2025--2026学年广西壮族自治区南宁市第二中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年广西壮族自治区南宁市第二中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知等比数列，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 在的二项展开式中，第项的二项式系数是（ ）
A. B. C. D.
4. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知单位向量，满足，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知的内角成等差数列，其所对的边分别为a，b，c，且，则b的值为（ ）
A. B. 2C. 4D.
8. 设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为（ ）
A. 0.25B. 0.35C. 0.45D. 0.55
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 一组样本数据通过计算得到线性回归方程为，若，则
B. 有一组数1，2，3，5，这组数的第百分位数是3
C. 随机变量，若，，则
D. 在的独立性检验中，若不小于对应的临界值，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过
10. 已知双曲线，则下列结论正确的是（ ）
A. m的取值范围是
B. C的焦距与m的取值有关
C. 存在实数m，使得点在C上
D. 若C的离心率不小于2，则m的取值范围为
11. 已知数列的前项和为，若，，则（ ）
A. B. 数列为递减数列
C. 任意，D. 任意，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若函数是奇函数，则实数______．
13. 若直线被圆截得的弦长为6，则的值为______
14. 智能舞蹈机器人在舞台上随音乐节奏移动，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，若机器人A从舞台中心正北方向2米的位置起步，则机器人移动6秒恰好位于舞台中心的路径条数为______．（用数字作答）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求使成立的的取值集合．
16. 长时间玩手机可能影响视力，已知某校全体学生的近视率为，每天玩手机超过1小时的学生占全校人数的且这部分学生的近视率为．
（1）求该校每天玩手机不超过1小时的学生的近视率；
（2）从每天玩手机不超过1小时的学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，记抽到近视的人数为X，求X的分布列与数学期望．
17. 如图，在直三棱柱中，分别是、、的中点．
（1）求证：平面；
（2）若底面是正三角形，，求平面CEF与平面所成角的余弦值．
18. 已知椭圆的焦距为2，C上的点到两个焦点的距离之和为4，直线l过C的右焦点F且与C交于A，B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D．
（1）求C的标准方程；
（2）证明：直线恒过定点．
19. 已知函数．（其中）
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若有两个零点，为的导函数．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）记较小的一个零点为，证明：．
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：
2. 已知等比数列，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：已知数列为等比数列，为的等比中项，即，
由于，所以，故D正确.
3. 在的二项展开式中，第项的二项式系数是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：给出的二项展开式即可求解.
解答过程：的二项展开式的通项为，
所以第项为，其二项式系数为，故B正确.
4. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：C
解析：
解答过程：设条件：“”，条件：“”，当，，所以能推出；
当，，此时不一定为0，所以不能推出.
所以“”是“”的充分不必要条件.
5. 已知单位向量，满足，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：因为，是单位向量，所以，
又因为，所以，
即，
即，所以，
所以，
又因为，所以.
6. 如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：在图2中，水的体积是，
在图1中，设容器水面的高度为，则，所以.
7. 已知的内角成等差数列，其所对的边分别为a，b，c，且，则b的值为（ ）
A. B. 2C. 4D.
答案：A
解析：
解答过程：因为成等差数列，故，而，故。
由正弦定理得，
故即，其中为外接圆半径，
故即，故.
8. 设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为（ ）
A. 0.25B. 0.35C. 0.45D. 0.55
答案：B
解析：
思路：由题意可得有变号的根，从而可得，由正态分布的特征求解即可.
解答过程：因为函数有极值点，
所以有变号的根，
所以，
解得，
又因为随机变量服从正态分布，且，
由正态分布的特征可知，
所以.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 一组样本数据通过计算得到线性回归方程为，若，则
B. 有一组数1，2，3，5，这组数的第百分位数是3
C. 随机变量，若，，则
D. 在的独立性检验中，若不小于对应的临界值，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过
答案：AD
解析：
解答过程：选项A：线性回归方程必过样本中心点，
代入，得，解得，故A正确；
选项B：计算第百分位数的位置，是整数，
故第百分位数是第3个和第4个数据的平均值，即，故B错误；
选项C：二项分布满足，，
代入得，解得，则，故C错误；
选项D：在的独立性检验中，若，
则原假设不成立，故两变量不独立，则犯错误的概率不超过，故D正确．
10. 已知双曲线，则下列结论正确的是（ ）
A. m的取值范围是
B. C的焦距与m的取值有关
C. 存在实数m，使得点在C上
D. 若C的离心率不小于2，则m的取值范围为
答案：ACD
解析：
解答过程：双曲线，则需满足，
解得，故A正确；
双曲线的标准方程为，则，
故，焦距为，与无关，故B错误；
若点存在，则代入双曲线方程得：，
解得，
，
存在这样的实数，故C正确；
由题意知，即，解得，
，
，故D正确．
11. 已知数列的前项和为，若，，则（ ）
A. B. 数列为递减数列
C. 任意，D. 任意，
答案：ABD
解析：
思路：对于A，代入求值即可判断；对于B，，说明，即可证明，即可判断B；对于C，求出即可判断；对于D，先证明，由，两边同时除以得，当时，利用累加法得到，即可得到，再讨论，即可判断D.
解答过程：对于A，，，，故A正确；
对于B，，
当时，若，则或，
令，即，因为，故方程无解，即，
当时，或，而，
以此类推，或，
又，所以，
所以，所以，
所以数列为递减数列，故B正确；
对于C，，
所以，故C错误；
对于D，因为数列为递减数列，故，
由可得，即，
由，两边同时除以得，即，
所以当时，
，，，，
上式累加得，
即，
又，所以，
当时，，此时，
综上，，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若函数是奇函数，则实数______．
答案：0
解析：
思路：根据奇函数的定义求解即可.
