2025--2026学年广西壮族自治区梧州市高一下册4月阶段测试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年广西壮族自治区梧州市高一下册4月阶段测试数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1. 是（ ）
A. 第三象限角B. 第二象限角C. 第一象限角D. 不能确定
2. 已知角终边上一点，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 零向量的长度是0
C. 长度相等的向量叫相等向量D. 共线向量是长度相等的向量
5. 已知，若，则＝（ ）
A. B. C. D.
6. 曲线与直线的交点个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
7. 已知函数．设甲：，乙：是偶函数，则（ ）
A. 甲是乙的充分不必要条件
B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
8. 关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 若是第三象限角，则
C. 若角的终边过点，则
D.
10. 大自然中充满了各种声音，有的美妙无比，有的尖利嘈杂，那是因为声音中包含着正弦函数，一个纯音的数学模型是函数为非零常数，为变量），而我们平时所听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则（ ）
A. 的最小正周期为B. 的图像关于点对称
C. 在区间上单调递增D. 在区间上有2024个零点
11. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，当时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处．如图，以摩天轮的轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，则，下列说法中正确的是（ ）
A. 关于的函数是偶函数
B. 若在时刻，游客甲距离地面的高度相等，则的最小值为30
C. 摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟
D. 若甲、乙两游客分别坐在两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧的弧长米
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 函数的最小正周期是_____.
13. 已知在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是________．
14. 已知，是关于x的方程的两个根，则________．（用数字作答）
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知中，，，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点．
（1），表示向量，；
（2）判断M，N，C三点的位置关系，并证明．
16. 已知.
（1）求的值；
（2）若，，，求的值.
17. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（1）请求出表格中，，的值，并求函数的解析式；
（2）将函数的图象上的每个点向右平移个单位长度，得到函数，求函数成立的的取值集合．
18. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数
（ⅰ）求的单调区间；
（ⅱ）若且，求的最大值．
19. 已知函数.
（1）当，时，求在上的最小值；
（2）当时，方程在内有两个不相等的实数根，.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明.
数学
满分150分，考试时间120分钟
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1. 是（ ）
A. 第三象限角B. 第二象限角C. 第一象限角D. 不能确定
答案：A
解析：
解答过程：与终边相同的最小正角为位于第三象限，所以是第三象限角.
2. 已知角终边上一点，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：角终边上一点，设原点为O，则,
则.
3. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据弧长公式及扇形面积公式计算求解.
解答过程：弧所对的圆心角为，设扇形所在圆的半径为，则弧长为，所以
该弧所在的扇形面积为.
故选：A.
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 零向量的长度是0
C. 长度相等的向量叫相等向量D. 共线向量是长度相等的向量
答案：B
解析：
解答过程：对于A，若，则与的模相等，但方向无法确定，故A错误；
对于B，零向量的长度是0，故B正确；
对于C，长度相等且方向相同的向量叫相等向量，故C错误；
对于D，方向相同或相反的向量称为共线向量，规定零向量与任意向量共线，故D错误.
5. 已知，若，则＝（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据诱导公式求出，再根据同角三角函数关系求出，利用两角差的余弦公式即可求解.
解答过程：因为，，所以，，
又因为，所以，，
所以.
6. 曲线与直线的交点个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：C
解析：
思路：构造函数，利用导数探讨在区间上的单调性，再利用零点存在性定理确定零点个数即可.
解答过程：函数在R上单调递减，当时，；当时，，
由，得，因此曲线与直线的交点横坐标必在上，
令，，求导得，
由，得，存在，使得，
当或时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
又，
，因此函数在上各有一个零点，
所以曲线与直线的交点个数为3.
故选：C
7. 已知函数．设甲：，乙：是偶函数，则（ ）
A. 甲是乙的充分不必要条件
B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
答案：C
解析：
思路：先由推出，即得，再分和两种情况分析函数均为偶函数推得充分性成立，易得必要性成立，故得结论.
解答过程：若，则，则或，
由可得，显然不成立；
由，解得，此时，
①当时，，
由，即函数是偶函数；
②当时，，
由，即函数是偶函数.
综上可得充分性成立；
若是偶函数，因函数的定义域为，则必有，必要性成立.
故甲是乙的充要条件.
故选：C.
8. 关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据同角三角函数关系式和二次函数的性质计算即可.
解答过程：因为，
所以.
因为，所以.
故选：A．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 若是第三象限角，则
C. 若角的终边过点，则
D.
答案：ABD
解析：
思路：对于A：根据弧度制与角度制之间的转化分析判断；对于B：根据象限角三角函数值的正负性分析判断；对于C：根据任意角三角函数值的定义运算求解；对于D：根据倍角公式分析判断.
解答过程：对于选项A：，故A正确；
对于选项B：若是第三象限角，则，故B正确；
对于选项C：若角的终边过点，则，故C错误；
对于选项D：，故D正确.
