2025--2026学年广西贺州市昭平县第二高级中学高一下册期中教学质量检测卷数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年广西贺州市昭平县第二高级中学高一下册期中教学质量检测卷数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 两个单位向量一定相等
B. 两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同
C. 共线的单位向量必相等
D. 若与不共线，则与都是非零向量
2. 下列物理量中，不是向量的是（ ）
A. 力B. 位移
C. 质量D. 速度
3. 在复平面内，复数z对应点的坐标为，则z的共轭复数对应的点坐标为（ ）
A. B. C. D.
4. 若复数满足，则（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
5. 在中，，则（ ）
A. B. 或C. D. 或
6. 已知a为实数，若复数z＝（a2－1）＋（a＋1）i为纯虚数，则＝（ ）
A. 1B. 0C. 1＋iD. 1－i
7. 如图，已知直角梯形，，，，点F是CD中点，点E是线段靠近B点的三等分点，则（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，内角、、的对边分别是、、，若，且，则
A. B. C. 2D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则在上的投影向量为
D. 若，，则在上的投影向量为
10. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若为纯虚数，则
B. 若在复平面内对应的点位于第四象限，则
C. 若，则
D. 若，则
11. 在中，，点是线段的中点，线段交于，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 与的面积之比为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是虚数单位，复数的虚部为______.
13. 已知复数是纯虚数，则实数______．
14. 在平面四边形中，，，向量在向量上的投影向量为，若，点为线段上的动点，则的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出问题说明、证明过程或演算步骤.
15. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
16. 已知向量满足
（1）求与的夹角；
（2）求向量在向量上的投影向量．
17. 已知复数
（1）若复数为纯虚数，求实数的值；
（2）已知是关于的方程的一个根，其中，，求的值．
18. 在中，，，.
（1）求的值：
（2）求的值和的面积
19. 如图，某建筑物顶部有一旗杆，且点、、在同一条直线上，小明在地面处观测旗杆顶端的仰角为，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的处，又测得旗杆顶端的仰角为，已知建筑物高度为12米.
（1）求点到建筑物的距离；
（2）求旗杆的高度.
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 两个单位向量一定相等
B. 两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同
C. 共线的单位向量必相等
D. 若与不共线，则与都是非零向量
答案：D
解析：
思路：根据单位向量的定义，向量相等，向量共线的概念分析各个选项即可得到答案.
解答过程：对选项A，根据单位向量的定义，单位向量的方向不确定，故A选项错误；对选项B，两个向量相等只需要长度相等，方向相同，但起点不一定相同，故B错误；对选项C，共线的单位向量可能方向相反，此时两向量不相等，故C错误；对选项D，因为零向量与任意向量都共线，故若与不共线，则与都是非零向量，D正确.
故选：D
2. 下列物理量中，不是向量的是（ ）
A. 力B. 位移
C. 质量D. 速度
答案：C
解析：
思路：根据向量的定义判断求解.
解答过程：四个物理量：“质量”、“速度”、“位移”、“力”，
“速度”、“位移”、“力”它们既有大小、又有方向为向量，
因此其中不能称为向量的是“质量”.
3. 在复平面内，复数z对应点的坐标为，则z的共轭复数对应的点坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据复数的几何意义可得，即可求解.
解答过程：在复平面内，复数z对应点的坐标为，
所以，，在复平面中对应的点坐标为.
故选：A.
4. 若复数满足，则（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
答案：B
解析：
思路：根据复数的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解.
解答过程：，
所以.
故选：B.
5. 在中，，则（ ）
A. B. 或C. D. 或
答案：D
解析：
思路：根据大边对大角可得A>B，结合正弦定理和三角形内角的范围即可得出结果.
解答过程：在中，根据大边对大角可得A>B，
由正弦定理，得，
所以，故或.
故选：D
6. 已知a为实数，若复数z＝（a2－1）＋（a＋1）i为纯虚数，则＝（ ）
A. 1B. 0C. 1＋iD. 1－i
答案：D
解析：
解答过程：解析：若z＝（a2－1）＋（a＋1）i为纯虚数，则a2－1＝0，a＋1≠0，则a＝1，则＝＝＝1－i.
7. 如图，已知直角梯形，，，，点F是CD中点，点E是线段靠近B点的三等分点，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：应用向量加减、数乘的几何意义及数量积的运算律得，即可得.
解答过程：由题设，
.
