广西贺州市昭平中学2023~2024学年高一下册期末考试数学检测试卷（含解析）

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全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上
的指定位置.
2，请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答
题区域均无效.
3．选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上
作答；字体工整，笔迹清楚.
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5．本卷主要考查内容：必修第二册.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知复数 满足 （ 是虚数单位），则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设 ，求得 ，根据题意求得 的值，即可求解.
【详解】设 ，可得
因为 ，所以
解得 ，所以 .
故选：A.
2. 抽样统计某位学生 10 次的英语成绩分别为 86，84，88，86，89，89，88，87，85，91，则该学生这 10
次成绩的 50%分位数为（ ）
A. 88.5 B. 89 C. 91 D. 87.5
【答案】D
【解析】
【分析】该学生 10 次的英语成绩从小到大排列，即可求出该学生这 10 次成绩的 50%分位数.
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【详解】该学生 10 次的英语成绩从小到大分别为 84，85，86,86,87，88，88，89，89，91.又
，这 10 次成绩的 50%分位数为 .
故选：D.
3. 下列命题正确的是（ ）
A. 三点确定一个平面
B. 四条首尾相连的线段确定一个平面
C. 两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内
D. 空间两两相交的三条直线在同一平面内
【答案】C
【解析】
【分析】根据确定平面的条件可对每一个选项进行判断.
【详解】对于选项 A：如果三点在同一条直线上，则不能确定一个平面，故 A 错误；
对于选项 B：例如三棱锥，可以得到四条首尾相连 线段，但不是平面图形，故 B 错误；
对于选项 C：因为两条平行直线确定一个平面，
若一条直线与这两条平行直线都相交，则这条直线就在这两条平行直线确定的一个平面内，
所以这三条直线在同一平面内，故 C 正确；
对于选项 D：例如三棱锥三条侧棱，可以得到两两相交的三条直线，但这三条直线不共面，故 D 错误.
故选：C
4. 下列叙述中，错误的是（ ）
A. 数据的标准差比较小时，数据比较分散
B. 样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响
C. 数据 极差反映了数据的集中程度
D. 任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变
【答案】A
【解析】
【分析】利用样本数字特征的基本概念逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】数据的标准差比较小时，数据比较集中，故 A 错误；
样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响，故 B 正确；
数据的极差反映了数据的集中程度，故 C 正确；
任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，故 D 正确．
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故选：A．
5. 已知随机事件 和 互斥， 和 对立，且 ，则 （ ）
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5
【答案】D
【解析】
【分析】利用对立事件概率公式和互斥事件加法公式计算即可.
【详解】由 和 对立， ，可得 ，解得 ，
又由随机事件 和 互斥可知 ，
由 ，
将 代入计算可得
故选：D.
6. 在 中， ， ， ，则 的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用同角三角函数的基本关系求 ，再运用三角形面积公式计算即得结果.
【详解】因为 ， ，故 ，
所以 的面积为 .
故选：A.
7. 已知 是虚数单位，则复数 （ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用完全平方和公式展开，再 4 次方即可求出.
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【详解】因为 ，所以 .
故选：B.
8. 已知平面向量 ， ， 满足 ， ， ，若 ， ，则
的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由 ，利用平面向量数量积的运算可得 ，令 ，
，可得 ，结合正弦型函数的值域可得取值范围.
【详解】因为 ， ， ，且 ， ，
所以 ，
所以 ，
令 ， ，
所以 ，
其中 ， ，
所以 ，
即 的取值范围是 ．
故选：B．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
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目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ）
A. 调查某市小学生每天的运动时间
B. 某公司初步发现一位职员患有甲肝，对此公司职员进行检查
C. 农业科技人员调查某块地今年麦穗的单穗平均质量
D. 调查某快餐店中全部 8 位店员的生活质量情况
【答案】AC
【解析】
【分析】根据普查和抽样调查各自的特点进行选择．
【详解】A．调查某市小学生每天的运动时间的工作量很大，抽样调查；
B．某公司初步发现一位职员患有甲肝，甲肝具有传染性，危害大，对此公司职员进行检查适合普查的方式；
C．农业科技人员调查某块地今年麦穗的单穗平均质量适合采用抽样调查；
D．调查某快餐店中全部 8 位店员的生活质量情况适合普查的方式；
故选：AC．
10. 已知复数 ， 为 的共轭复数，则下列各选项正确的是（ ）
A. 是虚数 B. 的虚部为
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】结合复数及共轭复数的概念，复数模的公式，复数的几何意义，即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
A 选项中，由于 虚部不为 0，所以 是虚数，A 正确；
B 选项中， 的虚部为 1，B 错误；
C 选项中，当复数的虚部不为零时，不能比大小，C 错误；
D 选项中， ， ， ，D 正确．
故选：AD．
11. 已知圆锥 的母线长为 为底面圆 的一条直径， .用一平行于底面的平面截圆锥
，得到截面圆的圆心为 .设圆 的半径为 ，点 为圆 上的一个动点，则（ ）
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A. 圆锥 的体积为
B. 的最小值为
C. 若 ，则圆锥 与圆台 的体积之比为 1:8
D. 若 为圆台 的外接球球心，则圆 的面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据圆锥的几何性质，求得其高，结合圆锥的体积公式、勾股定理、球的性质，可得答案.
【详解】由题意可作图如下：
由圆锥 的母线长为 ，底面圆的半径为 2，则 ， ，
可得圆锥的高 .
对于 A： ，A 选项正确；
对于 B：已知 ，设点 在底面的投影为 ，如下图所示：
则 ，所以 ，B 选项正确；
对于 C：由题意可作图如下：
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当 时， ，所以 ，
又 ，所以 ，C 选项错误；
对于 D：由题意可作图如下：
若点 是圆台 的外接球球心，则由 ，
解得 ，所以 ，D 选项正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知向量 ， ，若 ，则 ___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据 和 代入计算整理．
【详解】因为向量 ， ，且 ，所以 ，解得 ，
.
