2025--2026学年河北邯郸冀南新区凌云中学高一下册5月期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年河北邯郸冀南新区凌云中学高一下册5月期中考试数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 等于（ ）
A. B. C. D.
2. 设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
3. 已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相交或异面
C. 平行或异面D. 相交、平行或异面
4. 已知为虚数单位，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，正方形的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形的周长是（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
6. 在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ）
A. B. C. D. 或
7. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上（即）．行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D相对公路所在平面的高度（ ）.
A. B. 100mC. D.
8. 如图，为正四棱锥的底面中心，，分别是，上的动点，若是边长为2的正三角形，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 长方体是平行六面体
B. 正四棱柱是正方体
C. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
D. 棱台的侧面是梯形
10. （多选）已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. D. 的最大值为2
11. 设是平面内相交的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且它们的夹角为.若向量，则把有序实数对叫做在坐标系中的坐标，即.设，则（ ）
A.
B.
C. 在上的投影向量的坐标为
D.
第II卷（非选择题，共92分)
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，的夹角为45°，且，，则______.
13. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝8．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为 __．
14. 在中，为边上不同于的任意一点，点为线段的三等分点（靠近点，若，则的最小值为___________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 实数取什么值时，复数是
（1）实数；
（2）纯虚数.
16. 已知向量，O为坐标原点.
（1）若，求实数k的值；
（2）在（1）的条件下，求向量与的夹角余弦值.
17. 如图，中，，，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C，M，与BC交于点N），将绕直线BC旋转一周得到一个旋转体.
（1）求该旋转体中间一个空心球的表面积的大小；
（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积.
18. 在中，内角所对的边分别为，．
（1）求的值；
（2）若的面积为，求的值．
19. 如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点.

（1）求证：；
（2）求证：平面；
（3）若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由.
数学
第I卷（选择题，共58分)
一、单项选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 等于（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程.
2. 设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
答案：C
解析：
思路：根据基底的定义，结合共线向量的性质判断即可.
解答过程：平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成，
C选项中，，即和为共线向量，
所以它们不能作为基底．
其他选项中的两个向量都不共线，所以可以作为基底．
故选：C
3. 已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相交或异面
C. 平行或异面D. 相交、平行或异面
答案：B
解析：
思路：根据空间中线线的位置关系判断即可.
解答过程：因为与相交，所以与确定一个平面，不妨设为，
又，所以或，
若，则与相交，若，则与异面；
综上可得与的位置关系是相交或异面.
故选：B
4. 已知为虚数单位，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简求解即可.
解答过程.
5. 如图，正方形的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形的周长是（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
答案：D
解析：
解答过程：因为正方形的边长为1，
所以，，
将直观图还原为原图形，如图：
由直观图的作法可知，中，，，
所以，，
所以原图形的周长是.
6. 在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ）
A. B. C. D. 或
答案：A
解析：
解答过程：在中，由，有，所以.
又，故，所以.
7. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上（即）．行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D相对公路所在平面的高度（ ）.
A. B. 100mC. D.
答案：C
解析：
思路：先由正弦定理解得，再解直角三角形即可得解.
解答过程：由题意，
而，由正弦定理可得，即，解得，
注意到，
从而.
故选：C.
8. 如图，为正四棱锥的底面中心，，分别是，上的动点，若是边长为2的正三角形，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
答案：B
解析：
思路：根据与全等，绕PO折叠至，由点A到PC的距离求解.
解答过程：因为棱锥是正四棱锥，且为底面中心，
所以与全等，
将绕PO折叠至，
因为折叠前后EF的长度不变，
所以的最小值即为点A到PC的距离，
又因为是边长为2的正三角形，
，
故选：B
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 长方体是平行六面体
B. 正四棱柱是正方体
C. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
D. 棱台的侧面是梯形
答案：ACD
解析：
思路：根据各个几何体的结构特征，逐项进行分析即可.
解答过程：对于A，平行六面体的定义是六个面均为平行四边形的棱柱，长方体的每个面都是矩形（属于平行四边形），且侧棱与底面垂直，因此长方体是特殊的平行六面体，故A正确.
对于B，正四棱柱要求底面为正方形且侧棱与底面垂直，但未限定侧棱长度必须等于底面边长.若侧棱长度与底面边长相等，则为正方体，否则仅为长方体.因此，正四棱柱不一定是正方体，故B错误.
对于C，侧面均为相交于一点的三角形，底面为多边形的几何体为棱锥，根据底面的边数，分为三棱锥、四棱锥等.若某棱锥有一个面为平行四边形，由棱锥定义可知，该面一定为棱锥的底面，因此有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，故C正确.