故选：B
8. 在中，内角、、的对边分别是、、，若，且，则
A. B. C. 2D.
答案：C
解析：
思路：先利用余弦定理化简得a=,再利用余弦定理化简得A=,再代入即得解.
解答过程：把余弦定理代入得a=，
由得.
所以.
故选C
方法提示：本题主要考查余弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则在上的投影向量为
D. 若，，则在上的投影向量为
答案：AC
解析：
思路：根据向量平行的坐标表示可判断AB；由向量垂直的坐标表示结合已知求出向量，可得向量，然后根据投影向量公式可得投影向量，可判断CD.
解答过程：由向量平行的坐标表示可知，若，则，A正确，B错误；
若，且，则，解得，
则，，
则在上的投影向量为，C正确，D错误．
故选：AC
10. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若为纯虚数，则
B. 若在复平面内对应的点位于第四象限，则
C. 若，则
D. 若，则
答案：BC
解析：
思路：利用纯虚数的概念判断A；根据复数的几何意义判断B；根据共轭复数的概念判断C；根据复数模的公式判断D.
解答过程：若为纯虚数，则且，解得，故A错误；
若在复平面内对应的点位于第四象限，则且，解得，
即，故B正确；
若，则，得，故C正确；
若，则，得，故D错误.
故选：BC.
11. 在中，，点是线段的中点，线段交于，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 与的面积之比为
答案：ABD
解析：
思路：根据几何图形，结合向量的线性运算，即可判断AB，根据三点共线表示，再利用基底表示向量，再利用平面向量基本定理的推论，根据系数和为1，即可判断C，根据C的判断，即可判断D.
解答过程：对于：根据，又因为点是线段的中点，，故，故A正确；
对于：因为，所以，，故正确；
对于，因为点是线段的中点，所以，设，则，
，又，则，
又因为三点共线，所以，解得，故错误；
对于D：由于，故，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是虚数单位，复数的虚部为______.
答案：##
解析：
思路：根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断其虚部.
解答过程：因为，所以的虚部为.
故答案为.
13. 已知复数是纯虚数，则实数______．
答案：
解析：
思路：由复数除法运算可化简得到复数，由纯虚数定义可构造方程求得.
解答过程：，
又为纯虚数，，解得.
故答案为.
14. 在平面四边形中，，，向量在向量上的投影向量为，若，点为线段上的动点，则的最小值为________．
答案：
解析：
解答过程：如图，过点作，
因向量在向量上的投影向量为，则为线段的中点，
则，在中，
以为原点，、所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系，
又，则且，
则，
则，
设，
则，
当时，有最小值.
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出问题说明、证明过程或演算步骤.
15. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
答案：（1）
（2） （3）
（4）解析：
思路：根据复数的运算律直接计算.
（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解.
16. 已知向量满足
（1）求与的夹角；
（2）求向量在向量上的投影向量．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据给定条件，利用向量的夹角公式计算即可.
（2）利用投影向量的定义求解即得.
（1）由，得，，
因此，而，
所以向量与的夹角.
（2）向量在向量上的投影向量为.
17. 已知复数
（1）若复数为纯虚数，求实数的值；
（2）已知是关于的方程的一个根，其中，，求的值．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据纯虚数的知识列式，从而求得.
（2）利用根与系数关系求得，进而求得.
（1）若复数为纯虚数，则，解得.
（2）已知是关于的方程的一个根，
则也是方程的根，
所以，
所以.
18. 在中，，，.
（1）求的值：
（2）求的值和的面积
答案：（1）；
（2），.
解析：
思路：（1）利用平方关系、正弦定理求值作答.
（2）利用余弦定理、三角形面积公式计算作答.
（1）在中，，，，则，
由正弦定理得，所以.
（2）在中，由余弦定理得，即，而，解得；
的面积，
所以，.
19. 如图，某建筑物顶部有一旗杆，且点、、在同一条直线上，小明在地面处观测旗杆顶端的仰角为，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的处，又测得旗杆顶端的仰角为，已知建筑物高度为12米.
（1）求点到建筑物的距离；
（2）求旗杆的高度.
答案：（1）10米；
（2）米.
解析：
（1），，，
则是以为顶点，底角为的等腰三角形，米，
在中，，由正弦定理得：，
代入数据得：米.
点到建筑物的距离是10米.
（2）在中，由正弦定理得：
代入数据得：米.
米，
旗杆的高度为米.