故答案为： ．
13. 已知四位数 ，任意交换两个位置的数字之后，两个奇数相邻的概率为______.
【答案】 ##
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【解析】
【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.
【详解】 任意交换两个数的位置之后有： ， ， ， ， ， ，共 种，
两个奇数相邻有 ， ， 共 种，
所以两个奇数相邻的概率为 .
故答案为：
14. 在一个底面直径为 12cm，高为 18cm 的圆柱形水杯中加入水后，水面高度为 12cm，加入一个球型小钢
珠后水面上升到了 13cm，则球型小钢珠的半径为______cm．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得 ，求解即可.
【详解】设球型小钢珠的半径为 ，
上升水柱的体积 ，
所以 ，
，
．
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 在 中，角 的对边分别为 ， .
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式化简可求得 ，由此可得 ；
（2）由向量数量积定义可求得 ，利用余弦定理可构造方程求得 .
【小问 1 详解】
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由正弦定理得： ，
， ， ， .
【小问 2 详解】
， ，
由余弦定理得： ， .
16. 近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了一次教师创
建全国文明城市知识考核，每位教师必需参加且最多参加 次考核，一旦第一次考核通过则不再参加第二
次考核， 次考核未通过的教师将被扣除文明积分.已知教师甲每次考核通过的概率为 ，教师乙每次考核
通过的概率为 ，且甲乙每次是否通过相互独立.
（1）求乙通过考核的概率；
（2）求甲乙两人考核的次数和为 的概率.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据互斥事件分类再结合独立事件概率求解；
（2）根据互斥事件分类再结合独立事件概率求解.
【小问 1 详解】
乙第一次考核通过的概率 ，
乙第二次考核通过的概率为 ，
乙通过考核的概率为 ；
【小问 2 详解】
甲考核 1 次，乙考核 2 次的概率 ；
甲考核 2 次，乙考核 1 次的概率 ；
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甲乙两人的考核次数和为 3 的概率 .
17. 如图，在直三棱柱 中， ，侧棱 ， 分别是
的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，连 ,利用中位线证明四边形 为平行四边形，即可证明.
（2）利用 即可求解.
小问 1 详解】
证明：如图，取 的中点 ，连 ，
且 ，
且 ，
四边形 为平行四边形， ，
平面 平面 ，
平面 .
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小问 2 详解】
解：取 中点 ，连 ，
且 为直三棱柱，
为直角三角形且 ， 平面 ，
平面 ， ，
由（1）知 ，
为直三棱柱， 为中点， ，
，
，
平面 ， 平面 ，
，
，
设点 到平面 的距离为 ，
，
，
有 ，得 ，
故点 到平面 的距离为 .
18. 共享单车企业通过在校园､地铁站点､公交站点､居民区､商业区､公共服务区等提供服务，完成交通行业
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最后一块“拼图”，带动居民使用其他公共交通工具的热情，与其他公共交通方式产生协同效应.共享单车是
一种分时租赁模式，也是一种新型绿色环保共享经济.某城市交通部门为了调查该城市共享单车使用的满意
度，随机选取了 200 人就该城市共享单车的使用满意度进行问卷调查，并将问卷中的这 200 人根据其满意
度评分值（百分制）分成 5 组： （满意度评分值均在
内），制成如图所示的频率分直方图.
（1）求 的值，并求出满意度评分值的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）用分层抽样的方法在满意度评分值在 内的抽出 6 人，再从这 6 人中随机抽取 2 人进
行座谈，求抽到的 2 人满意度评分值均在 内的概率.
【答案】（1） ，平均数 75.5，中位数 75
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率和为 1 求 a；以每组区间中点值为代表，结合加权平均数求平均数的估计值；根据中
位数的左右两侧频率和均为 0.5，运算求解．
（2）利用分层抽样可得在区间 应抽取 4 人，在区间 应抽取 2 人，再利用古典概型求解即
可．
【小问 1 详解】
由题意知 ，解得 .
满意度评分值的平均数 ；
设满意度评分值的中位数为 ，所以 ，解得 ，即满意度评分值的中位数为 75.
【小问 2 详解】
满意度评分值在 内的有 （人），满意度评分值在 内的有 20（人），
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抽取的 6 人中满意度评分值在 ）内的有 （人），记为 ，
满意度评分值在 内的有 （人），记为 .
从这 6 人中随机抽取 2 人有 ，
，共 15 种基本事件，
其中抽到的 2 人满意度评分值均在 内的有 ，共 6 种基本事
件，
所以抽到的 2 人满意度评分值均在 内的概率 .
19. 如图，四棱锥 的底面 是边长为 2 的菱形， 底面 ， ， ，
分别是 ， 的中点， .
（1）求四棱锥 的体积；
（2）求 与底面 所成角的正切值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由 是 的中点，可知点 到底面 的距离为 ，由平面知识可求出四边形 的面积，
再根据棱锥的体积公式即可求出四棱锥 的体积；
（2）由（1）可知， 与底面 形成的角为 ， 为 与 的交点，解三角形即可求出
与底面 所成角的正切值．
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【详解】（1）∵ ， ，四边形 为菱形
∴ ，
如图，连 ， 相交于点 ，连 ．
∵ ， ，∴
∵ 平面 ，∴ 平面 ，且 .
∴ .
（2）∵ 平面 ，∴ 与底面 形成的角为 ．
∵ ，
∴ ．故 与底面 所成角的正切值为 .
【点睛】本题主要考查四棱锥的体积计算，以及直线与平面所成角的计算，意在考查学生的数学运算能力，
属于基础题．
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