对于D，棱台由平行于棱锥底面的平面截棱锥而得到，原棱锥的侧面为三角形，截后变为梯形，故D正确.
故选：ACD.
10. （多选）已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. D. 的最大值为2
答案：ABD
解析：
解答过程：设复数（a，），由可得，.
选项A：，正确；
选项B：，正确；
选项C：，只有当时才等于1，不是恒成立，错误；
选项D：，
因为，当时，的最大值为，正确.
11. 设是平面内相交的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且它们的夹角为.若向量，则把有序实数对叫做在坐标系中的坐标，即.设，则（ ）
A.
B.
C. 在上的投影向量的坐标为
D.
答案：ACD
解析：
思路：对于A，由向量模的计算公式可得答案；对于B，由数量积的运算律计算可得答案；对于C，由向量投影向量计算公式可得答案；对于D，由向量减法坐标计算公式可得答案.
解答过程：由题可得，，，，
对于A，
，故A正确；
对于B，
，故B错误；
对于C，在上的投影向量为，由B分析可得，
又，
则，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：ACD
第II卷（非选择题，共92分)
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，的夹角为45°，且，，则______.
答案：
解析：
思路：利用向量模的运算法则，结合向量的数量积求解即可.
解答过程：因为向量，的夹角为45°，且，，
所以
.
故答案为.
13. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝8．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为 __．
答案：6
解析：
思路：利用相似得到水的体积和容器体积的比，再结合水的体积相等列等式，解方程即可求解.
解答过程：当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，
设△ABC的面积为S，则S梯形S，
水的体积V水S×AA1＝6S，
当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，
则有V水＝Sh＝6S，得h＝6，
即当底面ABC水平放置时，液面高为6．
故6．
14. 在中，为边上不同于的任意一点，点为线段的三等分点（靠近点，若，则的最小值为___________．
答案：
解析：
思路：设，再利用平面向量线性运算与平面向量基本定理计算用表示，最后利用基本不等式计算即可得解.
解答过程：设，则
，
则，
故，，
故，
当且仅当，即时，等号成立.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 实数取什么值时，复数是
（1）实数；
（2）纯虚数.
答案：（1）或；（2）.
解析：
思路：依据复数的概念分别列等式求解即可.
解答过程：解：（1）当复数是实数时，只需，即或；
（2）当复数是纯虚数时，，解得.
16. 已知向量，O为坐标原点.
（1）若，求实数k的值；
（2）在（1）的条件下，求向量与的夹角余弦值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据向量的运算法则以及向量垂直的坐标表示求解；
（2）根据向量的运算法则以及向量的夹角计算求解.
（1）由已知得 ，
，
∵，
∴，，∴.
（2）∵ ∴，
设向量与的夹角为，
∵ ，
∴ ，
， ，
17. 如图，中，，，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C，M，与BC交于点N），将绕直线BC旋转一周得到一个旋转体.
（1）求该旋转体中间一个空心球的表面积的大小；
（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）求出空心球的半径，即可得答案；
（2）旋转一周后得到的组合体为一个圆锥中挖去一个球，由此可求答案.
（1）连接OM，则，
设，，
在中，，
∴.
（2）∵，，，∴，
∴.
18. 在中，内角所对的边分别为，．
（1）求的值；
（2）若的面积为，求的值．
答案：（1）；
（2）.
解析：
思路：（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得.
（2）由（1）的结论，利用三角形面积公式及正弦定理求解即得.
（1）在中，由正弦定理及，
得，即，
由余弦定理得，又，
所以.
（2）依题意，，即，
由正弦定理得，而，
则，解得，由正弦定理得，
所以.
19. 如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点.

（1）求证：；
（2）求证：平面；
（3）若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由.
答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）存在，证明见解析
解析：
思路：（1）根据线面平行的性质定理即可证明；
（2）由中位线、线面平行的性质可得四边形为平行四边形，再根据线面平行的判定即可证明；
（3）根据线面、面面平行的性质定理和判断定理即可判断存在性.
（1）在四棱锥中，平面，平面，平面，
平面平面，所以；
（2）如下图，取为中点，连接，由E是PD的中点，
所以且，由（1）知，又，
所以且，所以四边形为平行四边形，故，
而平面，平面，则平面.
（3）取中点N，连接，，
因为E，N分别为，的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
线段存在点N，使得平面，理由如下：
由（2）知：平面，又，平面，平面，
所以平面平面，又M是上的动点，平面，
所以平面，所以线段存在点N，使得平面.