解答过程：由题意，即，所以，
经检验，当，满足奇函数定义，符合题意.
13. 若直线被圆截得的弦长为6，则的值为______
答案：1
解析：
思路：根据题意可得弦长等于直径，直线经过圆心，将圆心坐标代入直线方程求解.
解答过程：由题意知圆心坐标为，半径为3，则直径为6，
因为直线被圆截得的弦长为6，所以直线经过圆心，
则，解得，
故1.
14. 智能舞蹈机器人在舞台上随音乐节奏移动，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，若机器人A从舞台中心正北方向2米的位置起步，则机器人移动6秒恰好位于舞台中心的路径条数为______．（用数字作答）
答案：
解析：
思路：求出向正北、正南、正东、正西方向移动的步数，再根据排列组合的知识求解即可.
解答过程：以舞台中心为坐标原点，则的初始位置为，

设在6秒内，机器人向正北方向移动步，正南方向移动步，
因为最后要回到原点，
所以向正东和正西移动的距离相等，设为步，
由题意可得，
所以，
所以当时，，此时共有种移动方法；
当时，，此时共有种移动方法；
当时，，此时共有种移动方法；
当时，（舍）；
综上，一共有种移动方法.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求使成立的的取值集合．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用两角和的正弦公式化简，再由正弦函数性质求的单调递减区间；
（2）根据题意列不等式，再由正弦函数性质计算求解即可..
（1）由题意
即
,
根据三角函数的性质可得：当时，函数单调递减，
解得,
故的单调递减区间为.
（2）若，则，即，
所以，解得，
所以使成立的的取值集合为.
16. 长时间玩手机可能影响视力，已知某校全体学生的近视率为，每天玩手机超过1小时的学生占全校人数的且这部分学生的近视率为．
（1）求该校每天玩手机不超过1小时的学生的近视率；
（2）从每天玩手机不超过1小时的学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，记抽到近视的人数为X，求X的分布列与数学期望．
答案：（1）
（2）分布列见解析，期望为
解析：
思路：（1）根据条件中的概率，结合全概率公式，即可求解；
（2）由(1)的结果，确定8人中近视眼的人数，再利用超几何分布求概率和数学期望.
（1）设学生每天玩手机超过1小时为事件，不超过1小时为事件，学生近视为事件，
则，，，，
所以，
则 ，解得： ，
所以该校每天玩手机不超过1小时的学生的近视率为.
（2）由（1）可知每天玩手机不超过1小时的学生的近视率为，则8人中有3人近视，5人不近视，
则，，
所以的分布列为
期望.
17. 如图，在直三棱柱中，分别是、、的中点．
（1）求证：平面；
（2）若底面是正三角形，，求平面CEF与平面所成角的余弦值．
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）取的中点为，连接，根据平行关系的转化可得平面平面，从而可证平面；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求面面角的余弦值.
（1）取的中点为，连接，
由直三棱柱可得四边形为矩形，而，
则，而，
所以，故四边形为平行四边形，故，
而平面，平面，故平面.
因，故，同理，故，
同理平面，而，平面，
故平面平面，而平面，故平面.
（2）在平面内过作直线垂直于，
由直三棱柱建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，故，
设平面的法向量为，则，
则，取.
又，，
设平面的法向量为，则，
则，取.
设平面CEF与平面所成的角为，
则.
18. 已知椭圆的焦距为2，C上的点到两个焦点的距离之和为4，直线l过C的右焦点F且与C交于A，B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D．
（1）求C的标准方程；
（2）证明：直线恒过定点．
答案：（1）
（2）直线恒过定点
解析：
思路：（1）根据条件确定求椭圆方程；
（2）首先直线方程与椭圆方程联立，并利用坐标表示直线的方程，利用韦达定理表示直线与轴的交点，即可求解.
（1）由条件可知，焦距为，则，，则，
所以，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由（1）可知，椭圆的右焦点，
设直线，
与椭圆方程联立得，设，，
则，
又，，直线的方程为，
令，得，（*）
由韦达定理可知，，即，代入（*）得
，
所以直线恒过定点，
当直线的斜率为0时，直线，满足条件的直线为，也过点
综上可知，直线恒过定点.
19. 已知函数．（其中）
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若有两个零点，为的导函数．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）记较小的一个零点为，证明：．
答案：（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
解析：
思路：（1）先代入得到函数表达式，再求切点，求导后求出切线斜率，最后用点斜式即可写出切线方程；
（2）先求导并因式分解得到单调性与极小值点，利用函数有两个零点等价于极小值小于0，构造函数分析单调性后即可得到的取值范围；
（3）先化简的表达式，将证明转化为不等式，分和两种情况讨论，对后者构造函数证明单调性与符号，从而完成证明.
（1）当时，，则，，
所以切线斜率为，
则在处的切线方程为，即.
（2）（ⅰ）因为，所以，
令，所以，即，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
且时，，当时，，
因为有两个零点，所以只需即可.
令，则，所以在上单调递增，又因为，所以当时，，
所以实数的取值范围为.
（ⅱ）因为，由，结合（ⅰ）知，
因为，
所以，
所以，要证，即证，即，
当时，因为，不等式恒成立；
当时，由得，
即证，
即证，
即证，
设，
则，
所以在上单调递增，
所以，故原不等式成立.
综上，.
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