2025--2026学年海南海口英雅盛彼德高级中学高一下册期中检测数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年海南海口英雅盛彼德高级中学高一下册期中检测数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知向量，且，则实数的值为（ ）
A. 4B. 1C. －1D. －4
3. 已知分别为三个内角的对边，若，则满足此条件的三角形个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 1或2
4. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则一定是
A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
5. 若，且，则（ ）
A. B. C. D.
6. 若向量、满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，，且，．点在线段上，满足，点为的中点，则（ ）
A. B. C. D.
8. 若将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 在等边三角形中，点D是边的中点，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为B. 若，则
C. 在区间上单调递增D. 的图象关于点中心对称
11. 中，，，则（ ）
A. B. 的角平分线交AB于D，则
C. D. 在上的投影向量是
三、填空题
12. 已知向量与不共线，且，，．若A，B，C三点共线，则______．
13. 已知向量满足，则与的夹角大小为_______.
14. 已知，则__________.
四、解答题
15. 在中，，，分别为角，，的对边，且．
（1）求角；
（2）若的面积为，，求边上的高的长．
16. 已知平面四边形的四个内角均小于，，，且．
（1）若，求的面积；
（2）若，求．
17. 如图，在菱形中，是的中点，交于点，设，.

（1）若，求，的值；
（2）若，，求.
18. 如图，是函数图象的一部分.
（1）求函数的解析式.
（2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象.
①求函数在上的单调递增区间；
②若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围.
19. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，.作：，当不共线时，记以为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定.
（1）分别根据下列已知条件求；
①，；
②，；
（2）记，，，且满足，，，求的最大值.
数学
一、单选题
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：先求得集合，结合集合并集的概念与运算，即可求解.
解答过程：由不等式，解得，所以，
又由集合，所以.
故选：C.
2. 已知向量，且，则实数的值为（ ）
A. 4B. 1C. －1D. －4
答案：A
解析：
思路：由，可知，再根据平面向量数量积的坐标运算，即可求出结果你
解答过程：因为，所以，即，
所以.
故选：A.
3. 已知分别为三个内角的对边，若，则满足此条件的三角形个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 1或2
答案：B
解析：
思路：根据条件，利用正弦定理求出，，从而得出结果.
解答过程：因为，由正弦定理，得到，所以，
又因为，故，.
故选：B.
4. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则一定是
A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
答案：D
解析：
思路：利用余弦定理、等边三角形的判定方法即可得出．
解答过程：由余弦定理得，则，即，所以.
∵
∴是等边三角形.
故选D.
方法提示：本题考查了余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，熟练掌握余弦定理是解答本题的关键．
5. 若，且，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：利用同角三角函数的商数关系及两角和的正弦公式求出，代入两角差的正弦公式即可得解.
解答过程：因为，所以，
又，
所以，
所以.
6. 若向量、满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：设，，利用向量的加法的三角形法则得到，从而将的最小值问题转化为中的最小值问题，再借助三角函数求解即可.
思路：如图：
设，，则，依题意.
过作，垂足为，则，
即的最小值是.
故选：C.
7. 在中，，且，．点在线段上，满足，点为的中点，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：建立平面直角坐标系，根据共线定理及中点坐标公式求出的坐标，然后根据数量积的坐标公式求解.
解答过程：以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
由，，得，，．
因为，且点满足，
所以，从而．
又点为的中点，所以．
因此，，
故．
8. 若将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：先根据平移变换得到平移后的函数解析式，再利用函数关于轴对称的性质列出等式，进而求出关于的表达式，最后结合确定的最小值.
解答过程：函数的图象向右平移个单位长度所得函数为：
，
则图象关于轴对称，
即，则，
因为，所以当时，的最小值为.
二、多选题
9. 在等边三角形中，点D是边的中点，则（ ）
A. B. C. D.
答案：ACD
解析：
解答过程：A：在等边三角形中，因为点D是边的中点，所以，正确.
B：因为两向量方向不同，所以错误.
C：因为点D是边的中点，所以，正确.
D：由为等边三角形，且点D是边的中点，所以，所以，正确.
10. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为B. 若，则
C. 在区间上单调递增D. 的图象关于点中心对称
答案：AC
解析：
思路：利用辅助角公式化简可得，结合正弦型函数周期性可以判断A；利用求出的取值，再计算的值可以判断B；利用“整体法”判断单调区间可以判断C；结合正弦型函数对称中心的性质，代入验证即可判断D.