10. 大自然中充满了各种声音，有的美妙无比，有的尖利嘈杂，那是因为声音中包含着正弦函数，一个纯音的数学模型是函数为非零常数，为变量），而我们平时所听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则（ ）
A. 的最小正周期为B. 的图像关于点对称
C. 在区间上单调递增D. 在区间上有2024个零点
答案：BC
解析：
思路：根据周期的定义即可计算求解A，根据即可求解B，根据整体法即可求解C，根据函数的周期性即可求解D.
解答过程：函数，
对于A:，故A错误；
对于B：
，
故的图像关于点对称，B正确，
对于C，当，则，
故均在单调递增，
故函数在单调递增，C正确，
对于D，令，故或，
在故在区间,上有,共2个零点，
而均为周期为的周期函数，故在区间上有2024个零点，
又，故在有2025个零点，D错误，
故选：BC
11. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，当时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处．如图，以摩天轮的轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，则，下列说法中正确的是（ ）
A. 关于的函数是偶函数
B. 若在时刻，游客甲距离地面的高度相等，则的最小值为30
C. 摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟
D. 若甲、乙两游客分别坐在两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧的弧长米
答案：BCD
解析：
思路：对A，先根据题意确定各参数的值，再根据三角函数的奇偶性判断即可；对B，根据代入解析式可得，或，进而可判断；对C，求解即可；对D，由题意每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为，进而可得劣弧的弧长.
解答过程：对A，由题意，，
所以，当时，可得，所以，
故，所以是非奇非偶函数，故A错误；
对B，由题意，即，
即，所以，或，
，即或，，故B正确；
对C，由题意，即，即，
所以，，解得.
所以摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟，故C正确；
对D，因为摩天轮的圆周上均匀地安装着36个座舱，
故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为，
因为两个座舱相隔5个座舱，所以劣弧对应的圆心角是，
故（m）.故D正确.
故选：BCD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 函数的最小正周期是_____.
答案：
解析：
思路：本题可根据三角函数周期计算公式得出结果.
解答过程：函数的最小正周期，
故答案为.
13. 已知在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是________．
答案：
解析：
思路：求出零点表达式，结合零点个数及零点与区间的关系可得答案.
解答过程：令得，，即；
当时，，不合题意；当时，；当时，；当时，；当时，；
因为函数在区间上有且仅有3个零点，所以，解得的取值范围是.
14. 已知，是关于x的方程的两个根，则________．（用数字作答）
答案：
解析：
思路：利用韦达定理，结合三角函数的平方关系求解.
解答过程：，是关于x的方程的两个根，
，解得或，
且，
，，
，，，
或，，
.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知中，，，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点．
（1），表示向量，；
（2）判断M，N，C三点的位置关系，并证明．
答案：（1），
（2），，三点共线．证明见解析
解析：
思路：（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；
（2）首先表示出，即可得到，从而得证；
（1），
因为．
所以.
（2），，三点共线．证明如下;
由于，
所以，
所以，
因为为公共点，
所以，，三点共线．
16. 已知.
（1）求的值；
（2）若，，，求的值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据齐次式代值即可求解；
（2）先根据同角三角函数的基本关系，结合题设求得，，再结合两角差的正弦公式求解即可.
（1）由，则.
（2）因为，，所以，且，
由，且，解得，
而，则，
所以
.
17. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（1）请求出表格中，，的值，并求函数的解析式；
（2）将函数的图象上的每个点向右平移个单位长度，得到函数，求函数成立的的取值集合．
答案：（1），，；
（2）解析：
思路：（1）利用五点法的性质可知是正弦函数的三个零点和最高点及最低点，从而可求得振幅，周期及初相，即可求得函数的解析式，进而求出m，n，p的值；
（2）利用平移可得函数解析式，再利用余弦函数的性质来求解即可.
（1）由表格中函数最大值为，最小值为，得振幅；
五点法中，对应的，对应的，
两者间隔为半个周期：，可得周期，因此；
将，，代入得：，解得，满足，
因此函数解析式为：，
则；；；
（2）将向右平移个单位，可得：，
令，因此，即得，
即，
函数成立的的取值集合为.
18. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数
（ⅰ）求的单调区间；
（ⅱ）若且，求的最大值．
答案：（1）
（2）（ⅰ）答案见解析，（ⅰⅰ）
解析：
思路：（1）设的最小正周期为，过点和，这两个点之间的图像大于1个周期且小于2个周期，且，，解得，结合正弦函数的图像可得，计算出的值，从而得到的表达式；
（2）（ⅰ）利用图像的变换求出，利用正弦函数的图像和性质求出单调性；（ⅱ）由得到或，由得到取最大值和取最小值，从而得到的最大值.
（1）设的最小正周期为，
过点和，这两个点之间的图像大于1个周期且小于2个周期，
且，，解得，
结合图像可得7πω3+π3=2π3+2kπ,k∈Z ，故ω=1+6k7,k∈Z ，
又54T=54πω>7π6−0>T=πω,故67