选择题，共 58 分）
一．选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知复数 z 满足 ，则 （ ）
A. 1 B. C. D. 2
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知函数 满足 ，则实数 m 的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
4. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在半径为 的圆 中，有一条长度为 的弦 ，则 （ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 12
6. 已知函数 在 上的最大值为 4，则实数 a 的取值范围为（ ）
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A B. C. D.
7. 直线 l 过双曲线 E： 的左顶点 A，斜率为 ，与双曲线的渐近线分别相交于 M，
N 两点，且 ，则 E 的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
8. 一个封闭的棱长为 的正方形容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半，若将该正方
体任意旋转，则容器里水面的最大高度为
A. B. C. D.
二．选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的编号为 1，2，3，4 的 4 个小球，从中任意摸出两个球．设事
件 “摸出球的编号之和为 5”，事件 “摸出球的编号都大于 2”，事件 “摸出球中有编号为 3 的球”，
则下面说法正确的有（ ）
A. 事件 A 与事件 B 互斥事件 B. 事件 B 与事件 C 是对立事件
C. 事件 A 与事件 C 是相互独立事件 D.
10. 已知定义在 R 上的函数 满足： ，若 为数列 的前 n 项和，且
，（ ）则下列结论中正确的有（ ）
A. B. 数列 为等比数列
C. 为等差数列 D.
11. 函数 的部分图象如右图所示，A 为图象与 x 轴的一个交点，
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B，C 分别为图象的最高点与最低点，若 ，则以下选项正确的有（ ）
A. B. 三角形 ABC 的面积为
C. D. 是 f（x）的一条对称轴
第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 唐山市 2024 年中考市区考生约 15600 人，考生的成绩 X（含优惠）近似服从正态分布：
，已知 ，则唐山市区本次中考成绩在 600 分以上的人数约为
______人．
13. 展开式中 的系数是______.
14. 在四面体 中， ，若该四面体的体积为 4，则该四面体的
外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 的内角 所对的边分别为 ，已知 的面积为 .
证明： ；
若 求 .
16. 在三棱锥 P-ABC 中， ， ，E 为 AC 的中点， ．
（1）求证：平面 平面 ABC；
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（2）求点 C 到平面 PAB 的距离．
17. 为了解唐山市各县区经济发展状况，以便制定更好的经济政策，要对各县区进行经济普查，为保障普查
顺利进行，在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记．由于种种情况可能会导致
入户登记有的不够顺利，所以唐山市发改委先对Ａ县区进行了试点性的普查，以便为正式普查提供了宝贵
的试点经验．在普查的 A 县区，共有 50 家企事业单位，150 家个体经营户，普查情况如下表所示：
普查对象类别 顺利 不顺利 合计
企事业单位 40 10 50
个体经营户 100 50 150
合计 140 60 200
（1）试根据小概率值 的独立性检验，分析普查的 A 县区的入户登记是否顺利与普查对象的类别
是否有关联；
（2）以频率作为概率，某普查小组从 A 县区随机选择 1 家企事业单位，3 家个体经营户作为正式普查对象，
入户登记顺利的对象数记为 X，写出 X 的分布列，并求 X 的期望值．
附：
α 0.10 0 010 0.001
2.706 6.635 10.828
18. 已知抛物线 ： 经过点 ，经过点 作一斜率为 的直线 与 的
另一交点为 ，直线 与直线 关于 对称且与 的另一交点为 ．
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（1）求抛物线 的方程；
（2）直线 的斜率；
（3）若点 在以 为直径的圆内，求 的取值范围．
19 已知函数 ， ．
（1）证明：函数 有且仅有一个零点；
（2）若 ，求函数 与 的公切线的方程；
（3）已知函数 ，若 恒成立，求实数 a 取值范围．
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