解答过程：利用辅助角公式化简.
选项A，最小正周期， A正确；
选项B，若，则，即，
得：，即，
因此，B错误；
选项C，当时，令，
则在上单调递增，
因此在上单调递增，C正确；
选项D，若函数关于点中心对称，则满足，
则，D错误.
11. 中，，，则（ ）
A. B. 的角平分线交AB于D，则
C. D. 在上的投影向量是
答案：ACD
解析：
解答过程：由余弦定理，得，故，A正确；
因为，所以是等腰三角形，平分，
所以是的垂直平分线，所以，所以，所以B不正确；
由，，所以，
因为是等腰三角形，所以， ，所以C正确；
向量在上的投影向量为 ，
，故投影向量为，所以D正确.
三、填空题
12. 已知向量与不共线，且，，．若A，B，C三点共线，则______．
答案：
解析：
解答过程：因为A，B，C三点共线，所以，使得
，
因为向量与不共线，
所以有，解得，.
13. 已知向量满足，则与的夹角大小为_______.
答案：##60°
解析：
解答过程：设与的夹角为，向量夹角范围为
将两边平方得：
即 ，
所以，
又，所以.
14. 已知，则__________.
答案：
解析：
解答过程.
四、解答题
15. 在中，，，分别为角，，的对边，且．
（1）求角；
（2）若的面积为，，求边上的高的长．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据正弦定理边角互化即可求解，
（2）根据面积公式可得，进而根据余弦定理可求解，即可根据面积公式求解.
（1）由结合正弦定理可得
因为，则
所以．
则有故．
（2）由得
因，所以
由余弦定理得
所以，解得
所以
．
16. 已知平面四边形的四个内角均小于，，，且．
（1）若，求的面积；
（2）若，求．
答案：（1）；（2）．
解析：
思路：（1）利用余弦定理求出BD，由是等腰直角三角形，求出,利用面积公式求出的面积；
（2）在中，根据正弦定理可得， ，利用两角和余弦公式求出.
解答过程：（1）在中由余弦定理得：，
解得．
，．
由条件可知是等腰直角三角形，
，．
所以．
（2）因为，所以，
在中，根据正弦定理得：，可得，从而，
所以
．
方法提示：在几何图形中解三角形，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：
(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；
(2)从式子结构来选择．
17. 如图，在菱形中，是的中点，交于点，设，.

（1）若，求，的值；
（2）若，，求.
答案：（1），.
（2）解析：
思路：（1）根据题意，得到，结合，即可求解；
（2）由，，结合向量的夹角公式，即可求解.
（1）解：在菱形中，是的中点，，则，
可得，
又因为，所以，.
（2）解：因为，，所以，且，
因为，，
所以，
又因为，，所以.
18. 如图，是函数图象的一部分.
（1）求函数的解析式.
（2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象.
①求函数在上的单调递增区间；
②若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围.
答案：（1）
（2）①；②
解析：
思路：（1）根据最值可得；根据最小正周期可得，求得，由此可得解析式；
（2）①将整体代入正弦函数单调递增区间中，即可构造不等式求得递增区间；
②根据正弦函数的图像求解即可.
（1）由图像可知，函数最大值为，最小值为，且，得.
，所以周期. 又，，因此.
将最高点代入得：，则，
解得.因为，所以.
因此函数解析式为.
（2）①向右平移​个单位，则，
再纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），则.
令，解得.
因为，所以在上的单调递增区间为.
②当时，令​，则.
因为方程在区间上恰有两个不同的实数解，
则​在上恰有两个不同解.
由在的图象可知，当时，方程恰有两个不同解，
解得.
因此的取值范围为.
19. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，.作：，当不共线时，记以为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定.
（1）分别根据下列已知条件求；
①，；
②，；
（2）记，，，且满足，，，求的最大值.
答案：（1）①5；②0
（2）解析：
思路：（1）利用定义及向量共线的坐标表示计算即可；
（2）利用三角形面积公式及新定义分情况讨论，结合辅助角公式及三角函数有界性计算即可.
（1）①因为，，则；
②由，，即共线，所以.
（2）设，由，得或，
当时，
，
当时，取得最大值；
当时，
，
当，即时，取得最大值，
所以取得最大值.